解答數(shù)列求和問題的幾種途徑

彭志文

數(shù)列求和問題是同學們比較熟悉的一類題目.解答此類問題的方法有很多，如倒序相加法、分組求和法、裂項相消法、錯位相減法、并項求和法等.如何選擇合適的方法來解題是提升解題效率的關(guān)鍵.本文重點談一談解答數(shù)列求和問題的三種常見方法.

一、倒序相加

若一個數(shù)列中與首末項等距的兩項之和等于首末兩項之和，就可運用倒序相加法來求數(shù)列的和.在求和時需要首先列出數(shù)列的前 n 項和式，然后把數(shù)列的前 n 項的順序倒過來并相加，其和仍為數(shù)列的前 n 項的和.再將兩個和式的第一項與第一項、第二項與第二項……相加，得到 .求得 的值，即可求得數(shù)列的前 n 項和.

解答本題，需首先明確 f （x）與f （1- x）之間的關(guān)系，這樣與首末項等距的兩項之和就等于首末兩項之和，便可直接運用倒序相加法來求和.

二、分組求和

分組求和法是指將數(shù)列分成幾個組，然后分別對每組進行求和的方法.運用分組求和法解答數(shù)列求和問題的關(guān)鍵在于把數(shù)列中的各項進行合理分組.可根據(jù)數(shù)列各項之間的特點將數(shù)列分成幾個不同的組，如將周期數(shù)列按照周期進行分組，將奇偶項不同的數(shù)列按照奇偶性來分組等.

例 2.已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，a1= 1，a4=8， {bn}是等差數(shù)列，b1=3，b4=12.（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式;（2）設(shè)cn=an+bn，求數(shù)列{cn}的前n項和Sn.

解：（1）an=2n-1，bn=3n（過程略）

（2）因為數(shù)列{an}的前n項和為? ，數(shù)列 的前 n 項和為? ，所以 .我們由題意知，{cn}由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列構(gòu)成，于是可將其分成兩組，分別利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的前 n 項和公式求出它們的和，再綜合所得的結(jié)果即可.

三、裂項相消

裂項相消法是指將數(shù)列的通項裂為兩項之差的形式，然后再求和的方法.常見的裂項形式有 等.在裂項之后，將各項相加，和式中的前后項會相互抵消，化簡剩下項的和便可求得 Sn的值.

例3.已知數(shù)列 是首項 a1= 0，公差為 p 的等差數(shù)列，且前 n 項和為 ，求證： .

.我們在求得數(shù)列{bn}的通項之后，將其裂為兩項之差的形式，然后對其進行求和.在求和時，除了最前面的2項和末尾的2項，其他的項每隔兩項便會出現(xiàn)絕對值相等的正負數(shù)，通過正負抵消這些項便會將其轉(zhuǎn)化為0.

數(shù)列求和問題的形式多種多樣，與之所對應(yīng)的求和方法也多種多樣.因此，同學們要熟練掌握一些常見的數(shù)列求和問題的形式以及求和的方法，這樣，在面對新的求和問題時，便能快速找到解題的思路.

（作者單位：江蘇省南京市第二十九中學）