等比法求和式極限

郭 偉

（長(zhǎng)治學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山西 長(zhǎng)治 046011）

1 預(yù)備知識(shí)

在高等數(shù)學(xué)中，經(jīng)常會(huì)遇到一些計(jì)算和式極限[1]的題型。由于極限的四則運(yùn)算對(duì)和式極限是不成立的，我們可以將和式放大與縮小并借助于夾逼準(zhǔn)則求一些特殊的和式極限，但很多情況下夾逼準(zhǔn)則是不成立的。定積分的引入對(duì)計(jì)算和式極限提供了一個(gè)較好的方法[2]。眾所周知，定義在[a，b]上的定積分

在函數(shù)可積的條件下，通常采取等分法和特殊取點(diǎn)法來(lái)計(jì)算定積分，例如將[0，1]區(qū)間n等分，并取ξi為區(qū)間的右端點(diǎn)，則

反過(guò)來(lái)，和式極限可以借助于定積分來(lái)計(jì)算，從上述兩個(gè)例子可以看出，等式最右端是一和式極限。這類(lèi)極限有個(gè)基本的特征，是將區(qū)間等分來(lái)計(jì)算，即例子中的可以提取到求和符號(hào)之外，教材上主要介紹將這類(lèi)和式極限轉(zhuǎn)化成定積分計(jì)算。例如：

2 等比法計(jì)算和式極限

2.1 基本思想

設(shè)f（x）是定義在[1，b]上的連續(xù)函數(shù)，在[1，b]上插入n-1個(gè)特殊分點(diǎn)，依次為

2.2 應(yīng)用舉例

解：這是一個(gè)和式極限的問(wèn)題，借助于定積分的定義可得：

2.2.2 計(jì)算

2.2.3 計(jì)算

小結(jié)

在計(jì)算和式極限時(shí)，我們首先將和式極限化為最簡(jiǎn)單形式，從表達(dá)式觀察分割和取點(diǎn)的情況，然后轉(zhuǎn)化為定積分來(lái)計(jì)算，但如果是任意分割區(qū)間，取點(diǎn)不取端點(diǎn)和比例中項(xiàng)（例如取中點(diǎn)等），定積分則化為更復(fù)雜的和式極限。