歐拉剛體旋轉(zhuǎn)定理虛擬實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)*

◆崔玉鑫 楊彬 楊洋 王超飛

0 前言

歐拉旋轉(zhuǎn)定理[1]是由瑞士著名數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家萊昂哈德·歐拉提出的：剛體繞定點(diǎn)的任意有限轉(zhuǎn)動(dòng)可由繞過該點(diǎn)某根軸的一次有限轉(zhuǎn)動(dòng)實(shí)現(xiàn)?？衫斫鉃閯傮w從一個(gè)姿態(tài)運(yùn)動(dòng)到任意一個(gè)姿態(tài)可由繞某根軸一次轉(zhuǎn)動(dòng)某個(gè)角度實(shí)現(xiàn)。該軸稱為歐拉一次轉(zhuǎn)軸，該角稱為歐拉一次轉(zhuǎn)角。

歐拉旋轉(zhuǎn)定理是剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)中非常經(jīng)典的定理之一，其研究意義在于：一方面，它是轉(zhuǎn)動(dòng)四元數(shù)和歐拉四元數(shù)姿態(tài)坐標(biāo)的理論依據(jù)；另一方面，該定理蘊(yùn)含了剛體姿態(tài)問題的幾乎所有內(nèi)容，理解了該定理也就弄清了剛體姿態(tài)問題的實(shí)質(zhì)。但由于歐拉旋轉(zhuǎn)定理非常抽象[2-3]，在三維空間一般很難找到歐拉一次轉(zhuǎn)軸和歐拉一次轉(zhuǎn)角，必須經(jīng)過復(fù)雜的計(jì)算才能獲得，即使這樣也很難想象繞歐拉一次轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)歐拉一次轉(zhuǎn)角后，剛體能夠轉(zhuǎn)到什么姿態(tài)，使得學(xué)生學(xué)習(xí)起來很困難。為此，本文借助國(guó)家級(jí)虛擬仿真實(shí)驗(yàn)教學(xué)中心——機(jī)械虛擬仿真實(shí)驗(yàn)教學(xué)中心的建設(shè)機(jī)會(huì)，設(shè)計(jì)一套證明歐拉旋轉(zhuǎn)定理的虛擬實(shí)驗(yàn)臺(tái)。

1 實(shí)驗(yàn)臺(tái)總體結(jié)構(gòu)與實(shí)驗(yàn)原理

實(shí)驗(yàn)臺(tái)結(jié)構(gòu)與作用 如圖1所示，該實(shí)驗(yàn)臺(tái)由兩個(gè)裝置組成，即裝置一和裝置二。

圖1 歐拉旋轉(zhuǎn)定理虛擬實(shí)驗(yàn)臺(tái)視圖

裝置一的作用是設(shè)定剛體在空間中某一任意姿態(tài)。上端的類似長(zhǎng)方體的物體代表剛體，下端為支座，剛體與下端支座之間通過一個(gè)萬(wàn)向節(jié)和一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)鉸相連，使得剛體與支座之間有三個(gè)相對(duì)自由度，從而能夠達(dá)到有限范圍內(nèi)的任意姿態(tài)。

