一道等比數(shù)列求和題的變式探究

◇ 江蘇 劉 琳

近些年的高考數(shù)學(xué)試題中,經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)一些由課本例題、習(xí)題等變式拓展出來(lái)的問(wèn)題,這類問(wèn)題大都是按照一定的數(shù)學(xué)規(guī)則和要求,結(jié)合相關(guān)知識(shí)加以變式、創(chuàng)新拓展.數(shù)列知識(shí)由于其特殊性,經(jīng)常是數(shù)學(xué)拓展的一大熱點(diǎn).

題目(北師大版《必修5》第31頁(yè)習(xí)題1-3B 組第3題)一個(gè)等比數(shù)列前n項(xiàng)的和為48,前2n項(xiàng)的和為60,則前3n項(xiàng)的和為( ).

A.83 B.108 C.75 D.63

解法1(性質(zhì)法)由等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的性質(zhì)知,Sn,S2n－Sn,S3n－S2n為等比數(shù)列,即48,60－48,S3n－60成等比數(shù)列,所以122＝48(S3n－60),解得S3n＝63,故選D.

點(diǎn)評(píng)

利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)求解更簡(jiǎn)捷,易錯(cuò)之處在于誤把Sn,S2n,S3n當(dāng)成等比數(shù)列求解.

解法2(特殊值法)令n＝1,由已知條件有a1＝48,S2＝a1＋a2＝60,解得a2＝12,那么則S3＝a1＋a2＋a3＝63,故選D.

點(diǎn)評(píng)

特殊值法非常巧妙地從特殊值n＝1 入手,把一般性的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的前三項(xiàng)的關(guān)系來(lái)處理,計(jì)算量小,方法簡(jiǎn)單.

解法3(公式法)根據(jù)題目條件可知S2n＝60≠2Sn＝96,故q≠1,則有

點(diǎn)評(píng)

利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,通過(guò)列方程組求解,再利用參數(shù)之間的整體關(guān)系來(lái)處理與求解.運(yùn)算量較大,過(guò)程較繁雜.

解法4(比值法)根據(jù)題目條件可知S2n＝60≠2Sn＝96,故q≠1,則有

點(diǎn)評(píng)

將等比數(shù)列求和公式的比值性質(zhì)加以轉(zhuǎn)化,結(jié)合整體思維,解答更加方便快捷.

變式1已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前5項(xiàng)之和為3,前15項(xiàng)之和為39,則該數(shù)列的前10項(xiàng)之和為_(kāi)______.

解析

由等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的性質(zhì)可知,Sn,S2n－Sn,S3n－S2n為等比數(shù)列,即3,S10－3,39－S10成等比數(shù)列,所以(S10－3)2＝3(39－S10),解得S10＝12或S10＝－9,由于該等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),故S10＝12.

點(diǎn)評(píng)

變式1與課本習(xí)題相似,把數(shù)列前n項(xiàng)和具體化,學(xué)生更容易接受,通過(guò)轉(zhuǎn)化對(duì)應(yīng)和項(xiàng)的角度來(lái)處理,達(dá)到變式與應(yīng)用的目的.

變式2各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若Sn＝2,S3n＝14,則S4n為_(kāi)_______.

解析

由等比數(shù)列前n項(xiàng)公式的性質(zhì)知,Sn,S2n－Sn,S3n－S2n為等比數(shù)列,即2,S2n－2,14－S2n成等比數(shù)列,所以(S2n－2)2＝2(14－S2n),解得S2n＝6或S2n＝－4,由于該等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),故S2n＝6,又由于S2n－Sn,S3n－S2n,S4n－S3n為等比數(shù)列,即4,8,S4n－14 成等比數(shù)列,所以82＝4(S4n－14),解得S4n＝30.

點(diǎn)評(píng)

變式2從更高層次深入,通過(guò)前n項(xiàng)和式的關(guān)系及對(duì)應(yīng)的和項(xiàng)的角度使問(wèn)題獲解.

在數(shù)學(xué)問(wèn)題得以破解后,我們可以進(jìn)一步對(duì)一些典型的習(xí)題進(jìn)行一些探究,從各個(gè)不同的知識(shí)、方法、能力等層面進(jìn)行深入的思考,采用不同的破解方法加以分析與處理.從而幫助我們更深入地理解、掌握和研究相應(yīng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題,熟練掌握數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)方法,拓寬數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí),切實(shí)提高數(shù)學(xué)能力,舉一反三,融會(huì)貫通.