兩道數(shù)列高考題的解法探析

□海南省海南師范大學(xué)附屬中學(xué) 王小莉

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容，數(shù)列中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想。其中轉(zhuǎn)化思想與整體思想在求解一些數(shù)列問題時(shí)，能幫助我們較快理清解題的思路找到解題的突破口。下面結(jié)合兩道高考題分析轉(zhuǎn)化思想與整體思想在解決數(shù)列問題中的應(yīng)用。

例1（2012年海南高考理科數(shù)學(xué)第16題）數(shù)列｛an｝滿足an+1+（-1）nan=2n-1，則數(shù)列｛an｝的前60項(xiàng)和為____________。

分析：題目?jī)H給出數(shù)列｛an｝的遞推關(guān)系an+1+（-1）nan=2n-1，未給出其初始值，因此數(shù)列｛an｝是不確定的。若從方程的角度看，遞推關(guān)系an+1+（-1）nan=2n-1中涉及兩個(gè)未知an與an+1數(shù)，但只有一個(gè)方程，從而無法求出其通項(xiàng)公式。故解答此題時(shí)，不能往“由遞推公式求通項(xiàng)公式再求和”這一思路探尋解法，得另尋其它解法。

觀察到遞推公式an+1+（-1）nan=2n-1右邊為大家所熟悉的等差數(shù)列｛2n-1｝的通項(xiàng)，這自然會(huì)引發(fā)我們思考:能否把這個(gè)非等差數(shù)列求和問題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和問題？如何轉(zhuǎn)化？左邊要想出現(xiàn)和式，關(guān)鍵是要把遞推關(guān)系an+1+（-1）nan=2n-1中的變號(hào)因式（-1）n給消去，由此萌生以下想法:①由條件:an+1+（-1）nan=2n-1

②可得:an+2+（-1）n+1an+1=2n+1；

③當(dāng)n=2k（k ∈N*）時(shí)，②+①得:a2k+a2k+2=8k；

④n=2k-1（k ∈N*）當(dāng)時(shí)，②-①得:a2k-1+a2k+1=2.

即相鄰的兩個(gè)奇數(shù)項(xiàng)的和為常數(shù)，相鄰兩個(gè)偶數(shù)項(xiàng)的和為等差數(shù)列。因此，對(duì)于求該數(shù)列的前60項(xiàng)的和，可考慮分別求前60項(xiàng)中奇數(shù)項(xiàng)的和與偶數(shù)項(xiàng)的和，再相加可得前60項(xiàng)的和。解答如下:

解法1:數(shù)列｛an｝滿足 an+1+（-1）nan=2n-1，

①所以有:an+2+（-1）n+1an+1=2n+1；

②當(dāng)n=2k（k∈N*）時(shí)，②+①得:a2k+a2k+2=8k；

③當(dāng)n=2k-1（k∈N*）時(shí)，②-①得:a2k-1+a2k+1=2；

④當(dāng)k=1，3，5，…，29時(shí)，有

（1）a1+a3=2，a5+a7=2，a9+a11=2，…，a57+a59=2（共15個(gè)等式）；

（2）a2+a4=8，a6+a8=24，a10+a12=40，…，a58+a60=232，分別把上面15個(gè)等式相加得：

以上兩式相加可得數(shù)列｛an｝的前60項(xiàng)和為1830。

由解法1，容易聯(lián)想到下面的解法2:

解法2:由解法1知，數(shù)列｛an｝滿足以下關(guān)系:

a2k+a2k+2=8k（k∈N*） ③

a2k-1+a2k+1=2（k∈N*） ④

③+④得a2k-1+a2k+a2k+1+a2k+2=8k+2（k∈N*）

記Sn為數(shù)列｛an｝的前幾項(xiàng)和則，S4，S8-S4，S16-S8…構(gòu)成首項(xiàng)為10、公差為16的等差數(shù)列。故數(shù)列｛an｝的前60項(xiàng)和為

