利用函數(shù)思想巧解等差數(shù)列問題

張志鵬

數(shù)列是特殊的函數(shù)，而等差數(shù)列更是具備良好的函數(shù)性質(zhì)，要是我們能夠利用好這些性質(zhì)，不僅能夠使我們加深對數(shù)列的理解，更能使我們解決相應(yīng)問題時(shí)更加得心應(yīng)手.

一、等差數(shù)列中特定項(xiàng)的問題

我們假設(shè)數(shù)列{an}為等差數(shù)列，其公差為d，首項(xiàng)為a1.則易知其通項(xiàng)公式為an=a1+（n-1）dan=nd+（a1-d），若將an看成n的函數(shù)，我們會發(fā)現(xiàn)an是形如“kn+b”的關(guān)于n的線性函數(shù)，其中k等于公差d.既然是線性函數(shù)，我們知道其上任意的點(diǎn)都是“共線”的，利用這條性質(zhì)我們便可以方便、高效地解決相應(yīng)的類型問題.

例1已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且a3=7，a15=31，則a17的值為.

常規(guī)解法由于{an}為等差數(shù)列，所以有a15=a1+14d；a3=a1+2d.求得首項(xiàng)a1=3，公差d=2，故a17=a1+16d=35.

巧妙解法由于{an}為等差數(shù)列，則易知（3，a3），（15，a15），（17，a17）三點(diǎn)共線，故其“斜率”相等，因而，我們得a15-a3115-3=a17-a15117-15，代入相應(yīng)的值后我們解得a17=35.

點(diǎn)評：對于常規(guī)思路，要解決等差數(shù)列通項(xiàng)類的問題，我們一般需要轉(zhuǎn)換為首項(xiàng)a1和公差d來進(jìn)行求解，需要兩個(gè)方程來解出這兩個(gè)參數(shù)，而我們從函數(shù)視角來解決此類問題時(shí)巧妙利用通項(xiàng)公式的函數(shù)特征，只需一步便可求得答案，無疑降低了計(jì)算量.

二、等差數(shù)列中前n項(xiàng)和的問題

設(shè)數(shù)列{an}為等差數(shù)列，其公差為d，首項(xiàng)為a1，則其前n項(xiàng)和sn=n（a1+an）12=d12n2+a1-d12n.若我們將sn看成n的函數(shù)，當(dāng)公差d≠0時(shí)我們會發(fā)現(xiàn)sn是形如“an2+bn”的關(guān)于n的二次函數(shù)，并且其函數(shù)圖像過定點(diǎn)（0，0）.于是我們在解題時(shí)若能通過對二次函數(shù)圖像的解讀，并利用數(shù)形結(jié)合的思想來考慮問題，我們便可以快速找到相應(yīng)的突破口.而函數(shù)g（n）=sn1n則是關(guān)于n的一次函數(shù)，既然是線性函數(shù)，我們知道其上任意的點(diǎn)都是“共線”的，利用這條性質(zhì)我們也可以方便、高效地解決相應(yīng)的類型問題.

例2已知等差數(shù)列{an}的前m項(xiàng)和為30，前2m項(xiàng)的和為100，求數(shù)列前5m項(xiàng)的和s5m的值.

常規(guī)解法由于{an}為等差數(shù)列，所以sm，s2m-sm，s3m-s2m，s4m-s3m，s5m-s4m仍為等差數(shù)列，故由題目可知sm，s2m-sm，s3m-s2m，s4m-s3m，s5m-s4m的值依次為30，70，110，150，190，所以s5m=30+70+110+150+190=550.

巧妙解法構(gòu)造函數(shù)g（n）=sn1n，易知g（n）是關(guān)于n的一次函數(shù).既然是線性函數(shù)，我們知道其上任意的點(diǎn)都是“共線”的，所以我們有：m，sm1m，2m，s2m12m，5m，s5m15m三點(diǎn)共線，因而，有s2m12m-sm1m12m-m=s5m15m-s2m12m15m-2m，代入解得s5m=550.

點(diǎn)評：常規(guī)解法利用了等差數(shù)列依次k項(xiàng)和仍為等差數(shù)列這一重要性質(zhì)，但是當(dāng)求和項(xiàng)太多時(shí)，例如，此題中求s100m，這類辦法便顯得不那么高明了，而我們創(chuàng)造性地構(gòu)造g（n）=sn1n這一函數(shù)，利用其線性特征，便可以直接求出所需的前5m項(xiàng)之和，且此類方法不受求和項(xiàng)數(shù)量影響.

例3首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為sn，并且s3=s8則當(dāng)sn取得最大值時(shí)，n的值為.

常規(guī)解法由題可知公差d<0并有3a2=4（a4+a5），所以a2=-4d，故an=（n-6）d，所以a6=0.因此，前5項(xiàng)或者前6項(xiàng)的和最大，因此，答案為5或6.

巧妙解法由題可知s1=a1>0，并且公差d<0，因此，數(shù)列sn=d12n2+a1-d12n所對應(yīng)的點(diǎn)所在函數(shù)的圖像如下圖所示.

由于s3=s8，所以對稱軸為n=3+812=5.5，又因?yàn)閚為正整數(shù)且|5-5.5|=|6-5.5|，所以，前5項(xiàng)或者前6項(xiàng)的和相等，此時(shí)均取得最大值，因此，答案填5或6.

點(diǎn)評：題目直接告訴了我們sn中特定兩項(xiàng)的關(guān)系，而常規(guī)解法是將sn轉(zhuǎn)化為an來進(jìn)行求解的，這不免走了一些彎路，而從函數(shù)視角出發(fā)，直接利用題目所給已知條件，抓住二次函數(shù)這一我們非常熟悉的函數(shù)的特征來解決問題，直奔主題，簡潔明了.