淺談數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

鞏誠+張?zhí)炀V+李彥江+高翔宇

【摘要】本文通過追蹤洛必達(dá)法則的歷史，研究了洛必達(dá)法則在其發(fā)表時的證明方法問題，通過該問題的研究，讓學(xué)生深刻理解了數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教學(xué)和學(xué)習(xí)中的重要意義，讓學(xué)生更加深刻地理解了數(shù)學(xué)理論的意義，增加了學(xué)習(xí)興趣.

【關(guān)鍵詞】洛必達(dá)法則；數(shù)學(xué)史；微積分

【基金項(xiàng)目】黑龍江大學(xué)學(xué)位與研究生教育教學(xué)改革研究項(xiàng)目：數(shù)學(xué)史在研究生數(shù)學(xué)教學(xué)中的研究與應(yīng)用；復(fù)雜四邊形的幾何約束求解方法，批準(zhǔn)號：QL200702；黑龍江大學(xué)青年科學(xué)基金：QL200702；哈爾濱市科技創(chuàng)新人才專項(xiàng)資金項(xiàng)目：2016RQQXJ135.

數(shù)學(xué)史是研究數(shù)學(xué)發(fā)展歷史的學(xué)科，數(shù)學(xué)史告訴我們，數(shù)學(xué)的發(fā)展并不合邏輯，也就是說數(shù)學(xué)發(fā)展的實(shí)際情況與我們今日所學(xué)的數(shù)學(xué)教科書很不一致.這就讓剛剛接觸高等數(shù)學(xué)的學(xué)生有很大的迷惑，或者產(chǎn)生誤解.比如，我們知道洛必達(dá)法則的證明過程中應(yīng)用了柯西中值定理，而洛必達(dá)（1661—1750）生活的時代要遠(yuǎn)遠(yuǎn)早于柯西（1789—1857），也就是說在洛必達(dá)法則發(fā)表的時代并沒有出現(xiàn)柯西定理，那么洛必達(dá)先生是如何證明洛必達(dá)法則的呢？這是一個很容易引起學(xué)生迷惑的問題.對于本問題的澄清，也深刻地體現(xiàn)出數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教學(xué)和學(xué)習(xí)中的作用.在本文中，我們就深入探討一下這個問題.在這里需要指出的是，有學(xué)者指出，洛必達(dá)法則更有可能是他的教師伯努利發(fā)現(xiàn)的，但是在這個問題上我們不做探討，后面一致認(rèn)為是洛必達(dá).

下面我們首先給出洛必達(dá)法則.

洛必達(dá)法則（1696年，010型未定式）：設(shè)函數(shù)f（x）和g（x）在點(diǎn)x0的某去心鄰域Uo（x0）內(nèi)可

洛必達(dá)法則最早出現(xiàn)在1696年出版的《基于無限小的曲線分析》一書中，而柯西中值定理則出現(xiàn)在19世紀(jì)前期，比洛必達(dá)法則晚100多年.柯西中值定理表述如下：

柯西中值定理（19世紀(jì)前期）：設(shè)函數(shù)f（x）和g（x）分別在閉區(qū)間[a，b]連續(xù)，在開區(qū)間（a，b）可導(dǎo)，并且g′（x）≠0，則在開區(qū)間（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得

f′（ξ）1g′（ξ）=f（b）-f（a）1g（b）-g（a）.

我們知道，柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推廣，是微分學(xué)的基本定理之一.其幾何意義為，用參數(shù)方程表示的曲線上至少有一點(diǎn)，它的切線平行于兩端點(diǎn)所在的弦.該定理可以視作在參數(shù)方程下拉格朗日中值定理的表達(dá)形式.拉格朗日中值定理是由法國數(shù)學(xué)家拉格朗日于1797年在其著作《解析函數(shù)論》的第六章中提出的，并進(jìn)行了初步證明.其形式如下：

拉格朗日中值定理（1797年）：設(shè)函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]連續(xù)，在開區(qū)間（a，b）可導(dǎo)，則在開區(qū)間（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得f′（ξ）=f（b）-f（a）1b-a.

拉格朗日中值定理提供了用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的依據(jù)，它是微分學(xué)的基本定理之一.同時，它又是羅爾定理的推廣，其證明過程的關(guān)鍵一點(diǎn)是應(yīng)用了羅爾定理.

