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    項的

    • 高中數(shù)列問題中的“陷阱”
      解由等比數(shù)列前n項的和性質(zhì),得S2,S4-S2,S6-S4也成等比數(shù)列,所以(S4-S2)2=S2(S6-S4),得S4=28或-21.選D.正解同上解得S4=28或-21.因為S4=a1+a2+a3+a4=a1+a2+a1q2+a2q2=(a1+a2)(1+q2)=S2(1+q2)>0,所以S4=28.選A.二、討論不全面,掉入“陷阱”例3求和Sn=x+2x2+3x3+…+nxn.錯解由通項公式可以看出該數(shù)列是等差數(shù)列乘以等比數(shù)列,可用錯位相減法求和.正

      高中數(shù)學教與學 2022年15期2022-09-19

    • 求數(shù)列前 n 項和的幾種途徑
      琴求數(shù)列前 n 項的和問題是各類數(shù)學試卷中的“??汀?,是高考數(shù)學必考的內(nèi)容之一.因此,熟練掌握一些求數(shù)列和的技巧是很有必要的.筆者總結(jié)了三種求數(shù)列的途徑,供大家參考.一、巧用公式法求和一般來講,運用公式法解答數(shù)列求和問題,需先找出數(shù)列的通項公式,或者明確數(shù)列的首項、公差、公比、項數(shù),然后將其代入等差數(shù)列的前 n 項求和公式或等比數(shù)列的前 n 項求和公式求解,即可求出數(shù)列的和。例1.解:該問題綜合考查了等差、等比數(shù)列的通項公式、等差數(shù)列的性質(zhì)、等比數(shù)列的前

      語數(shù)外學習·高中版中旬 2021年9期2021-11-19

    • 解答數(shù)列求和問題的幾種途徑
      把數(shù)列的前 n 項的順序倒過來并相加,其和仍為數(shù)列的前 n 項的和.再將兩個和式的第一項與第一項、第二項與第二項……相加,得到 .求得 的值,即可求得數(shù)列的前 n 項和.解答本題,需首先明確 f (x)與f (1- x)之間的關(guān)系,這樣與首末項等距的兩項之和就等于首末兩項之和,便可直接運用倒序相加法來求和.二、分組求和分組求和法是指將數(shù)列分成幾個組,然后分別對每組進行求和的方法.運用分組求和法解答數(shù)列求和問題的關(guān)鍵在于把數(shù)列中的各項進行合理分組.可根據(jù)數(shù)列

      語數(shù)外學習·高中版上旬 2021年7期2021-11-11

    • 也談等差數(shù)列的前n項和的最值問題
      大的是前____項的和.簡解:由已知可得a1+a14>0,a1+a15<0,即a7+a8>0,2a8<0,故a7>-a8>0.公差d=a8-a7<0,a7=a1+6d>0,即a1>-6d>0,從而在S1,S2,…中最大的是前7項的和.評注:(1)本題也屬于“a1>0,d<0”型.(2)不能認為S14最大,因為雖然S14>0,S15<0,但Sn是關(guān)于n的二次函數(shù),無法判斷:S1,S2,…,S13均為正,S15及以后各項均為負.(3)本題即使可以得出“S1,S

      河北理科教學研究 2021年1期2021-06-07

    • 數(shù)列通項與求和
      (n∈N*)中的項的個數(shù),則數(shù)列{am}的前100項的和S100=________.四、解答題10.在①a3=5,a2+a5=6b2;②b2=2,a3+a4=3b3;③S3=9,a4+a5=8b2,這三個條件中任選一個,補充在下面問題中,并解答.已知等差數(shù)列{an}的公差為d(d>1),前n項和為Sn,等比數(shù)列{bn}的公比為q,且a1=b1,d=q,________.(1)求數(shù)列{an}、{bn}的通項公式;11.設數(shù)列{an}的前n項和為Sn,an+(

      新世紀智能(數(shù)學備考) 2021年3期2021-03-31

    • 用恰當?shù)姆椒ń獯饠?shù)列求和問題
      丁建國求數(shù)列前n項的和是數(shù)列中常見的一大問題。解答此類問題的方法有很多,如公式法、分組求和法、裂項相消法、并項求和法、錯位相減法等。究其根本,要求數(shù)列前n項的和,需抓住問題的關(guān)鍵,重點分析數(shù)列的通項公式,找到蘊含在其中的規(guī)律,選擇恰當?shù)姆椒ā=獯饠?shù)列求前n項和問題的方法雖然很多,不同的題型對應的求和方法也各不相同,但是只要把握問題的關(guān)鍵,分析通項公式,就能從中尋找到求和的突破口,找到相應的求和方法,使問題順利獲解。(作者單位:江蘇省南通市第二中學)

