素?cái)?shù)判定定理的延拓

唐 靜，趙美利

（滁州城市職業(yè)學(xué)院，安徽滁州 239000）

眾所周知，素?cái)?shù)的判定問(wèn)題一直是數(shù)論研究的中心問(wèn)題之一，我們熟悉的歌德巴赫猜想、費(fèi)爾瑪大定理[1]，他們與素?cái)?shù)都有直接的關(guān)系，而素?cái)?shù)的判定方法也在不斷改進(jìn)。威爾遜[2]從同余角度給出了正整數(shù)P為質(zhì)數(shù)的充分必要條件是，郝稚傳[3]給出若P是奇數(shù)，P是素?cái)?shù)的充分必要條件為。從組合數(shù)的角度給出了奇數(shù)是素?cái)?shù)的判定條件，開(kāi)辟了一個(gè)新的途徑，在此基礎(chǔ)上如何找到更實(shí)用、更簡(jiǎn)單、更一般的素?cái)?shù)判斷新方法仍然是數(shù)論研究的熱點(diǎn)之一。王曉靜[4]給出了組合數(shù)被素?cái)?shù)整除的一種判別法 。針對(duì)m，n數(shù)值較大時(shí)，吳躍生[5]給出組合數(shù)被素?cái)?shù)整除的又一種判別法。蔣婭[6]總結(jié)了能被素?cái)?shù)整除的組合數(shù)的形式若p為素?cái)?shù)，則，但對(duì)一個(gè)正整數(shù)是否是素?cái)?shù)，有沒(méi)有一個(gè)一般的方法均未作深入探討。以下對(duì)奇數(shù)是素?cái)?shù)的一般方法進(jìn)行簡(jiǎn)單的探討，并基于C++語(yǔ)言給出程序?qū)崿F(xiàn)。

1 預(yù)備知識(shí)

素?cái)?shù)的定義：一個(gè)大于1的整數(shù)，除了1和他自身外，不能被任何一個(gè)數(shù)整除，則這個(gè)數(shù)稱(chēng)為素?cái)?shù)，否則就稱(chēng)這個(gè)數(shù)是合數(shù)，2是最小的素?cái)?shù)。

2 相關(guān)結(jié)論

該定理給出了更一般判定奇數(shù)是質(zhì)數(shù)的充要條件，我們下面給出證明，并用JAVV語(yǔ)言給出程序設(shè)計(jì)及實(shí)現(xiàn)效果。要證明此結(jié)論，需要證明以下結(jié)論。

綜上所述引理4成立，由以上引理，我們?nèi)菀椎玫蕉ɡ淼淖C明，下面我們來(lái)證明定理是正確的。

證明：“?”

所以定理得證。

下面我們驗(yàn)證此定理的正確性和簡(jiǎn)便化，比如，我們驗(yàn)證7是否是素?cái)?shù)，可以取n=3，r=2，k=2，得到能夠被7整除，所以7是素?cái)?shù)。對(duì)于一個(gè)較大的正整數(shù)，如果用以前的方法和結(jié)論，會(huì)使判定步驟復(fù)雜化，比如用引理2的結(jié)論，我們將n和r的值代入，需要驗(yàn)證和計(jì)算的步驟比較多，用此定理，當(dāng)n確定下來(lái)后，由于r，k的任意性，我們可以通過(guò)r，k的取值，把問(wèn)題簡(jiǎn)單化，驗(yàn)證條件簡(jiǎn)單化，結(jié)果是正確的，此定理是對(duì)原來(lái)判定定理的延拓，更具有一般性。下面簡(jiǎn)單給出此定理的算法設(shè)計(jì)及分析效果。

3 算法實(shí)現(xiàn)及優(yōu)化

下面我們用JAVV語(yǔ)言來(lái)實(shí)現(xiàn)素?cái)?shù)的判定，具體的程序)如下:

素?cái)?shù)的判定問(wèn)題是初等數(shù)論討論的核心問(wèn)題之一，本文討論了一種較為簡(jiǎn)單的判定方法，此方法較為簡(jiǎn)單實(shí)用；素?cái)?shù)的求解算法問(wèn)題是計(jì)算機(jī)語(yǔ)言中的典型問(wèn)題，出現(xiàn)在許多計(jì)算機(jī)課程教學(xué)中，關(guān)于這些問(wèn)題的研究是永無(wú)止境的課題，需要我們進(jìn)一步研究和探討。