解概率題的三種常用方法

傅云平

概率是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，概率問題主要考查事件發(fā)生的幾率.概率問題一般比較抽象，解法靈活，很多同學(xué)在解題時不得要領(lǐng)，無法得到正確的答案.本文重點談一談解概率題的三種常用方法，以幫助同學(xué)們提升解概率題的效率.

一、枚舉法

枚舉法是指將所有可能的情況一一列舉，然后根據(jù)條件進(jìn)行判斷，得出問題答案的方法.在運用枚舉法解答概率問題時，我們可以根據(jù)題意將所有可能的情況一一列舉出來，找出滿足題目要求的情況，再運用古典概型概率公式求出事件發(fā)生的概率.

例1.一個不透明的紙箱中裝有大小、形狀相同的紅、黑小球各一個，現(xiàn)進(jìn)行摸球游戲，隨機(jī)摸取三次，每次摸取1個，每次摸取的球在下一次摸取前放回紙箱中.那么摸到1個紅球、2個黑球的概率是多少？

解析：每次摸到的小球不是紅球就是黑球，摸三次的結(jié)果一共有以下8種：①紅球、紅球、紅球，②紅球、紅球、黑球，③紅球、黑球、紅球，④黑球、紅球、紅球，⑤紅球、黑球、黑球，⑥黑球、紅球、黑球，⑦黑球、黑球、紅球，⑧黑球、黑球、黑球.其中摸到1個紅球、2個黑球的情況有3種，即摸到1個紅球、2個黑球的概率是 .

對于事件發(fā)生的情況較少的問題，我們采用枚舉法，把所有可能出現(xiàn)的情況一一羅列出來，再進(jìn)行篩選，就不難得出正確的答案.運用枚舉法解題，能將混亂繁雜的概率問題簡單化.

二、圖象法圖象法是解答高中數(shù)學(xué)問題的常用方法，有些概率問題中事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度、面積、體積有關(guān)，此時我們很難計算出事件的個數(shù)，不妨采用圖象法來解題，首先根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，然后借助圖形來分析問題，確定構(gòu)成事件區(qū)域的長度、面積、體積以及實驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的長度、面積、體積，再根據(jù)幾何概型的概率公式進(jìn)行求解.

例 2.A、B 兩人計劃一起爬山，他們約定早上5點至6點之間在校門口會面，誰先到就在門口等20分鐘，如果過了時間對方還沒有到就先行離開.請問A、B 兩人一起去爬山的概率是多少？

解析：5點至6點之間一共有60分鐘，我們可以用如圖所示的平面直角坐標(biāo)系來呈現(xiàn)他們在校門口相遇的情況，用 x 軸表示 A 到達(dá)校門口的時間，y 軸表示 B 到達(dá)校門口的時間，若 A、B 兩人在校門口相遇，則|x-y|≤20，在平面直角坐標(biāo)系中畫出兩條直線：|x-y|=20.正方形的面積表示早上5點至6點之間A、B兩人在校門口相遇的所有可能，上、下兩個三角形的面積即為A、B兩人無法在校門口相遇的可能，中間部分的面積則表示A、B兩人可以在校門口相遇的可能，由幾何概型概率公式可得A、B兩人在校門口相遇的概率為 .

我們借助圖形，將概率問題轉(zhuǎn)為平面幾何中的面積問題，通過求得正方形和中間部分圖形的面積，便可根據(jù)幾何概型概率公式求得A、B兩人一起去爬山的概率.運用圖象法解題能將抽象的問題直觀化、具體化.

三、間接法

有些問題直接求解較為困難或者比較復(fù)雜，此時我們可以利用間接法來解題，首先求出不可能發(fā)生的情況數(shù)，然后用總數(shù)減去它，便能快速求出事件發(fā)生的可能情況數(shù)，進(jìn)而求得事件的概率.

例 3.甲、乙兩人玩擲骰子游戲，如果兩人各擲一次，所擲骰子點數(shù)分別為m、n，則所擲骰子點數(shù)和m+ n<11的概率是多少呢？

解析：甲、乙兩人擲骰子，每個人擲骰子的結(jié)果都不受另外一個人結(jié)果的影響.所擲骰子點數(shù)和 m + n ≥ 11的情況只有3種：甲擲6點、乙擲6點，甲擲6點、乙擲5點，甲擲5點、乙擲6點.而甲、乙兩人擲骰子一共有 6×6=36種情況，則所擲骰子點數(shù)和m+n≥11的概率為 ，所以所擲骰子點數(shù)和m+n<11的概率為1- .

所擲骰子點數(shù)和m+n<11的情況相對較少，這兩個事件為對立事件，于是采用間接法，先求所擲骰子點數(shù)和 m + n ≥ 11的概率，再用1取減它即可得到問題的答案.

概率問題雖然難度不是很大，但綜合性較強(qiáng)，側(cè)重于考查同學(xué)們的邏輯推理能力、綜合分析能力.因此同學(xué)們在解題時要注意仔細(xì)分析問題，可根據(jù)解題需求將可能的事件一一列舉，或借助圖形來分析問題，或換個角度思考問題，采用間接法來解題.

（作者單位：江西省贛州市興國縣興國中學(xué)）