      語數(shù)外學習·高中版上旬 2020年1期2020-09-10

    • 解答選擇題的常用辦法
      ,從而確定正確選項的方法。這種解題方法要求同學們掌握扎實的基礎知識和基本的解題方法。例1.某銀行準備將40%的資金出資給a,將60%的資金出資給b,其中a可收益10%的年利潤,b可收益35%的年利潤。銀行年終須回籠資金,按照一定的回扣額付給儲戶。為保證銀行年終總利潤在a、b總投資的10%而不超過總投資的15%,那么銀行付給儲戶回扣額的最小值是()。A。10% B。5% C。5% D。20%分析:假設a、b總投資資金為x,儲戶回扣率為y,結(jié)合題目中已知信息,

      語數(shù)外學習·高中版下旬 2020年2期2020-09-10

    • 探析等差數(shù)列求和問題
      {an}的前n 項的和Sn,而數(shù)列是等差數(shù)列,故可利用等差數(shù)列求和公式求Tn.解法1設{an}首項為a1,公差為d,則解法2因為{an}為等差數(shù)列,故可設Sn=An2+Bn,則解法1利用基本量法,即在a1,d,an,n,Sn這些量中已知三個就可以求另外兩個.而解法2利用了等差數(shù)列前n 項和的性質(zhì),即Sn是一個常數(shù)項為0的二次函數(shù),再采用待定系數(shù)法來求解,也是解此類問題的一種通法,解法2比解法1更簡捷.變式1(1)設等差數(shù)列{an}的前n 項和Sn=m,前m

      高中數(shù)理化 2020年12期2020-08-17

    • 一道等比數(shù)列求和題的變式探究
      一個等比數(shù)列前n項的和為48,前2n項的和為60,則前3n項的和為( ).A.83 B.108 C.75 D.63解法1(性質(zhì)法)由等比數(shù)列前n項和公式的性質(zhì)知,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n為等比數(shù)列,即48,60-48,S3n-60成等比數(shù)列,所以122=48(S3n-60),解得S3n=63,故選D.點評利用等比數(shù)列的前n項和的性質(zhì)求解更簡捷,易錯之處在于誤把Sn,S2n,S3n當成等比數(shù)列求解.解法2(特殊值法)令n=1,由已知條件有a1=48

      高中數(shù)理化 2020年10期2020-08-13

    • “二元一次方程組”學習指導
      并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1,像這樣的方程叫作二元一次方程,我們知道,一元一次方程只有一個解,那么二元一次方程會有多少個解呢?以x+y=35為例,任意給一個x的值,y=35-x都有唯一的值相對應,這樣可以發(fā)現(xiàn),二元一次方程有無數(shù)個解.更有意思的是,我們?nèi)绻堰@個二元一次方程的每一個解作為點的坐標,在平面直角坐標系內(nèi),把這些點畫下來,這些點都在同一條直線上.對于方程組x+y=35, 這個方程組中2x+4y=94,有兩個未知數(shù)(x和y),含有每個未知數(shù)的項的

      中學生數(shù)理化·七年級數(shù)學人教版 2020年5期2020-08-10

    • 數(shù)列與其他知識綜臺問題
      數(shù)列{an}前n項的和,則的最小值為________.5.在數(shù)列{an}中,a1=1,an+2+(-1)n·an=2,前n項和為Sn,則S100=________.6.(2019年北京理科卷)設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若a2=-3,S5=-10,則a5=________,Sn的最小值為________.8.已知數(shù)列{an}的前n項的和Sn=(-1)n·n,若對任意正整數(shù)n,(an+1-p)·(an-p)<0恒成立,則實數(shù)p的取值范圍是______

      新世紀智能(數(shù)學備考) 2020年5期2020-07-16

    • 構(gòu)造函數(shù)證明數(shù)列不等式問題
      有二、數(shù)列的前n項的和與f(n)的不等關(guān)系1.f(n)不是常數(shù)若f(n)不是常數(shù),則把f(n)看成數(shù)列{bn}的前n項的和,求出數(shù)列{bn}的通項公式,再用作差或?qū)?shù)等方法證明an與bn的大小關(guān)系,最后累加就能得出結(jié)論.而n≥2時令f(x)=3x+2-2x(x+1)(x≥2),則有f′(x)=3xln3-4x-2>3x-4x-2.再設g(x)=3x-4x-2(x≥3),g′(x)=3xln3-4>3x-4>0(x≥3),∴g(x)在[3,+)是增函數(shù).但g

      數(shù)理化解題研究 2020年1期2020-03-17

    • 數(shù)列核心考點測試卷B
      數(shù)列中,所有奇數(shù)項的和為165,所有偶數(shù)項的和為150,則n等于( )。A.9 B.10 C.11 D.1210.數(shù)列{an}的通項公式其前n項和為Sn,則S2012等于( )。A.1006 B.2012C.503 D.011.若等比數(shù)列{an}對于一切自然數(shù)n都有,其中S是此數(shù)列的前nn項和,又a1=1,則其公比q為( )。12.如果一個數(shù)列{an}滿足an+an+1=H(H為常數(shù),n∈N*),則稱數(shù)列{an}為等和數(shù)列,H為公和,Sn是其前n項的和,已

      中學生數(shù)理化(高中版.高考數(shù)學) 2019年10期2019-11-08

    • 全國名校數(shù)列測試題(B卷)
      每一項與它的后一項的和都為同一個常數(shù),則這個數(shù)列叫作等和數(shù)列,這個數(shù)叫作數(shù)列的公和。已知等和數(shù)列{an}中,a1=2,公和為5,則a18=( )。A.2 B.-2 C.3 D.-319.各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S10=20,S30=140,則S40=( )。A.280 B.300 C.320 D.34020.已知等差數(shù)列{an}的公差為d,若,且b1+b3=17,b2+b4=68,則d=( )。A.1 B.2 C.3 D.421.

