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    關于超歐拉的冪有向圖

    2017-10-11 02:14:06崔秋月
    關鍵詞:新疆師范大學有向圖子圖

    崔秋月,劉 娟

    (新疆師范大學,新疆 烏魯木齊 830017)

    關于超歐拉的冪有向圖

    崔秋月,劉 娟*

    (新疆師范大學,新疆 烏魯木齊 830017)

    如果一個有向圖D包含一個生成有向閉跡,則稱D是超歐拉有向圖。研究關于一個強連通有向圖或一個強連通的有向圖類,使之在經過p次冪有向圖的運算后成為超歐拉有向圖的充分條件:有向圖D包含一個有向圈的集合 Γ={S1,S1,…,Sn}且滿足 V(D)=Usi∈ΓV(Si),D 的平方圖是超歐拉有向圖的充分條件。對于s,t圖類中的強連通有向圖,當s是奇數(shù)時,則對于任意的是超歐拉有向圖;當s是偶數(shù)時,則對于任意的是超歐拉有向圖。

    超歐拉有向圖;p次冪有向圖;平方圖;歐拉有向圖

    1 預備知識

    本文只考慮沒有自環(huán) (一條弧的兩個端點為同一個點)和平行弧(兩個點之間有兩條方向相同的弧)的簡單有向圖。沒有被定義的術語和符號在文獻[1]中可以參考。令 D=(V(D),A(D))是簡單有向圖,其中有向圖D的點集為V(D),弧集為A(D)。在本文中,我們用符號(u,v)表示有向圖中從點u到點v的一條弧。對于一個整數(shù) n,定義[n]={1,2,…,n}。有向圖D中的一個道是一個交替序列W=x1a1x2a2x3…xk-1ak-1xk,其中 xi為點,aj為弧使得 aj=(xj,xj+1),對于每一個 i∈[k],j∈[k-1],則稱 W 是一個從 x1到 xk的道或者是一個(x1,xk)-道。如果 x1=xk,則稱 W 是一個閉道,否則是開道。當W的弧在文章中已被理解時,可以記W為x1x2…xk。如果x1≠xk,則點x1是W的起點,點xk是W的終點,x1和xk是W的端點。道的長度是它的弧的條數(shù)。有向圖D中的一個有向跡是一個所有弧都不同的道;一個有向路是一個所有點都不同的道。如果 W 中 x1,x2,…,xk-1是不同的點,k≥2且x1=xk,則稱W是一個有向圈。如果對于有向圖D中每對不同的點x,y都存在一個(x,y)-道和一個(y,x)-道,則稱 D 是強連通的。令 W=x1x2…xk,Q=y1y2…yt是有向圖D中的一對道,如果V(W)∩V(Q)= ? ,則稱W和Q是點不交的;如果A(W)∩A(Q)= ? ,則稱W和Q是弧不交的。如果V(H)? V(D),A(H)?A(D)并且A(H)中的每一條弧的兩個端點都在V(H)中,則稱H是D的一個子圖。如果V(H)=V(D),則 稱H是D的一個生成子圖。如果A(D)中每一條弧都在A(H)中,每一條弧的兩個端點都在V(H)中,則稱 H 是由 X=V(H)誘導的,記作 H=D〈X〉并稱H是D的一個誘導子圖。如果H是D的一個子圖且 S ? A(D)-A(H),V(D〈S〉)? V(H),則稱H+S是D的子圖,其點集為V(H),弧集為A(H)+S。我們一般用D-a代替 D-{a},用 D+a代替 D+{a}。令D1和D2是兩個不交的有向圖,D1與D2的并記作D1∪D2,它的點集為 V(D1∪D2)=V(D1)∪V(D2),弧集為 A(D1∪D2)=A(D1)∪A(D2)。對于 X,Y ? V(D),定義(X,Y)D={(x,y)∈A(D):x∈X,y∈Y}。當 Y=V(D)-X 時,定義 ?+D( X)=(X,V(D)-X)D和 ??(DX)=(V(D)-X,X)D。對于一個點 v∈V(D),是D中點v的出度,是D中點v的入度。如果x,y是D中的兩個點且x到y(tǒng)是可達的,則在D中從x到y(tǒng)的距離記作dis(tx,y),是(x,y)-道的最小長度,否則dis(tx,y)=∞。D中的一個點集X到另一個點集Y的距離為dis(tX,Y)=max{dis(tx,y),x∈X,y∈Y}。有向圖D的直徑為diam(D)=dis(tV,V),即diam(D)=max{dis(tV,V),x∈V,y∈V}。我們定義,如果有向圖D中只有一個點,則diam(D)=0。如果D不是強連通有向圖,即存在兩個點x,y使得dis(tx,y)=∞,則diam(x,y)=∞。如果對于有向圖D中任意一對不同的點 x,y,既存在(x,y),又存在(y,x),則稱D為完全有向圖。

