一類高階歐拉方程的通解

鄧瑞娟，陳倩倩

（蕪湖職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部，安徽蕪湖 241003）

變系數(shù)微分方程在生物學(xué)、電學(xué)、動力學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用，其中形如

的微分方程被稱為歐拉方程，是變系數(shù)微分方程中應(yīng)用最為廣泛的類型之一，受到了很多學(xué)者的關(guān)注[1-5]。如王慧等[1]就研究了二階變系數(shù)線性微分方程何時可以轉(zhuǎn)變?yōu)闅W拉方程，常秀芳[2]研究了齊次歐拉方程的通解。

但因為歐拉方程的系數(shù)不是常數(shù)，非齊次歐拉方程的求解較為困難，獲得的成果也較少。本文用變量代換的方法研究一類特殊的高階歐拉方程。若記，該類方程表達(dá)式為

1 二階方程

表1 齊次方程（4）的通解

2 三階歐拉方程

表2 齊次方程（8）的通解

3 n階方程（n≥3）