      中學生數(shù)理化(高中版.高二數(shù)學) 2019年9期2019-09-28

    • 掌握性質(zhì),學會應用
      列{an}的前m項的和為30,前2m項的和為100,它的前3m項的和為_____.解析 由性質(zhì)2知,故S3m=210.變式2等差數(shù)列{an}的前m項的和為30,前2m項的和為100,則它的前5m項的和為_____.解析 由例2得故S3m=210,則故S3m=550.以上幾例可以看出,等差數(shù)列這兩個優(yōu)美的性質(zhì)在解決相關(guān)問題時,能大大簡化解題過程,減少運算量.鞏固練習1.若Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和,且S8-S3=20,則S11的值為_____.2.等差

      新高考·高二數(shù)學 2019年1期2019-06-28

    • 等差數(shù)列前n項和公式的拓寬及應用
      {an}的前10項的和為150, 其中項數(shù)為奇數(shù)的各項和為120,求第六項.3.一等差數(shù)列的前10項之和為100,前100項的和為10,則前110項的和為( ).A.-90 B.90 C.-110 D. 1104.等差數(shù)列{an}的前m項和為30,前2m項和為100,則它的前3m項和為( ).A.130 B.170 C.210 D.2605.如果等差數(shù)列{an}的前4項和是2,前9項和是-6,求其前n項的和Sn.6.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,Sn是其前n

      數(shù)理化解題研究 2019年1期2019-02-15

    • 構(gòu)造“基本不等式”適用背景的六種變換
      表達式中含變量的項的和取得最小值時,能湊出這些項的積為定值,或含變量的項的積取得最大值時,能湊出這些項的和為定值,還須此時含變量的項恰好相等,從這個角度來看,基本不等式也是教學中的難點之一.一、常量逆代二、加幾減幾例2 已知正數(shù)a,b滿足ab-a-b-1=0,求a+b的最小值.變式1 已知正數(shù)x,y滿足3x+2y=xy,求2x+3y的最小值.三、升次拆冪(項)變式3 已知正數(shù)x,y滿足x2y=2,求x2+xy的最小值.評注例3及其兩個變式采取了不同的升次拆

      數(shù)理化解題研究 2019年1期2019-02-15

    • 掌握性質(zhì),學會應用 ——以等差數(shù)列為例
      列{an}的前m項的和為30,前2m項的和為100,它的前3m項的和為________.解析由性質(zhì)2知,故S3m=210.變式2等差數(shù)列{an}的前m項的和為30,前2m項的和為100,則它的前5m項的和為________.解析由例2得S3m=210,以上幾例可以看出,等差數(shù)列這兩個優(yōu)美的性質(zhì)在解決相關(guān)問題時,能大大簡化解題過程,減少運算量.鞏固練習1.若Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和,且S8-S3=20,則S11的值為________.2. 等差數(shù)列{

      新世紀智能(數(shù)學備考) 2019年1期2019-01-10

    • 關(guān)注數(shù)列性質(zhì),探究數(shù)列問題
      數(shù)是偶數(shù),其奇數(shù)項的和為85,偶數(shù)項的和為170,求此數(shù)列的公比和項數(shù).思路探究 (1)列出關(guān)于a1,q的方程組能求解嗎?S10,S20- S10,S30- S20是否成等比數(shù)列?用這一性質(zhì)能解決嗎?(2)“奇數(shù)項之和”、“偶數(shù)項之和”的含義是什么?你能使用等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)求解嗎?評注 解決本例有兩種思路:用等比數(shù)列的前n項和公式直接求解,屬通性通法;用性質(zhì)求解,方法靈活,技巧性強,使計算簡便.等比數(shù)列前n項和還有項的個數(shù)的“奇偶”性質(zhì):等比數(shù)列{a

      新高考·高二數(shù)學 2018年7期2018-11-19

    • 談談裂項求和??碱}型
      互抵消,于是前n項的和變成首尾若干項之和。常用裂項形式有:例2 已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且滿足Sn=2(an-1)(n∈N*)。(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)設bn=ln an(n∈N*),試求數(shù)列解析:(1)因為Sn=2(an-1),所以當n=1時,S1=2(a1-1)=a1,解得a1=2。當n>1時,Sn-1=2(an-1-1),所以an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,故an=2an-1。所以{an}是以2為首項,以2為公比的等