拓展:由以上解法可知，我們可求該數(shù)列的任意前4n項(xiàng)和S4n。

若用解法1可先分別求其前4n項(xiàng)中的奇數(shù)項(xiàng)的和S奇=2n與偶數(shù)項(xiàng)的和S偶=再相加可得S4n=8n2+2n。

若用解法2，則該數(shù)列的前4n項(xiàng)和為:S4n=10n+

評(píng)析:本題的解法，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想。其轉(zhuǎn)化思想體現(xiàn)在把非等差數(shù)列求和問題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和問題。其中對(duì)等差數(shù)列通項(xiàng)結(jié)構(gòu)特征的熟悉與敏感度是聯(lián)想轉(zhuǎn)化的基礎(chǔ)。由此可以看出，等差數(shù)列與等比數(shù)列是高中階段重點(diǎn)學(xué)習(xí)的兩個(gè)典型數(shù)列，掌握好這兩個(gè)數(shù)列對(duì)進(jìn)一步研究其它一般數(shù)列有著重要意義。［1］

在解決本例時(shí)，我們將局部的問題通過適當(dāng)?shù)脑鰷p，使之成為一個(gè)完整的有聯(lián)系的整體，讓問題中的局部與整體的關(guān)系有機(jī)聯(lián)系起來，顯露出問題的本質(zhì)，從而使問題的解決找到捷徑。［2］這就是數(shù)學(xué)中整體思想的體現(xiàn)。

例2（2014海南高考理科數(shù)學(xué)第17題）已知數(shù)列｛an｝滿足a1=1，an+1=3an+1。

分析:第（Ⅰ）小題為由遞推公式求通項(xiàng)公式，且遞推公式的結(jié)構(gòu)較常規(guī)，學(xué)生不難解答。

又a1+是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列。

第（Ⅱ）小題是證明一個(gè)和式小于常數(shù)，常規(guī)思路是把和式的值求出來，再比較。但困難恰在此和式的求值。

第（Ⅱ）小題的本質(zhì)上是一個(gè)不等式的證明，對(duì)不等式的證明，還可考慮放縮法，如何放縮呢？評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)給出如下放縮方法:

筆者認(rèn)為，此題利用轉(zhuǎn)化思想，把非等比數(shù)列通過放縮，轉(zhuǎn)化為一個(gè)等比數(shù)列求和，思路自然，解法巧妙。但是，我們分析把放大為的過程:一種變形是還有一種變形是

這兩種放縮過程，都是采取把分母縮小的方法來放大分式的值。但不管是哪一種，都是很大膽的放縮，在第一種放縮方法中，采取了原分母減去（3n-1-1），而當(dāng)n→∞時(shí)，（3n-1-1）→∞；第二種放縮方法中，直接去掉分母中的多個(gè)非負(fù)項(xiàng)。這樣的放縮方法學(xué)生一般不容易想到，也就無法采用以上方法求解此題。那是否有較常規(guī)的放縮方法呢？我們還是回到題目條件中來。

由an+1=3an+1得

由（Ⅰ）知，an=為關(guān)于n遞增型指數(shù)型函數(shù)，放大分式的值，這是很符合常規(guī)的放縮方法。而要想出現(xiàn)所證問題中的和式，需累加，即:n →∞時(shí)，（3an+1）→∞，所以把上式中的分母縮小1以

把這n-1個(gè)式子相加得:

由an+1=3an+1得，

所以有:

把這n-1個(gè)式子相加得:

從而有:

評(píng)析:此題的第（Ⅱ）小題重在考察不等式證明的放縮法?？梢赃@么說，證法一采取了不尋常的放縮后化為尋常問題的求解；而證法二采用了尋常的放縮后，從整體觀點(diǎn)出發(fā)，通過研究問題的整體形式、整體結(jié)構(gòu)、整體特征，從而對(duì)問題進(jìn)行整體處理。［3］證法二中整體思想的應(yīng)用使證題過程巧妙地避開了求和的環(huán)節(jié)，簡(jiǎn)化了證題過程，讓我們感受到整體思想在解決數(shù)列問題中的巨大魅力。