    下面介紹p次冪有向圖的定義。

    定義1[1]對于一個正整數(shù)p和一個有向圖D,p次冪有向圖 D 定義如下:V(D )=V(D),如果x≠y且有dis(tx,y)≤p,則有(x,y)∈A(D)。

    根據(jù)以上的定義易知D1=D。當p=2時,稱D2為D的平方圖。當p=3時,稱D3為D的立方圖。

    如果D不是強連通有向圖,則p次冪有向圖不是強連通的且不可能包含一個生成閉有向跡。因此,以下所有的有向圖都假設是強連通的。

    Boesch,Suffel和 Tindell[2]在 1977 年提出了超歐拉問題,他們致力于刻畫出包含生成歐拉子圖的無向圖,同時他們表示這個問題是非常困難的。Pulleyblank[3]在1979年證明了判定一個無向圖(甚至包含平面無向圖)是否是超歐拉的是NP-complete。截至今日,已經有大量關于超歐拉無向圖的研究,例如文獻[4-6]。

    因此,在超歐拉無向圖的基礎上,超歐拉有向圖很快便被廣泛的研究。如果一個有向圖D包含一個有向閉跡W使得A(W)=A(D),則稱D是歐拉有向圖。如果一個有向圖D包含一個有向閉跡W使得V(W)=V(D)或包含一個生成歐拉子圖,則稱D是超歐拉有向圖。否則,稱D是非超歐拉有向圖。如今,最主要的問題就是判定一個有向圖是超歐拉有向圖。Gutin[7,8]進行了早期的研究。一些近期的發(fā)展可以參考文獻[9,10]。

    2 主要結果

    命題1[1]一個有向圖D的直徑是有限的當且僅當D是強連通的。

    定理1 設D是一個強連通有向圖且diam(D)=d,則D的d次冪有向圖是完全有向圖。

    證明 設 V(D)={v1,v2,…,vn}并且對于 D 中的任意兩個不同的點 vi和 vj,i≠j且 i,j∈[n]。根據(jù) p次冪有向圖的定義,可以得出V(Dd)=V(D)。因為D是一個強連通有向圖且diam(D)=d,則D中有dist(vi,vj)≤diam(D)=d,所以對于有向圖Dd中任意兩個不同的點vi和vj都存在(vi,vj)和(vj,vi),因此,有向圖Dd是完全有向圖。

    定理 2 設 Γ={S1,S2,…,Sn}是有向圖 D 中的有向圈的集合并且V(D)=Usi∈ΓV(Si)。如果滿足對任意的1≤i≤n,1≤j≤n+1,│(Si,Sj)D│=1當且僅當j=i+1,j是以n為模的,則D的平方圖是超歐拉有向圖。

    證明 我們想要在D的平方圖中構造一個生成有向閉跡S。因為│(Si,Sj)D│=1當且僅當j=i+1,j是以 n為模的,1≤i≤n,1≤j≤n+1,所以任意的 Si中存在一個點的出度為2,一個點的入度為2,不妨假設即D中存在弧設任意的其中