      中學生數(shù)理化(高中版.高二數(shù)學) 2018年10期2018-11-03

    • 華師版“平方差公式”教學案例
      反數(shù);右邊是相同項的平方減去互為相反數(shù)的項的平方.(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2;觀察其計算的過程,展開式的中間兩項恰好是互為相反數(shù),合并為零,所以最后的結(jié)果只剩下兩項。概括:(閱讀課本第31頁)平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2.其意義是:(1)兩個數(shù)的和乘以這兩個數(shù)的差,這兩數(shù)的平方差;(2)相乘的兩個多項式中,有一項相同,另一項是互為相反數(shù),其相乘的結(jié)果是相同項的平方減去互為相反數(shù)的項的平方.說明:1.公式中的a、b可以是數(shù)或

      中學課程輔導·教師通訊 2018年14期2018-11-01

    • 兩道數(shù)列高考題的解法探析
      即相鄰的兩個奇數(shù)項的和為常數(shù),相鄰兩個偶數(shù)項的和為等差數(shù)列。因此,對于求該數(shù)列的前60項的和,可考慮分別求前60項中奇數(shù)項的和與偶數(shù)項的和,再相加可得前60項的和。解答如下:解法1:數(shù)列{an}滿足 an+1+(-1)nan=2n-1,①所以有:an+2+(-1)n+1an+1=2n+1;②當n=2k(k∈N*)時,②+①得:a2k+a2k+2=8k;③當n=2k-1(k∈N*)時,②-①得:a2k-1+a2k+1=2;④當k=1,3,5,…,29時,有(

      新教育 2018年17期2018-10-08

    • 等差數(shù)列的一個性質(zhì)及其應用
      數(shù)列{an}前m項的和Sm、前n項的和Sn、前p項的和Sp、前q項的和Sq之間,是否也存在著某種等量關(guān)系呢?經(jīng)過探究,得到如下一個性質(zhì):性質(zhì):設Sm,Sn,Sp,Sq分別為等差數(shù)列{an}的前m項的和,前n項的和,前p項的和,前q項的和,且m+n=p+q,則有(p≠q)。證明:設等差數(shù)列{an}的首項為a1,公差為d,則由等差數(shù)列的前n項和公式,可得整理以上兩式,即得結(jié)論。用上述結(jié)論解題,關(guān)鍵在于合理地選擇下標m,n,p,q。例1 已知{an}為等差數(shù)列,

      中學生數(shù)理化(高中版.高二數(shù)學) 2018年9期2018-09-28

    • 全國名校等差數(shù)列拔高卷(B卷)
      一個等差數(shù)列前3項的和為34,最后3項的和為146,且所有項的和為390,則這個數(shù)列的項數(shù)為( )。A.13 B.12 C.11 D.1034.在等差數(shù)列{an}中,對任意n∈N*,都有an>an+1,且a2,a8是方程x2-12x+m=0的兩根,且前15項的和S15=m,則數(shù)列{an}的公差是( )。A.-2或-3 B.2或3C.-2 D.-335.已知函數(shù)f(x)在(-1,+∞)上單調(diào),且函數(shù)y=f(x-2)的圖像關(guān)于x=1對稱,若數(shù)列{an}是公差不

      中學生數(shù)理化(高中版.高二數(shù)學) 2018年9期2018-09-28

    • 三角與數(shù)列專題測試卷
      此數(shù)列的前800項的和是2013,前813項的和是2000,則其前2018項的和為____。42.已知an=(m2-9)qn-1(n∈N*),q=(e為自然對數(shù)的底數(shù)),若等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,則實數(shù)m的取值范圍是____。43.已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然數(shù)m,使得對任意的n∈N*,f(n)都能被m整除,則m的最大值為____。44.已知數(shù)列{an}滿足對任意的n∈N*,都有an+1-an≤2n,an+2-an≥3·2n成立,則a

      中學生數(shù)理化(高中版.高考數(shù)學) 2018年1期2018-02-26

    • 緊盯關(guān)鍵點,玩轉(zhuǎn)環(huán)中環(huán)
      31,…的第20項的和為 。解析:第1項,有1個奇數(shù);第2項,有3個奇數(shù);第3項,有5個奇數(shù);……第n項,有2n-1個奇數(shù)。設前n項的和為Sn,則S1=1,S2=1+3+5+7,S3=1+3+5+7+9+11+13+15+所以第20項的和為S20-S19=204-194=29679。點評:本題類似于例1,可以理解為對數(shù)列進行分組處理,先發(fā)現(xiàn)每組數(shù)列的特殊規(guī)律,再進行整體處理。同樣需要盯著關(guān)鍵點,處理好前后數(shù)列的過渡。點評:本題既類似于前邊兩個例題,又區(qū)別于

      中學生數(shù)理化(高中版.高考數(shù)學) 2018年1期2018-02-26

    • 麻辣生活(1)
      發(fā)消息:首項加末項的和乘以項數(shù)除以二。我問:“你干嗎?”他說:“求和?!惫べY說說我的婚后生活,我月薪1W,但到手里的只有500,哥們兒說,你生活算不錯的了,工資對我來說,只是一條短信……面對疾風吧打lol中途點外賣,然后打游戲站起來走動走動,走到門口鬼使神差地就把門迅速打開大喊道:面對疾風吧!尷尬的是,外賣小哥驚悚地退后了兩步……取錢剛出國時去銀行取錢,銀行柜員:How do you like the money?(你想怎么換?)我:I like it v

