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    極大限制弧連通有向圖的度條件

    2021-08-31 06:09:00林上為吳姝煜
    關(guān)鍵詞:連通分支有向圖弧度

    林上為,吳姝煜

    (山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山西 太原 030006 )

    0 引言和術(shù)語

    對于這里沒有定義的圖論術(shù)語和符號,請參見文獻[1]。本文討論的有向圖都是有限的且沒有環(huán)和多重弧。對有向圖D,用V=V(D)和A=A(D)分別表示D的頂點集和弧集。對有向圖D中的一個頂點v,它的外鄰域為N+(v)={u∈V(D):vu∈A(D)},出度為

    D的最小出度是

    點v的內(nèi)鄰域N-(v),入度d-(v)和D的最小入度δ-(D)可類似定義。頂點v的度定義為d(v)=min {d+(v),d-(v)},有 向 圖D的 最 小 度 定 義 為δ(D)=min {d(v):v∈V(D)}=min {δ+(D),δ-(D)}。對于非空頂點子集對X,Y和D的弧子集S,記S(X,Y)={xy∈S:x∈X,y∈Y}。若Y=Xˉ,則用A+(X)或者A-(Y)表示

    若有向圖D中任意兩個頂點互相可達,那么稱有向圖D是強連通的。約定只有一個頂點的有向圖是強連通的。稱有向圖D的極大強連通子圖為D的強連通分支。一個強連通分支是平凡的,如果它只包含一個頂點。對強連通有向圖D,稱S?A(D)是有向圖D的一個弧割,如果D-S是不強連通的。有向圖D的一個最小弧割的弧數(shù)稱為D的弧連通度,記為λ(D)。

    眾所周知,當(dāng)用有向圖為有向互聯(lián)網(wǎng)絡(luò)建模時,有向圖的弧連通度越大,對應(yīng)網(wǎng)絡(luò)越可靠。且對所有有向圖D都有λ(D)≤δ(D)成立,稱滿足λ(D)=δ(D)的強連通有向圖D為極大弧連通的。極大弧連通有向圖的充分條件曾得到廣泛的研究[2]。特別地,文獻[3]給出極大弧連通圖的一個度條件。

    定理1[3]設(shè)D是一個n階有向圖。若所有滿足uv?A(D)的點對{u,v}都有

    則D是極大弧連通的。

    文獻[4]給出另外一種類型的度條件。

    則有向圖D是極大弧連通的。

    為了將Esfahanian 和Hakimi[5]提出的無向圖的限制邊連通度推廣到有向圖,Volkmann[6]引入了限制弧連通度的概念。設(shè)D是一個強連通有向圖。稱D的一個弧割S是D的一個限制弧割,如果DS有一個非平凡的強連通分支D1使得D-V(D1)包含一條弧。如果強連通有向圖D中存在一個限制弧割,則稱D是λ′-連通的。一個λ′-連通有向圖D的限制弧連通度λ′(D)是D的一個最小限制弧割所含的弧數(shù)。

    2008 年,Wang 和Lin[7]在研究限制弧連通度上界時引進弧度的概念。對有向圖D的一條弧xy,記

    將弧xy的弧度定義為ξ′(xy)=min {|S|:S∈Ωxy},有向圖D的最小弧度定義為

    文獻[7]也證明了以下結(jié)果。

    定理3[7]設(shè)D是一個滿足δ+(D)≥3 或者δ-(D)≥3 的強連通有向圖,那么有向圖D是λ′-連通的且λ′(D)≤ξ′(D)。

    2013 年,Balbuena 等[8]證 明 了 一 個 類 似 的結(jié)果。

    定理4[8]設(shè)D是階數(shù)至少為4 的強連通有向圖。如果D的最小度δ(D)≥2,那么D是λ′-連通的且λ′(D)≤ξ′(D)。

    由定理3 和定理4 可知對大多數(shù)有向圖D,最小弧度ξ′(D)是限制弧連通度λ′(D)的上界。據(jù)此,文獻[7]引入了極大限制弧連通圖的概念。稱一個λ′-連通有向圖D是極大限制弧連通的,如果λ′(D)=ξ′(D)。近年來,限制弧連通度得到了一些研究[9-12],這其中極大限制弧連通有向圖的充分條件尤其受到關(guān)注,比如度條件[13-17],直徑圍長條件[18]和鄰域條件[19]。特別地,文獻[7]也證明了極大限制弧連通有向圖的一個鄰域交條件。與定理1 同樣考慮,可由鄰域交條件得下面的度條件。