    下面討論w的奇偶性:

    定理 3 設 Γ={S1,S2,…,Sn}是有向圖 D 中的有向圈的集合并且V(D)=Usi∈ΓV(S)i。如果滿足對任意的 1≤i<j≤n,Si和 Sj恰有一段公共弧且只存在于Si和Sj中當且僅當j=i+1,則D的平方圖是超歐拉有向圖。

    證明 因為 Γ={S1,S2,…,Sn}是 D 中的有向圈的集合且滿足V(D)=Usi∈ΓV(S)i,所以,如果n=1,則D是超歐拉有向圖,D的平方圖也是超歐拉有向圖。因此,假設不存在這種情況。如果n≥2,因為對任意的1≤i<j≤n,Si和Sj恰有一段公共弧且只存在于Si和 Sj中當且僅當 j=i+1, 所以設 Si:xu1u2…usp0p1p2…pkx和Sj:xv1v2…vtp0p1p2…pkx是n個有向圈中任意兩個相鄰的恰有一段公共弧的有向圈且x,u1,u2,…,us,v1,v2,…,vt,p0,p1,p2,…,pk∈V(D)。根據(jù) p 次冪有向圖的定義容易得到V(D2)=V(D),并且在D的平方圖中存在有向路P1:xu1u2…usp0p1p2…pk和有向路 P2:v1v2…vtp0。

    下面對k的范圍進行分類討論:

    若 k=0,有向路 P1:xu1u2…usp0,有向路 P2:v1v2…vtp0。因為D中有dis(tp0,v1)≤2,dis(tp0,x)≤2,所以有(p0,v1)∈A(D2)和(p0,x)∈A(D2)。因此S(i,)j=P1+(p0,v1)+p2+(p0,x)是 D 的平方圖中關于 si和 sj的一個生成有向閉跡。因為si和sj是n個有向圈中的任意兩個相鄰的恰有一段公共弧的有向圈,且公共弧只存在于si和sj中,所以D的平方圖中一定包含一個生成有向閉跡。故D的平方圖是超歐拉有向圖。

    若 k≥1,因為 D 中有 dist(pk,v1)≤2,所以 D 的平方圖中存在(pk,v1)。

    當k為奇數(shù)時,因為在 D中有 dist(p0,p2)=dist(p2,p4)=…=dist(pk-3,pk-1)=dist(pk-1,x)=2,所以D的平方圖中存在有向路P3:p0p2p4…pk-3pk-1x。因此S(i,j)=P1+(pk,v1)+P2∪P3是 D 的平方圖中關于 si和 sj的一個生成有向閉跡。同理,D的平方圖中一定包含一個生成有向閉跡。故D的平方圖是超歐拉有向圖。

    當k為偶數(shù)時,因為D中有dist(p0,p2)=dist(p2,p4)=…=dist(pk-2,pk)=2且dist(pk,x)<2,所以D的平方圖中存在有向路 P4:p0p2p4…pk-2pkx。因此,S(i,i+1)=P1+(pk,v1)+P2∪P4是 D 的平方圖中關于 si和 sj的一個生成有向閉跡。同理,D的平方圖中一定包含一個生成有向閉跡。故D的平方圖是超歐拉有向圖。

    下面介紹的引理1將被應用在證明一個有向圖是非超歐拉有向圖的例子中。

    引理1[10]對于某個正整數(shù)m和一個有向圖D,如果 V(D)中包含點不交的子集 B1,B2,…,Bm且滿足以下兩個條件,則稱D是非超歐拉有向圖:

    (1)N-(Bi)Bi∈[m];

    設Fs,t(s,t≥1且滿足n=s+t)是一個n個點的強連通有向圖,它是通過將一條有向路x1x2…xs加上含有t個新點的集合Y(t),并且連接xs到每一個新點,連接 Y(t)中的每一個點到 x1。令s,t為一個有向圖 D的集族,此集族是通過將有向圖Fs,t加上形如(xl,xk),1≤k<l≤s的弧得到的。