      意林 2018年2期2018-02-01

    • 神回復
      短信:“首項加末項的和乘以項數(shù)除以二。”我問:“什么意思?”神回復:求和。公交車上老人追打年輕人的事件你怎么看?神回復:第一次聽說付費玩家打不過免費玩家的!歷史上有哪些曾經(jīng)地位很高的職業(yè)由于社會的進步被淘汰?神回復:皇帝。你收到的最奇葩的禮物是什么?神回復:高三,生日是夏天,上課偶爾走神會看到陽光下飛來飛去的蜻蜓,于是給同桌說自己很喜歡蜻蜓。生日那天收到了一盒子,一盒蜻蜓的尸體……高三復習時,一次歷史老師問:“順治皇帝一生都有哪些功績?”神回復:生了康熙!

      高中時代 2017年9期2017-12-26

    • 解題探究活動不能僅僅留下一個結(jié)論 ——談分段求和破解含絕對值項的數(shù)列求和方法
      求和破解含絕對值項的數(shù)列求和方法江蘇 王懷學一、分組分段求和是解決問題的本質(zhì)策略含有絕對值的問題中,首要任務就是分類討論.對于一個數(shù)列{an},如果有些項是正數(shù),有些項是負數(shù),在求數(shù)列{|an|}的前n項和的時候,就需要把正數(shù)項和負數(shù)項分組求解.這是此類問題求解首先要明確的一個問題.【例1】在等差數(shù)列{an}中,a1gt;0,a10·a11lt;0,若此數(shù)列的前10項和S10=36,前18項的和為S18=12,則數(shù)列{|an|}的前18項的和T18=___

      教學考試(高考數(shù)學) 2017年5期2017-12-14

    • 等差數(shù)列的一個性質(zhì)及其推論
      前m項、n項和k項的和,則有證明:設等差數(shù)列{an}的首項為a1,公差為d,則由前n項和公式,得所以,可得=0.2.兩個推論推論1設{an}為等差數(shù)列,Sm,Sn分別為前m項、n項的和,則當m≠n時,有證明:在公式①中,取k=m+n,整理即得公式②.推論2設{an}為等差數(shù)列,Sm,Sn,Sk,St分別為前m項、n項、k項和t項的和,且m+n=k+t,則當m≠n,k≠t時,有因為m+n=k+t,所以Sm+n=Sk+t,整理即得公式③.【評注】公式②和公式③

      教學考試(高考數(shù)學) 2017年4期2017-12-13

    • 等差數(shù)列的性質(zhì)及應用例析
      公差,S奇是奇數(shù)項的和,S偶是偶數(shù)項的和,Sn是前n項的和。其中an+1是項數(shù)為2n+1的等差數(shù)列的中間項。②當項數(shù)為偶數(shù)2n時,S奇=a1+a3+a5+…+a2n-1=S偶=a2+a4+a6+…+a2n=S偶-S奇=nan+1-nan=nd;8.{an},{bn}的前n項和分別為An,Bn,且則:9.等差數(shù)列{an}的前n項和Sn=m,前m項和Sm=n,則前m+n項和Sm+n=-(m+n)。10.求Sn的最值。方法一:因等差數(shù)列前n項和是關(guān)于n的二次函數(shù)

      中學生數(shù)理化(高中版.高二數(shù)學) 2017年9期2017-12-02

    • 理一理,等差數(shù)列的考點
      {an}的前12項的和為354,前12項中偶數(shù)項的和S偶與前12項中奇數(shù)項的和S奇之比為則公差d=解析:(1)由a1+a3+a5=3a3=3,得a3=1,又S5==5a3=5,故選A。(2)a1+a3+a5=105?a3=35,a2+a4+a6=99?a4=33,則{an}的公差d=33-35=-2,a1=a3-2d=39,Sn=-n2+40n,因此當Sn取得最大值時,n=20。(3)由已知an=2n-8可知等差數(shù)列{an}的公差d為2,故{an}是遞增數(shù)

      中學生數(shù)理化(高中版.高二數(shù)學) 2017年9期2017-12-02

    • 數(shù)列必考類型總結(jié)
      an},它的前5項的和為34,最后5項的和為146,所有項的和為234,則a7=____解析:(1)由{an}的公差為1,S8=4S4?8a1+28=4(4a1+6)?a1=(2)設數(shù)列{an}首項為a1,末項為an,公差為d,則依題意得:結(jié)合題意知Sn==18n=234,解得n=13。從而有a1+a13=36,a7=2.等比數(shù)列基本量的運算(1)設等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若a1=1,S6=4S3,則a4=____。(2)已知等比數(shù)列{an}的首

