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    帶非線性阻尼的歐拉方程組正規(guī)解的爆破

    2016-12-27 06:21:40朱旭生傅春燕趙康鑫
    關(guān)鍵詞:項(xiàng)的維空間歐拉

    朱旭生,傅春燕,趙康鑫,王 莉

    (華東交通大學(xué)理學(xué)院,江西 南昌330013)

    帶非線性阻尼的歐拉方程組正規(guī)解的爆破

    朱旭生,傅春燕,趙康鑫,王 莉

    (華東交通大學(xué)理學(xué)院,江西 南昌330013)

    研究了n(n≥1)維空間理想可壓縮流中帶有非線性阻尼項(xiàng)的等熵歐拉方程組的初值問題。當(dāng)初始密度有緊支集時(shí),利用泛函結(jié)合特征線的方法,證明了在真空情形下帶有形如-αρ|u|θu阻尼項(xiàng)的可壓縮等熵歐拉方程組,其阻尼系數(shù)α為正常數(shù)時(shí)的正規(guī)解在初始數(shù)據(jù)一定大時(shí)必定爆破,其中0<θ<1。

    等熵歐拉方程組;泛函方法;爆破

    考慮下列n(n≥1)維空間中帶阻尼項(xiàng)的等熵歐拉方程組:

    的Cauchy問題.其初始條件為

    其中:ρ,u,p分別表示氣體的密度,速度和壓力;狀態(tài)方程為p=Aργ(A>0);γ為絕熱指數(shù)(γ>1);其中常數(shù)α>0;0<θ<1。

    對(duì)帶阻尼項(xiàng)的歐拉方程組的研究有很多成果,大多是研究ρ>0的情形,當(dāng)初值是在一個(gè)擴(kuò)散波或者常狀態(tài)的平衡解附近的小擾動(dòng),經(jīng)典解整體存在詳情參見[1-3];但關(guān)于歐拉方程組的爆破也有大量的研究,例如[4-11]。文獻(xiàn)[4-6]研究了初值具有緊支集的情形,證明了某些情況下正規(guī)解會(huì)在有限時(shí)間內(nèi)爆破;文獻(xiàn)[7]研究三維空間的可壓縮流的非等熵歐拉方程組的奇性的形成;文獻(xiàn)[8-9]研究等熵歐拉方程組初邊值問題的軸對(duì)稱解的爆破;文獻(xiàn)[10]考察運(yùn)用泛函方法證明一維空間中帶非線性阻尼項(xiàng)的等熵歐拉方程組在初始密度有緊支集時(shí)正規(guī)解的爆破;文獻(xiàn)[11]研究了阻尼系數(shù)為常數(shù)的歐拉方程組和帶退化阻尼的等熵歐拉方程組,得到了在初始密度有緊支集時(shí),正規(guī)解都將在有限時(shí)間內(nèi)爆破。本文在文獻(xiàn)[4,8,10,11]的基礎(chǔ)上運(yùn)用泛函結(jié)合特征線的方法考察了帶有如阻尼的歐拉方程組的情形,其中0<θ<1。而當(dāng)θ=1時(shí)的情形在文獻(xiàn)[10]已有詳細(xì)證明。

    1 主要定理及其證明

    參考文獻(xiàn):

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    [8]ZHU XUSHENG,TU ARHUA.Blowup of the axis-symmetric solutions for the IBVP of the isentropic Euler equations[J].Nonlinear Analysis:Theory,Methods&Applications,2014,95:99-106.

    [9]朱旭生,俞銀晶,李翠.帶阻尼項(xiàng)的三維等熵可壓縮歐拉方程組軸對(duì)稱解的爆破[J].廈門大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2014,53(6):780-784.

    [10]熊顯萍,朱旭生.帶非線性阻尼項(xiàng)的等熵歐拉方程組正規(guī)解的爆破[J].西南大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2014,36(3):71-76.

    [11]ZHU XUSHENG,WANG WEIKE.The regular solutions of the isentropic Euler equations with degenerate linear damping[J]. Chinese Annals of Mathematics,2005,26(4):583-598.

    Blowup of the Regular Solutions of the Euler Equations with Nonlinear Damping

    Zhu Xusheng,F(xiàn)u Chunyan,Zhao Kangxin
    (School of Science,East China Jiaotong University,Nanchang 330013,China)

    The regular solutions of then-dimensional isentropic Euler equations with the nonlinear damping for a perfect gas are investigated in this paper.Utilizing the methods of the functional in combination with characteristics,we prove the compressible isentropic Euler equations in vacuum case with the damp like-αρ|u|θu.If its damping coefficientαis positive constant when the initial data are large enough the regular solutions would blow up in finite time.

    isentropic Euler equation;functional methods;blowup

    O175.4

    A

    1005-0523(2016)06-0137-06

    (責(zé)任編輯 劉棉玲)

    2016-02-28

    國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11161021,11561024);江西省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(20151BAB201017)

    朱旭生(1968—),男,副教授,博士,研究方向?yàn)槠⒎址匠獭?/p>

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