    定理5[7]設(shè)D是一個n階有向圖。若所有滿足uv?A(D)的點對{u,v}都有

    則D是極大限制弧連通的。

    本文將沿定理2 的思路,給出與定理5 不同的極大限制弧連通有向圖的一個度條件。在最后也給出例子說明本文得出的結(jié)果與定理5 的結(jié)果是獨立的并且在某種意義上本文所得的結(jié)果是最優(yōu)的。

    1 極大限制弧連通有向圖的度條件

    在給出主要結(jié)果之前,先介紹兩個引理。由文獻[8]中定理1.2 的證明可得下面的引理1。

    引 理1[8]設(shè)D是 一 個 滿 足λ′(D)≤ξ′(D)的λ′-連通有向圖,且設(shè)S是D的一個最小限制弧割,那么要么存在一個頂點子集X?V(D)使得導(dǎo)出子圖D[X]和D[V-X]中都至少包含一條弧且S=A+(X),要 么 存 在 一 條 弧uv∈A(D) 使得S∈Ωuv。

    引理2 設(shè)D是一個階數(shù)為n≥4 的強連通有向圖。若除可能的一個點外,D的所有頂點的度都至 少 為 3,則 有 向 圖D是λ′- 連 通 的 且λ′(D)≤ξ′(D)。

    證明 對任意給定的一條弧xy∈A(D),因為除可能的一個點外,D中所有頂點的度都至少為3,所以除可能的一個點外,D-{x,y}中所有頂點的度都至少為1。這說明D-{x,y}包含一個圈。因此,D-{x,y}有一個非平凡的強連通分支D1。對任意的S∈Ωxy,D1也是D-S的一個非平凡的強連通分支并且D-V(D1)含弧xy。這說明S是一個限制弧割,從而D是λ′-連通的并且λ′(D)≤|S|。由弧xy的任意性和S的任意性可得λ′(D)≤ξ′(D)。

    則D是極大限制弧連通的。

    證明 因為對任意的u∈V(D)都有d(u)≤n-1,所以除可能的一個點外,滿足題設(shè)條件的D的所有頂點的度都至少為

    由引理2,D是λ′-連通的且λ′(D)≤ξ′(D)。用反證法,假設(shè)D不是極大限制弧連通的,則有λ′(D)<ξ′(D)。設(shè)S是D的一個最小限制弧割。若存在一條弧xy使得S∈Ωxy,則λ′(D)=|S|≥ξ′(D),矛盾。因此,由引理1,存在一個頂點子集X?V(D)使得D[X]和D[Y]都包含至少一條弧且S=A+(X),其中Y=V(D)-X。顯然,|X|≥2。若|X|=2,則可設(shè)X={x,y} 且xy是 一 條 弧。此 時S=A+(X)=A+({x,y})∈Ωxy。從而,

    λ′(D)=|S|=|A+({x,y})|≥ξ′(D),矛盾。

    因此,|X|≥3。同理可得|Y|≥3。記p=|X|和q=|Y|。不失一般性,假設(shè)p≤q。

    設(shè)Y′={y∈Y: 存 在 一 個 頂 點y′∈Y使得{y,y′}∈π(D)},Yi={y∈Y:存在一個頂點x∈Xi使得{x,y}∈π(D)},i=0,1,2,3,4。 顯 然有

    對任意的i∈{0,1,2,3}和y∈Yi,存在一個頂點x∈Xi使得{x,y}∈π(D),因此

    整理得|S(X,y)|≥4-i,從而有|S(X,Yi)|≥(4-i)|Yi|=(4-i)|Xi|。因此

    將(2)式和(3)式相加,得到

    對兩個互相配對的頂點x,x′∈X′,有

    記|Y′|=2t,同理可得

    若n是偶數(shù),則D中所有點都是配對點,因此

    設(shè)x1,x2是X中一對頂點,使得x1和x2之間有弧且|S(x1,Y)|+|S(x2,Y)|最小。記

    下面對k的取值分情況討論,得到想要的矛盾。

    情形1k≤2。

    此 時,ξ′(D)≤|A+({x1,x2})|=A({x1,x2},|X-{x1,x2})|+|S(x1,Y)|+|S(x2,Y)|≤2|X-{x1,x2}|+|S(x1,Y)|+|S(x2,Y)|=2(p-2)+|S(x1,Y)|+|S(x2,Y)|=2(p-2)+k≤2(p-1)。結(jié) 合(8)式 有λ′(D)≥ξ′(D),與 假 設(shè)λ′(D)<ξ′(D)矛盾。