    若 t=1,即 y1=yt。因為 D∈s,t,所以無論 S 取何值都有S:x1x2…xsy1x1是D中的生成有向閉跡,則D是超歐拉有向圖。

    若t≥2,下面討論s的取值范圍:

    當 s=1,即 x1=xs。因為 D∈s,t,所以 D 中存在(x1,y1)(,y1,x1),(x1,y2),(y2,x1),…,(x1,y)t,(yt,x1)。因此,S=(x1,y1)+(y1,x1)+(x1,y2)+(y2,x1)+…+(x1,y)t+(yt,x1)是D中的生成有向閉跡,則D是超歐拉有向圖。

    下面討論s的奇偶性:

    y1y2yt圈。因此中的生成有向閉跡,則是超歐拉有向圖。

    例1說明了定理4中的條件是最優(yōu)的。

    [1]J.Bang-Jensen and G.Gutin.Digraphs:Theory[M].Algorithms and Applications,Second Edition,Springer,2010.

    [2]F.T.Boesch,C.Suffel,and R.Tindell.The spanning subgraphs of eulerian graphs[J].Journal of Graph Theory,1977,(1):79-84.

    [3]W.R.Pulleyblank.A note on graphs spanned by Eulerian graphs[J].Journal of Graph Theory,1979,(3):309-310.

    [4]P.A.Catlin.Supereuleriangraphs:asurvey[J].JournalofGraph Theory,1992,(16):177-196.

    [5]Z.H.Chen,H.J.Lai.Reduction techniques for super-Eulerian graphsandrelatedtopics-asurvey[A].Combinatoricsand graphtheory'95,Volume1(Hefei),WorldScienceCitation Index Publishing,River Edge,NJ(1995):53-69.

    [6]H.J.Lai,Y.Shao,and H.Yan.An update on supereulerian Graphs[J].World Scientific and Engineering Academy and Society Transactions on Mathematics,2013,12(9):926-940.

    [7]G.Gutin.Cycles and paths in directed graphs[D].Tel A-viv-Yafo:Tel Aviv University,1993.

    [8]G.Gutin.Connected(g;f)-factors and supereulerian digraphs[J].Ars Combinatoria,2000,(54):311-317.

    [9]M.J.Algefari,K.A.Alsatami,H.J.Lai and J.Liu.Supereulerian digraphs with given local structures[J].Information Processing Letters,2016,116(5):321-326.

    [10]K.A.Alsatami,X.D.Zhang,J.Liu and H.J.Lai.On a class of supereulerian digraphs[J].Applied Mathematics,2016,(7):320-326.

    On Supereulerian Powers of Digraphs

    CUI Qiu-yue,LIU Juan*
    (Xinjiang Normal University,Urumqi 830017,China)

    Adigraph D is supereulerian if contains a spanning closed ditrail.In this paper,we will give the sufficient conditions on a strong digraph or a strong digraph family isobtained for the pthpower of them to be supereulerian:let a digraph has a set of dicycle Γ={ S1,S1,…,Sn}and V(D)=Usi∈ΓV(Si),the sufficient conditions on its square digraph is supereulerian.For every D∈s,t,ifsis odd,then for everyis supereulerian.Ifsis even,then for everyDDis supereulerian.

    supereulerian digraph;pthpower;square digraph;eulerian digraph

    O157.5

    A

    1674-3229(2017)03-0015-05

    2017-03-12

    國家自然科學基金(61363020,11301450);新疆師范大學研究生科技創(chuàng)新基金資助項目(XSY201602010)

    崔秋月(1992-),女,新疆師范大學數(shù)學科學學院碩士研究生,研究方向:圖論及其應用。

    劉娟(1981-),女,博士,新疆師范大學數(shù)學科學學院教授,研究方向:圖論及其應用。

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