      中學生數(shù)理化(高中版.高二數(shù)學) 2017年9期2017-12-02

    • 數(shù)列綜合拔高訓練(B卷)
      數(shù)列{an}前9項的和為27,a10=8,則a100=( )。A.100 B.99 C.98 D.978.若方程x2-2x+m=0和x2-2x+n=0的四個根組成一個首項為的等差數(shù)列,則|m-n|=( )。9.公差不為零的等差數(shù)列{an},其前n項和為Sn,若a4=2(a2+a3),則等于( )。10.已知兩個等差數(shù)列{an}和{bn}的前n項和分別為An和Bn,且則使得為整數(shù)的正整數(shù)n的個數(shù)是( )。A.2 B.3 C.4 D.511.明朝數(shù)學家程大位的

      中學生數(shù)理化(高中版.高二數(shù)學) 2017年9期2017-12-02

    • 巧用函數(shù)思想解決數(shù)列問題
      的等差數(shù)列,前3項的和等于前11項的和,問此數(shù)列前多少項的和最大?解法1 由題意, >0,d﹤0,故 最大等價于≥0且 ≤0即 +(n-1)(- )≥0 且 +n(- )≤0解之,得6.5≤n≤7.5∴n=7時,sn最大。解法2 由于 =a +bn為n的二次函數(shù),由 = ,可知其圖像的對稱軸為n= =7故當n=7時, 取得最值。而由題意, ﹥0,d﹤0.故sn之最值為最大值。解法3 ∵s3=s11,∴3 + d=11 + d∴d=- ﹤0Sn=n( + d

      課程教育研究·新教師教學 2015年27期2017-09-27

    • 利用函數(shù)思想巧解等差數(shù)列問題
      、等差數(shù)列中特定項的問題我們假設數(shù)列{an}為等差數(shù)列,其公差為d,首項為a1.則易知其通項公式為an=a1+(n-1)dan=nd+(a1-d),若將an看成n的函數(shù),我們會發(fā)現(xiàn)an是形如“kn+b”的關(guān)于n的線性函數(shù),其中k等于公差d.既然是線性函數(shù),我們知道其上任意的點都是“共線”的,利用這條性質(zhì)我們便可以方便、高效地解決相應的類型問題.例1已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,且a3=7,a15=31,則a17的值為.常規(guī)解法由于{an}為等差數(shù)列,所以有a

      數(shù)學學習與研究 2017年14期2017-07-20

    • 等比數(shù)列背景下的一類不定方程問題
      r∈N,r≥2)項的和?若存在,請求出該項;若不存在,請說明理由.解法1:假設存在as,使得as=at1+at2+…+atr(其中t1又s-t2>0,t1-t20,且s-t2,t1-t2,t2-t2,…,tr-t2∈Z,易知(*)式左邊是整數(shù),右邊不是整數(shù),故(*)式不成立,與假設矛盾.因此,數(shù)列{an}中不存在某一項,它可以表示為該數(shù)列中其它r(r∈N,r≥2)項的和.解法2:假設存在as,使得as=at1+at2+…+atr,(其中t1因此,數(shù)列{an

      中學數(shù)學研究(江西) 2017年2期2017-03-16

    • 論高次方程
      系數(shù)定律:任何四項的數(shù)列a1、a2、a3、a4,并且a1、a2、a3為三項的等比數(shù)列,a2、a3、a4為三項的等差數(shù)列(如此數(shù)列稱作等比等差復合數(shù)列),則(a2×a3)-(a1×a4)= a1×a2×(公比-1)2。舉例如下:例1 1、2、4、6這樣的等比等差數(shù)列,則(2×4)-(1×6)=1×2×(公比2-1)2=1×2×12=2。例2 8、24、72、120這樣的等比等差數(shù)列,則(24×72)-(8×120)=8×24×(公比3-1)2=8×24×22

      數(shù)學大世界 2017年24期2017-02-25

    • 帶非線性阻尼的歐拉方程組正規(guī)解的爆破
      中帶有非線性阻尼項的等熵歐拉方程組的初值問題。當初始密度有緊支集時,利用泛函結(jié)合特征線的方法,證明了在真空情形下帶有形如-αρ|u|θu阻尼項的可壓縮等熵歐拉方程組,其阻尼系數(shù)α為正常數(shù)時的正規(guī)解在初始數(shù)據(jù)一定大時必定爆破,其中0<θ<1。等熵歐拉方程組;泛函方法;爆破考慮下列n(n≥1)維空間中帶阻尼項的等熵歐拉方程組:的Cauchy問題.其初始條件為其中:ρ,u,p分別表示氣體的密度,速度和壓力;狀態(tài)方程為p=Aργ(A>0);γ為絕熱指數(shù)(γ>1);