裝置二的作用是通過測(cè)量和計(jì)算得到的裝置一中剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的歐拉一次轉(zhuǎn)軸和歐拉一次轉(zhuǎn)角來重現(xiàn)裝置一中剛體的姿態(tài)，從而達(dá)到歐拉旋轉(zhuǎn)定理的演示目的，同時(shí)證明歐拉旋轉(zhuǎn)定理的正確性。裝置二的上端是一個(gè)與裝置一中相同的剛體，下端為支座，與支座相連的為一繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)鉸，設(shè)轉(zhuǎn)角為H；與這個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)鉸相連的是一個(gè)繞x軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)鉸，設(shè)轉(zhuǎn)角為p，利用這兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)鉸可確定歐拉一次轉(zhuǎn)軸p。與剛體相連的是一個(gè)球鉸，其作用是將剛體調(diào)整回初始姿態(tài)，原因是：在確定歐拉一次轉(zhuǎn)軸過程中進(jìn)行兩次轉(zhuǎn)動(dòng)，剛體也隨之轉(zhuǎn)動(dòng)，使得確定歐拉軸之后剛體的姿態(tài)不在初始姿態(tài)，而裝置一中的剛體姿態(tài)是從初始姿態(tài)開始變化的。為了實(shí)現(xiàn)姿態(tài)的復(fù)現(xiàn)，完成歐拉一次轉(zhuǎn)動(dòng)，則裝置二中的剛體也要由初始姿態(tài)開始轉(zhuǎn)動(dòng)。球鉸的下邊是一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)鉸（歐拉一次轉(zhuǎn)動(dòng)鉸），當(dāng)利用與支座相連的兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)確定了歐拉一次轉(zhuǎn)軸之后，歐拉一次轉(zhuǎn)鉸的軸線方向即為該方向。將剛體調(diào)整回初始姿態(tài)并鎖死球鉸后，便可以利用歐拉一次轉(zhuǎn)動(dòng)鉸轉(zhuǎn)過歐拉一次轉(zhuǎn)角θ來實(shí)現(xiàn)歐拉旋轉(zhuǎn)定理的演示。

實(shí)驗(yàn)原理 設(shè)在裝置一中，通過其上的刻度尺讀出的各個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)的角度分別是φ1,φ2,φ3，利用這三個(gè)角度可以計(jì)算出剛體所處的姿態(tài)，即方向余弦陣：

其中，s1=sinφ1，c1=cosφ1，其余類似。

歐拉一次轉(zhuǎn)軸和歐拉一次轉(zhuǎn)角的計(jì)算方法如下。

1）利用解線性方程組的高斯消去法計(jì)算方向余弦陣對(duì)應(yīng)于特征值為1的特征向量，并進(jìn)行單位化處理，得到歐拉一次轉(zhuǎn)軸p1、p2、p3。

2）根據(jù)式（2）計(jì)算cθ：

3）找出最大的pi，設(shè)其為pm，將其帶入式（3）中的一式可求出sθ：

4）根據(jù)sθ和cθ，利用計(jì)算機(jī)語(yǔ)言的數(shù)學(xué)函數(shù)θ=atan2(sθ,cθ)，便可計(jì)算出歐拉一次轉(zhuǎn)角。

裝置二中的轉(zhuǎn)角為H和P的計(jì)算方法見式（4）。

2 虛擬實(shí)驗(yàn)

如圖2所示，設(shè)裝置一的剛體被搬動(dòng)到該位置，各轉(zhuǎn)軸處轉(zhuǎn)角分別為10°、20°、30°，則計(jì)算得到的方向余弦陣見式（5）。

圖2 裝置一剛體運(yùn)動(dòng)到任意姿態(tài)

然后將裝置二中的剛體轉(zhuǎn)回初始姿態(tài)，如圖3所示，并將球鉸鎖定。

圖3 裝置二剛體運(yùn)動(dòng)到任意姿態(tài)

最后將裝置二中的剛體繞球鉸下面的轉(zhuǎn)動(dòng)鉸轉(zhuǎn)動(dòng)歐拉一次轉(zhuǎn)角，即完成歐拉一次轉(zhuǎn)動(dòng)，剛體從初始姿態(tài)轉(zhuǎn)動(dòng)到裝置一中剛體的姿態(tài)，如圖4所示，從而證明歐拉旋轉(zhuǎn)定理。

圖4 裝置二剛體進(jìn)行歐拉一次轉(zhuǎn)動(dòng)后與裝置一姿態(tài)相同

3 結(jié)語(yǔ)

針對(duì)剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)相關(guān)課程教學(xué)過程中的歐拉旋轉(zhuǎn)定理難以講授、不易理解的問題，本文設(shè)計(jì)一套證明該定理的虛擬實(shí)驗(yàn)臺(tái)，分析實(shí)驗(yàn)原理、實(shí)驗(yàn)步驟以及相應(yīng)參數(shù)的解算方法，通過實(shí)例說明、證明虛擬實(shí)驗(yàn)的有效性。實(shí)驗(yàn)改革措施經(jīng)筆者三年多的實(shí)踐，效果較為令人滿意。