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    關(guān)于判定超歐拉圖的分離結(jié)合法

    2021-10-22 03:34:40陳宇龍韋美雁潘學(xué)文
    湖南科技學(xué)院學(xué)報 2021年3期
    關(guān)鍵詞:哈密頓結(jié)合法原圖

    陳宇龍 張 林 韋美雁 潘學(xué)文

    關(guān)于判定超歐拉圖的分離結(jié)合法

    陳宇龍 張 林 韋美雁 潘學(xué)文

    (湖南科技學(xué)院 電子與信息工程學(xué)院,湖南 永州 425199)

    本文基于判定超歐拉圖的收縮法和撕裂法,將兩種方法進(jìn)行了結(jié)合改進(jìn),提出一種新的超歐拉圖的判定方法——分離結(jié)合法,并進(jìn)行了實例判定。

    超歐拉圖;分離結(jié)合法;收縮;分裂

    判定一個圖是否是超歐拉圖的方法最早為Catlin在1988年提出的收縮法[2]。收縮法的關(guān)鍵是找到有效的可折疊子圖,但是在實際中對于可折疊子圖的尋找十分不容易。鑒于此,我國的學(xué)者李登信提出次可折疊子圖,即添加邊數(shù)的方法來判定超歐拉圖[3,4]。李霄民提出了撕裂法[5],即給出圖的頂點的一種變換,變換保持圖的頂點數(shù)不變,但邊數(shù)減少;并且給出變換后的圖與原圖的超歐拉性的關(guān)系,從而通過變換后的圖的超歐拉性導(dǎo)出原圖的超歐拉性。本文考慮將兩種方法進(jìn)行結(jié)合改進(jìn),提出一種新的超超歐拉圖的判定方法,把圖分離成兩部分,對一部分進(jìn)行收縮,對另一部分進(jìn)行撕裂,得到兩個子圖,然后連接兩個子圖,并引進(jìn)哈密頓圖的概念,實現(xiàn)更加快速地判定超歐拉圖。我們把這種方法稱為分離結(jié)合法。

    1 預(yù)備知識

    定義2 通過圖(有向圖或無向圖)中所有邊一次且僅一次,行遍所有頂點的回路(通路),叫做歐拉回路(歐拉通路)。具有歐拉回路的圖稱作歐拉圖。

    定義3 通過圖中所有頂點一次且僅一次的回路(通路)稱作哈密頓回路(通路)。具有哈密頓回路的圖稱作哈密頓圖。

    定義4 超歐拉圖是指具有歐拉生成子圖的圖。如圖1所示,黑邊為其歐拉生成子圖。

    圖1 超歐拉圖

    2 收縮法與撕裂法的原理

    2.1 收縮法原理

    收縮法的主要方法是找到一個比原圖簡單的可折疊子圖。通過對收縮后獲得的圖的超歐拉性來引導(dǎo)出原圖的超歐拉性,收縮法的核心在于找出可折疊子圖。收縮法的判定方法及實例在文獻(xiàn)[3]和文獻(xiàn)[4]中有詳細(xì)的介紹,本文不再表述。

    2.2 撕裂法原理

    撕裂法是給出圖的頂點的一種變換,變換保持圖的頂點數(shù)不變,但邊數(shù)減少;并且給出原圖與變換后的圖的超歐拉性的關(guān)系,從而通過變換后的圖的超歐拉性導(dǎo)出原圖的超歐拉性。撕裂法的判定方法及實例在文獻(xiàn)[5]中有詳細(xì)的介紹,本文不再表述。

    3 分離結(jié)合法

    收縮法一是在可折疊子圖的判定上要求太過于嚴(yán)格,二是對簡化圖的超歐拉性的判定沒有涉及。而撕裂法可用于簡化圖的超歐拉的判定。本文考慮將兩種方法結(jié)合,提高判定方法的適用性,提出一種新的方法:分離結(jié)合法。

    3.1 分離結(jié)合法原理

    假設(shè)圖G,K是圖G的一個子圖,把圖K分離成兩部分,結(jié)合文中收縮法和撕裂法,對一部分進(jìn)行收縮,對另一部分進(jìn)行撕裂,得到兩個子圖,然后連接兩個子圖,并引進(jìn)哈密頓圖的概念,實現(xiàn)更加快速地判定超歐拉圖。

    3.2 判定方法

    證明:利用反證法。

    3.3 判定實例

    給定案例圖,如圖2,現(xiàn)對其進(jìn)行分離結(jié)合。

    將圖分為兩部分,如圖3所示,對左部分圖進(jìn)行撕裂,對右部分圖進(jìn)行收縮,重新連接得到圖4(a),繼續(xù)撕裂直到任意頂點的度數(shù)不大于3。如圖4(b)所示。

    圖2 案例圖

    圖3 分解圖

    圖4 連接圖

    4 結(jié) 論

    超歐拉圖的判定是一個比較困難的問題,很多學(xué)者對該問題提出了一些判定方法,較好地解決了該問題。但收縮法的關(guān)鍵在于尋找可折疊子圖,實際上可折疊子圖的判定要求太過于嚴(yán)格,而撕裂法對于復(fù)雜圖的判定太過遲緩。本文通過對這些方法的系統(tǒng)性研究,將收縮法和撕裂法結(jié)合起來提出了分離結(jié)合法,通過實例的判定說明使用分離結(jié)合法能夠更加快速簡便地判斷某些圖是否為超歐拉圖,但對于一些簡單圖,如:矩形網(wǎng)格圖的判定不如撕裂法簡便。所以對于不同的圖選用適合的方法更易進(jìn)行判定是否為超歐拉圖。

    [1]F.T.Boesch, C.Suffel, R.Tindell. The spaning subgraph of eulerian graphs[J].J.Graph Theory,1977(1):79-84.

    [2]Catlin P A. A reduction method to find spanning Eulerian subgraphs[J]. J.Graph Theory,1988,12(1):29-45.

    [3]李登信,王斌,李霄民.關(guān)于判定超歐拉圖的收縮法[J].重慶工商大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)2003,20(1):1-4.

    [4]李登信,王斌. 超歐拉圖的判定及Catlin-猜想的研究[J].西南師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)2003(1):6-8.

    [5]李霄民.判定超歐拉圖的一個新方法[J].西南大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)2007,29(4):41-43

    O157.5

    A

    1673-2219(2021)03-0001-02

    2021-01-24

    湖南科技學(xué)院應(yīng)用特色學(xué)科建設(shè)項目;湖南省教育廳2020教學(xué)改革項目(項目編號HNJG-2020-0879)。

    陳宇龍(2000-),男,湖南長沙人,湖南科技學(xué)院軟件工程專業(yè)2018級學(xué)生。

    韋美雁(1974-),女,湖南永州人,碩士,副教授,研究方向為數(shù)據(jù)庫與大數(shù)據(jù)技術(shù)、人工智能。

    (責(zé)任編校:文春生)

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