      華東交通大學學報 2016年6期2016-12-27

    • 例談等差數(shù)列兩個前n項和公式
      4 一個只有有限項的等差數(shù)列,它的前5項的和為34,最后5項的和為146,所有項的和為234,則它的第七項等于()A.22B.21C.19D.18解:設該數(shù)列有n項且首項為a1,末項為an,公差為d,則依題意有(1)+(2)結(jié)合上述性質(zhì)可得a1+an=36,代入(3)有n=13從而有a1+a13=36,點評:依題意能列出3個方程,若將a1+an作為一個整體,問題即可迎刃而解。在求a7時,巧用等差中項的性質(zhì)也值得關(guān)注。知識的靈活應用,來源于對知識系統(tǒng)的深刻理

      數(shù)學大世界 2016年10期2016-11-17

    • 一維帶阻尼項歐拉方程組的初邊值問題
      有界區(qū)間上帶阻尼項的等熵可壓縮歐拉方程組的初邊值問題,利用方程組和邊界條件得到關(guān)于解的高階導數(shù)的邊界條件。當初始數(shù)據(jù)在常狀態(tài)平衡解附近的小擾動且滿足邊界的匹配條件時,運用能量估計的方法,證明該初值問題的經(jīng)典解整體存在且唯一。歐拉方程組;有界區(qū)間;初邊值問題;整體解1 引言和主要結(jié)論的初邊值條件:(2)所以,可以得到初始數(shù)據(jù)的匹配條件為:(4)對于帶阻尼項的歐拉方程組的研究已有很多結(jié)果,一維時可以研究帶阻尼項的-系統(tǒng)的初值問題和初邊值問題[1-4],當初值是

      井岡山大學學報(自然科學版) 2015年6期2015-10-13

    • 二項式定理
      x的非整數(shù)次冪的項的系數(shù)之和為( )A. 72 B. 112 C. 184 D. 256思索 根據(jù)二項式展開式的通項公式寫出通項,再進行整理化簡.由x的指數(shù)為整數(shù),確定哪幾項是整數(shù)次冪的項,最后計算出非整數(shù)次冪的項的系數(shù)之和.破解 Tr+1=C■■(■)8-r■r=C■■·x■,r=0,1,2,···,8,所以當r=0,4,8時,x的次冪是整數(shù);且C■■=1,C■■=70,C■■=1. 又二項式展開式的所有項系數(shù)之和為28=256,故含x的非整數(shù)次冪的項的

      數(shù)學教學通訊·初中版 2015年2期2015-08-03

    • 幫你學習二元一次方程(組)
      并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是_____,這樣的方程叫作二元一次方程.(2)方程組中含有____個未知數(shù),含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是____,并且通常共有_____個方程,這樣的方程組叫作二元一次方程組.例1下列方程組是二元一次方程組的是().解析:選項A中第一個方程中x的次數(shù)是____,所以它不是二元一次方程,所以該選項不是二元一次方程組;選項B中的兩個方程共含有____個未知數(shù),所以該選項不是二元一次方程組:選項C中的兩個方程分母中都含有____,所以兩個

      中學生數(shù)理化·七年級數(shù)學人教版 2015年4期2015-05-30

    • 二次函數(shù)圖像的對稱性與滿足Sm=Sn的等差數(shù)列
      n-1)d,前n項的和Sn=na1+n(n-1)2d=d2n2+(a1-d2)n,將Sn看成函數(shù)y,n看成自變量x,這個二次函數(shù)的解析式有兩個特性:(1)定義域x∈N*(即n∈N*);(2)常數(shù)項為0(即函數(shù)圖像過原點).所以,在等差數(shù)列{an}中,設前k項的和為Sk,若Sm=Sn(m,n∈N*,且m≠n),則Sm+n=0.對應函數(shù)圖像:圖2圖3當?shù)炔顢?shù)列{an}為遞增數(shù)列時,d>0,拋物線開口向上,此時a1=S1<0,如圖2;當?shù)炔顢?shù)列{an}為遞減數(shù)列

      中學數(shù)學雜志(高中版) 2015年2期2015-04-07

    • 巧用消元 突破難點
      ) 含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1.據(jù)此即可求解.那么,購買每種教學用具各一件共需多少元?鞏固練習:1.已知方程組 的解適合x+y=2,則m的值為 .2.若方程組 的解是 ,則方程組的解是 . 經(jīng)歷從“三元”到“二元”、“二元”到“一元”的轉(zhuǎn)化過程,體會消元的思想、化歸思想,把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”,把復雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題.利用二元一次方程組解決生活中的實際問題,能將生活中的實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題,即能列

      初中生世界·七年級 2014年6期2014-08-02

    • 淺談數(shù)學問題系統(tǒng)引導教學法實驗
      以等差數(shù)列的前n項的和公式一節(jié)課為例。課題:“等差數(shù)列的前n項的和公式”。研討課題:如何使用實驗教材引導學生進行系統(tǒng)的自我學習、探索、發(fā)現(xiàn)和概括?教學過程:教師:今天,我們學習實驗教材《數(shù)列》第一章的第五課“等差數(shù)列前n項的和公式”,同學們先看教案本中的學習提要和問題1的兩個問題。學習提要:等差數(shù)列的前n項的和公式有哪兩個形式?如何導出的?如何應用等差數(shù)列前n項的和公式解題?評述:實驗教學每節(jié)課開始,都是以幾個小問題的形式呈現(xiàn),提出本節(jié)課的教學目標、學習任

