有關(guān)廣義歐拉函數(shù)φ3(n)的一方程的解?

姜蓮霞 張四保

(喀什大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，新疆 喀什 844008)

0 引 言

歐拉函數(shù)φ(n)是數(shù)論中重要內(nèi)容之一，其在理論研究和實(shí)際應(yīng)用中都有著十分重要的意義[1].對(duì)于包含歐拉函數(shù)φ(n)的方程的正整數(shù)解的研究有著大量的研究成果，如文獻(xiàn)[2-8].在將 Lehmer同余式從模素?cái)?shù)的平方推廣到模任整數(shù)的平方時(shí)[9]，Cai[10]引入了廣義歐拉函數(shù)φe(n).對(duì)于廣義歐拉函數(shù)φe(n)的性質(zhì)以及方程解的研究，有文獻(xiàn)[11-16]進(jìn)行了一定的研究，為探討歐拉函數(shù)φ(n)與廣義歐拉函數(shù)φe(n)結(jié)合的性質(zhì)，本文將討論廣義歐拉函數(shù)φ3(n)與歐拉函數(shù)φ(n)混合方程式

的可解性問題.

1 引 理

2 結(jié)論及其證明

當(dāng)k=2 時(shí)，式(1)有整數(shù)解 (x，y)=(1，3)、(1，4)、(1，6)、 (2，3)、 (3，1)、 (4，1)、 (6，1)、 (3，2)、(1，10)、(10，1)、(3，4)、(4，3)；

當(dāng)k=3 時(shí)，式(1)有整數(shù)解 (x，y)=(3，3)、(3，6)、(6，3)；

當(dāng)k=4 時(shí)，式(1)有整數(shù)解 (x，y)=(1，5)、(1，8)、(1，12)、(2，5)、(5，1)、(8，1)、(12，1)、(5，2)、(1，20)、(1，30)、(20，1)、(30，1)、(2，4)、(2，6)、(4，2)、(6，2)、(2，10)、(10，2)、 (3，5)、(3，8)、(5，3)、(8，3)、(3，16)、(16，3)、(3，22)、(22，3)；

當(dāng)k=5 時(shí)，式(1)有整數(shù)解 (x，y)=(2，22)、(22，2)、(3，11)、(11，3)、(3，25)、(25，3)；

當(dāng)k=6 時(shí)，式(1)有整數(shù)解 (x，y)=(3，12)、(12，3)、(3，15)、(3，24)、(15，3)、(24，3)；

當(dāng)k=8 時(shí)，式(1)有整數(shù)解 (x，y)=(2，8)、(2，12)、(8，2)、(12，2)、(2，20)、(2，30)、(20，2)、(30，2)、 (3，48)、 (48，3)、 (3，51)、 (3，96)、 (51，3)、(96，3)、 (3，30)、 (30，3)、 (3，132)、 (3，150)、(132，3)、(150，3).

結(jié)合以上討論，可得定理1.