羅爾中值定理（1691年）：設(shè)函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]連續(xù)，在開區(qū)間（a，b）可導(dǎo)，且f（a）=f（b），則f′（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)至少有一個零點(diǎn)，即至少存在一點(diǎn)ξ∈（a，b），使得f′（ξ）=0.

由此，我們追蹤洛必達(dá)法則的歷史淵源，可知羅爾中值定理（1691年）這個基礎(chǔ)性定理比洛必達(dá)法則（1696年）要早5年.那么問題來了，難道是洛必達(dá)基于羅爾中值定理將拉格朗日中值定理和柯西中值定理一一推導(dǎo)出來，然后僅僅發(fā)表了洛必達(dá)法則？這顯然是不可能的.那么，洛必達(dá)又是如何證明的呢？

我們再環(huán)顧一下洛必達(dá)法則發(fā)表的時代，看看當(dāng)時的數(shù)學(xué)理論發(fā)展到什么程度.我們知道微積分是由牛頓和萊布尼茨分別獨(dú)立創(chuàng)立的，結(jié)合牛頓和萊布尼茨二者的工作，從時間上來看，牛頓發(fā)現(xiàn)微積分理論要早于萊布尼茨，但是萊布尼茨對微積分理論的發(fā)表要早于牛頓，其于1684年發(fā)表第一篇微分論文，定義了微分概念，采用了微分符號dx，dy.1686年他又發(fā)表了積分論文，討論了微分與積分，使用了積分符號∫.

最早發(fā)表的微積分理論僅僅比洛必達(dá)法則早了12年，這段時間是微積分理論的初創(chuàng)期，很多結(jié)論并不完善，也不嚴(yán)密，所以洛必達(dá)法則產(chǎn)生于這樣一個時代基礎(chǔ)之上，其結(jié)論是劃時代的（由柯西中值定理可窺一二），其證明過程也不可能太嚴(yán)密，或者說根本就不嚴(yán)密.那么洛必達(dá)到底是如何證明的呢？我們想一下，萊布尼茨早期所發(fā)表的微積分理論到底告訴我們了什么呢？他告訴我們的當(dāng)然是牛頓-萊布尼茨公式，也就是：

牛頓-萊布尼茨公式（1686年）：設(shè)函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]內(nèi)連續(xù)，F(xiàn)（x）為f（x）的一個原函數(shù)，則

稍做轉(zhuǎn)化，這個基本的微積分公式所表達(dá)的含義可以有如下形式：

顯然，洛必達(dá)完全可以看到這一步.有學(xué)生要質(zhì)疑了：“不對啊，公式（1）是通過積分中值定理得到的.”這樣想是錯誤的，因?yàn)檫@個公式是牛頓和萊布尼茨最早發(fā)現(xiàn)的，那個時候中值定理根本就沒出現(xiàn)，這只是我們的教材上的證明方法.至于當(dāng)時牛頓-萊布尼茨公式是如何得到的，這個問題和本文討論的問題類似，并沒有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明，這些都是牛頓他們通過相對簡單的數(shù)學(xué)推導(dǎo)和深刻的數(shù)學(xué)直覺得到的.

那么我們利用式（1）來證明洛必達(dá)法則.

證明：

我們今日中學(xué)所學(xué)的數(shù)學(xué)內(nèi)容基本上屬于17世紀(jì)微積分學(xué)以前的初等數(shù)學(xué)知識，這些數(shù)學(xué)教材業(yè)已經(jīng)過千錘百煉，是在科學(xué)性與教育要求相結(jié)合的原則指導(dǎo)下經(jīng)過反復(fù)編寫的，這樣就必然舍棄了許多數(shù)學(xué)概念和方法形成的實(shí)際背景、知識背景、演化歷程以及導(dǎo)致其演化的各種因素，因此，僅憑數(shù)學(xué)教材的學(xué)習(xí)，難以獲得數(shù)學(xué)的原貌和全景，同時忽視了那些被歷史淘汰掉的，但對現(xiàn)實(shí)科學(xué)或許有用的數(shù)學(xué)材料與方法，而彌補(bǔ)這方面不足的最好途徑就是通過數(shù)學(xué)史的學(xué)習(xí).

本文通過追蹤洛必達(dá)法則的證明過程，充分顯示了數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教學(xué)和學(xué)習(xí)中的重要作用，加深了對相應(yīng)數(shù)學(xué)定理的理解，增加了學(xué)習(xí)興趣.

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