      中學生數(shù)理化·教與學 2014年3期2014-05-05

    • 多招助你巧過數(shù)列求和關(guān)
      關(guān)鍵是抓住數(shù)列通項的結(jié)構(gòu)特征,聯(lián)系基本數(shù)列的求和技巧構(gòu)造性解題.本文通過一些典型的范例,對數(shù)列求和的基本方法進行歸類解析,供讀者參考.一、公式法例1 等比數(shù)列{an}中,a3+a4=5,a6+a7=40,求數(shù)列{an}的前n項和Sn.解 由已知得a1q2+a1q3=5,a1q5+a1q6=40.①②②÷①得q3=8,所以q=2,a1=512.所以Sn=512(1-2n)1-2=512(2n-1).二、拆項法例2 求和13×7+15×9+17×11+…+1(

      理科考試研究·高中 2014年1期2014-03-26

    • 數(shù)列中的不等式問題
      列{an}的前n項的和為Sn,若a1<0,S2009=0.(1)求Sn的最小差及此時n的值;(2)求n的取值集合,是an≥Sn. 數(shù)列是自變量為正整數(shù)的函數(shù),是反映自然規(guī)律的基本數(shù)學模型。數(shù)列問題中蘊涵著豐富的數(shù)學思想方法,例如函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論、等價轉(zhuǎn)換等等,是高考考查考生數(shù)學綜合素養(yǎng)的良好素材。數(shù)列的滲透力很強,它和函數(shù)、方程、三角形、不等式等知識相互聯(lián)系,優(yōu)化組合。其中數(shù)列與不等式的綜

      文理導航 2014年5期2014-03-18

    • 與有窮等差數(shù)列的中間項有關(guān)的競賽題
      n}的前2n-1項的中間一項.例2某等差數(shù)列共2n+1項,其中奇數(shù)項的和為95,偶數(shù)項的和為90,則第n+1項的值等于( )A.7 B.5 C.4 D.2(第十屆“希望杯”競賽試題)解由a1+a3+a5+…+a2n+1=95,得即亦即(n+1)an+1=95.同理,由a2+a4+a6+…+a2n=90,可得nan+1=90,從而an+1=(n+1)an+1-nan+1=95-90=5.故選B.評注第n+1項為該等差數(shù)列的中間一項.例3等差數(shù)列{an}共有2

      中學教研(數(shù)學) 2012年5期2012-11-07

    • 待定系數(shù)法在解題中的應用
      前3n項中,前n項的和與其后2n項的和的比值對于任意自然數(shù)都等于常數(shù)?若存在,求出數(shù)列{an}的通項公式及該常數(shù);若不存在,說明理由.解:設存在這樣的等差數(shù)列{an},其公差為d,前n項的和記為Sn,則其后2n項的和為S3n-Sn.評注:有些數(shù)列問題,通過引入或研究一些尚待確定的系數(shù)轉(zhuǎn)化命題結(jié)構(gòu),經(jīng)過變形與比較,建立起含有待定字母系數(shù)的方程組,由此求出相應字母系數(shù)的值,進而使問題獲解.三、在三角中的應用例3已知f(θ)=sin2θ+sin2(θ+α)+si

      中學數(shù)學雜志 2012年5期2012-08-28

    • 例談數(shù)列復習中的七點注意事項
      列{an}的前n項的和為Sn,a1=1,當n≥2時,an=Sn-1,求{an}。錯解:當n≥2時,an=Sn-1①∴an=Sn-1 ②以上兩式相減得an+1-an=Sn-Sn-1=an即an+1=2an③數(shù)列{an}是以a1=1為首項,以2為公比的等比數(shù)列,∴an=2n-1剖析:由于沒有注意起始值問題而導致錯誤,事實上,①中n≥2,②中n≥1,從而③中應當n≥2,所以數(shù)列{an}從第二項起才是等比數(shù)列。顯然a2=S1=a1=1,所以正確的通項公式為an=二

      讀寫算·素質(zhì)教育論壇 2011年11期2011-09-26

    • 美國中學生數(shù)學水準如何——也談二階遞歸數(shù)列
      項是第二項與第一項的差即是2;第四項是第三項與第二項的差即是-1.就這樣下去,以后每一項都是前1項與前2項的差.試求這個數(shù)列前100項的和.席間無紙墨,顯然要靠心算口述.不到3分鐘,麗麗脫口說出:答案是5,就是這個無窮數(shù)列前4個數(shù)的和!全場驚訝,因為這道題出自1985年美國高中數(shù)學競賽.這豈不是說,麗麗這個初中生已經(jīng)跨越了學段,達到了高中數(shù)學水平嗎!我笑著說:有其父必有其女!麗麗的父親,今天的徐教授曾是萬老師的啟蒙學生,在當年的數(shù)學競賽中曾多次奪得冠軍.麗

      中學數(shù)學雜志 2011年12期2011-02-01

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