等差數(shù)列的一個(gè)性質(zhì)及其應(yīng)用

■陜西省武功縣教育局教研室 李 歆(特級(jí)教師)

同學(xué)們知道在等差數(shù)列學(xué)習(xí)中,有一個(gè)重要的性質(zhì):

已知{an}是等差數(shù)列,若m+n=p+q,則有am+an=ap+aq。

這個(gè)性質(zhì)反映了等差數(shù)列第m項(xiàng)am、第n項(xiàng)an、第p項(xiàng)ap、第q項(xiàng)aq之間的等量關(guān)系,由此可以聯(lián)想,等差數(shù)列{an}前m項(xiàng)的和Sm、前n項(xiàng)的和Sn、前p項(xiàng)的和Sp、前q項(xiàng)的和Sq之間,是否也存在著某種等量關(guān)系呢?經(jīng)過探究,得到如下一個(gè)性質(zhì):

性質(zhì)：設(shè)Sm,Sn,Sp,Sq分別為等差數(shù)列{an}的前m項(xiàng)的和,前n項(xiàng)的和,前p項(xiàng)的和,前q項(xiàng)的和,且m+n=p+q,則有(p≠q)。

證明：設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公差為d,則由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,可得

整理以上兩式,即得結(jié)論。

用上述結(jié)論解題,關(guān)鍵在于合理地選擇下標(biāo)m,n,p,q。

例1 已知｛an｝為等差數(shù)列,a1=1,S5-S2=6,則S6=( )。

A.9 B.10 C.11 D.12

點(diǎn)評(píng):由于a1=S1,且S1,S2,S5,S6的下標(biāo)之間滿足關(guān)系:1+6=2+5,所以可以用性質(zhì)求解。

例2 已知{an}為等差數(shù)列,a3+a4=8,則S5-S1=( )。

A.8 B.16 C.24 D.32

點(diǎn)評(píng):從已知條件中求不出a1和d的值,只能得到a1和d的某個(gè)關(guān)系式,最后還需要將S5-S1轉(zhuǎn)化為含有這個(gè)關(guān)系,比較麻煩,但將已知條件a3+a4=8,轉(zhuǎn)化為S4-S2=8,用性質(zhì)求解卻極為簡便。

點(diǎn)評(píng):已知條件和所求問題中,出現(xiàn)了S2,S3,S4,S5,下標(biāo)之間滿足關(guān)系式:2+5=3+4,可用性質(zhì)解題。

點(diǎn)評(píng):在此解法中,先引入了一個(gè)中間量S3,最后又聯(lián)立方程消去S3,既體現(xiàn)了“設(shè)而不求”的解題方法,同時(shí)又滲透了“方程思想”。