    情形2k≥3。

    不妨設(shè)|S(x1,Y)|≤|S(x2,Y)|。設(shè)

    則有

    對任意的x∈W1∪W3,有弧x1x。由x1x2的選取有

    由此可得對任意的x∈W1∪W3,

    同 理,對 任 意 的x∈W2,有|S(x,Y)|+|S(x2,Y)|≥|S(x1,Y)|+|S(x2,Y)|,由此可得對任意的x∈W2,

    情形2.1 |S(x1,Y)|≥1。

    若|S(x1,Y)|=1,則

    |S(x2,Y)|=k-|S(x1,Y)|≥3-1=2。

    若|S(x1,Y)|≥2,則

    |S(x2,Y)|≥|S(x1,Y)|≥2。

    綜上都有|S(x2,Y)|≥2。

    由(11)式和(12)式可知,對任意的x∈W1∪W3有|S(x,Y)|≥|S(x2,Y)|≥2,且 對 任 意 的x∈W2有|S(x,Y)|≥|S(x1,Y)|≥1。再結(jié)合(9)式和(10)式可得λ′(D)≥k+2|W1|+2|W3|+|W2|≥k+|W1|+|W2|+2|W3|≥ξ′(D),矛盾。

    情形2.2 |S(x1,Y)|=0。

    此時|S(x2,Y)|=k。結(jié)合(9)式和(11)式有

    由(8)式可得

    結(jié)合(10)式、(14)式和假設(shè)可得

    整理得

    結(jié) 合(10)式、(13)式 和 假 設(shè) 可 得k+|W1|+|W2|+2|W3|≥ξ′(D)>λ′(D)≥k+k|W1|+k|W3|,整理得

    結(jié)合(15)式和(16)式有

    由此可得

    這 說 明N+(x1)∩(X-{x1,x2})=?, 又 由|S(x1,Y)|=0,故N+(x1)?{x2},從而d+(x1)≤1。

    由(17)式可知,W2≠?,若W2中一點x′1使得|S(x′1,Y)|=0, 則x2x′1是 一 條 弧 , 且|S(x′1,Y)|+|S(x2,Y)|=k,同上面對x1,x2的討論可得d+(x′1)≤1,此時圖D中有兩個度小于等于1的頂點x1和x′1,與(1)矛盾。因此,對W2中任意一點x′1都有|S(x′1,Y)|≥1。再結(jié)合(9)式、(10)式和(18)式 可 得λ′(D)≥k+|W2|≥ξ′(D),與 假 設(shè)λ′(D)<ξ′(D)矛盾。定理得證。

    2 對結(jié)果的討論

    則稱有向圖D具有性質(zhì)Pk。定理2 表明,若一個有向圖具有性質(zhì)P0,則該圖是極大弧連通的。本文證明了每個滿足性質(zhì)P2的有向圖都是極大限制弧連通的。下面用例子說明,由性質(zhì)P1不能推出極大限制弧連通性,因此定理6 在某種意義上是最優(yōu)可能。

    例1 設(shè)U={u1,u2,···,up},

    是基數(shù)都為p的4個不相交集合,其中p≥3。設(shè)H1和H2是 頂 點 集 分 別 為V(H1)=U∪X和V(H2)=V∪Y的兩個完全無向圖。設(shè)H3是具有二劃分(U,V)的1-正則二部無向圖并且設(shè)H4是具有二劃分(X,Y)的 2- 正 則 二 部 無 向 圖 。 設(shè)G是 并 圖H1∪H2∪H3∪H4,設(shè)有向圖D是圖G的完全雙定向。 對 任 意 的 一 個 點 對{u,v}∈{{u1,y1} ,{u2,y2} ,…,{up,yp} ,{v1,x1} ,·· ·,{vp,xp} }都有

    d(u)+d(v)=2p+(2p+1)=|V(D)|+1,因此D具有性質(zhì)P1。但是A+(U∪V)是一個限制弧割,從而有

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