怎樣解答三角函數(shù)綜合問(wèn)題

馬娟娟

與三角函數(shù)有關(guān)的綜合問(wèn)題并不少見(jiàn)，此類問(wèn)題常常將三角函數(shù)與向量、不等式、函數(shù)、解三角形等知識(shí)相結(jié)合，側(cè)重于考查同學(xué)們的應(yīng)變能力和綜合運(yùn)用相關(guān)知識(shí)的能力.下面結(jié)合實(shí)例來(lái)探討三類三角函數(shù)綜合問(wèn)題及其解法.

一、三角函數(shù)與向量問(wèn)題

三角函數(shù)與向量問(wèn)題是一類常見(jiàn)的題目，此類問(wèn)題一般要求根據(jù)已知的向量或者坐標(biāo)求三角函數(shù)的值、解析式、最值等.在解題時(shí)，我們需通過(guò)向量運(yùn)算構(gòu)建出三角函數(shù)式，然后通過(guò)分析三角函數(shù)的圖象、性質(zhì)確定三角函數(shù)的最值、單調(diào)區(qū)間、周期等，從而得出問(wèn)題的答案.

解答本題，我們需先根據(jù)向量的數(shù)量積公式化簡(jiǎn)函數(shù) f （x）的表達(dá)式，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.

二、三角函數(shù)與零點(diǎn)問(wèn)題

三角函數(shù)與零點(diǎn)問(wèn)題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)與解析式.解答這類問(wèn)題，要先令三角函數(shù) f （x）=0，根據(jù)函數(shù)的圖象和單調(diào)性求出函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上或1個(gè)周期內(nèi)的零點(diǎn)值，然后根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，如對(duì)稱性、周期性等，求出其他區(qū)間上或周期內(nèi)的零點(diǎn).

我們首先根據(jù)函數(shù)的解析式求得函數(shù)的對(duì)稱軸和周期，明確函數(shù) 內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，然后結(jié)合正弦函數(shù)的周期性求得問(wèn)題的答案.

三、三角函數(shù)與不等式問(wèn)題

三角函數(shù)與不等式問(wèn)題一般較為復(fù)雜，側(cè)重于考查三角函數(shù)的單調(diào)性和不等式的性質(zhì).解答三角函數(shù)與不等式問(wèn)題的關(guān)鍵在于，把不等式用同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)的函數(shù)表示出來(lái)，然后根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性和周期性建立新的不等式，解不等式便可求得問(wèn)題的答案.

在解答本題時(shí)，我們首先運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法判斷出函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉函數(shù)符號(hào)“ f ”，建立新的不等式組，進(jìn)而求得原不等式的解集.

與三角函數(shù)有關(guān)的綜合問(wèn)題有很多，但無(wú)論遇到哪一類綜合題目，我們都要先將所求目標(biāo)和已知條件聯(lián)系起來(lái)，求出函數(shù)的解析式或?qū)⑺竽繕?biāo)簡(jiǎn)化，然后靈活運(yùn)用相關(guān)的知識(shí)，如向量的數(shù)量積公式、零點(diǎn)與方程的關(guān)系、不等式的性質(zhì)、三角函數(shù)的圖象、性質(zhì)來(lái)求得問(wèn)題的答案.

（作者單位：江蘇省東臺(tái)中學(xué)）