“無(wú)心插柳”與“有意栽花”——例談活用教材培養(yǎng)學(xué)生符號(hào)意識(shí)的策略思考

□北京市中關(guān)村第一小學(xué) 董文彬

在整個(gè)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們無(wú)疑應(yīng)該重視發(fā)展學(xué)生的符號(hào)意識(shí)。而很多教師認(rèn)為，符號(hào)意識(shí)應(yīng)該是在學(xué)生學(xué)完“用字母表示數(shù)”真正跨入代數(shù)思維之后要做的事。其實(shí)不然，符號(hào)意識(shí)的培養(yǎng)應(yīng)該貫穿于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的整個(gè)六年“數(shù)與代數(shù)”的始終，特別是在學(xué)習(xí)“用字母表示數(shù)”方程單元之前，更應(yīng)該注重學(xué)生前期符號(hào)意識(shí)的滲透與發(fā)展。下面以北師大版教材三年級(jí)上冊(cè)為例，談?wù)勎以诨钣媒滩闹信嘤龑W(xué)生符號(hào)意識(shí)的幾點(diǎn)做法和思考。

一、前期對(duì)符號(hào)意識(shí)的兩點(diǎn)思考

1.什么是符號(hào)意識(shí)？

培育和發(fā)展學(xué)生的符號(hào)意識(shí)，首先要弄清楚什么是符號(hào)意識(shí)。符號(hào)意識(shí)是整個(gè)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容教學(xué)的方向或目標(biāo)之一，是學(xué)生必須具備的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之一。到底什么是符號(hào)意識(shí)？《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確指出了“符號(hào)意識(shí)”涵蓋的三方面：1.能夠理解并且運(yùn)用符號(hào)表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律；2.知道使用符號(hào)可以進(jìn)行運(yùn)算和推理，得到的結(jié)論具有一般性；3.理解符號(hào)的使用是數(shù)學(xué)表達(dá)和數(shù)學(xué)思考的重要形式。

我們知道，每一個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)都有它特定的含義，例如＋、－、×、÷分別表示特定的運(yùn)算意義，＝、≈、表示數(shù)學(xué)對(duì)象之間的某種關(guān)系，（）、［］表示運(yùn)算順序，圖形符號(hào)、字母可以表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系等。教學(xué)中讓學(xué)生理解符號(hào)的意義是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最基本的要求，也是發(fā)展符號(hào)意識(shí)的最基本的要求?？偠灾?，學(xué)生一要能懂，二要會(huì)用。

2.符號(hào)思考的價(jià)值是什么？

符號(hào)，作為一種數(shù)學(xué)語(yǔ)言，可以表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律；作為一種數(shù)學(xué)工具，能夠進(jìn)行運(yùn)算和推理，得到的結(jié)論具有一般性；作為一種數(shù)學(xué)方法，符號(hào)的使用是數(shù)學(xué)表達(dá)和進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的重要形式。而發(fā)展符號(hào)意識(shí)最重要的是運(yùn)用符號(hào)進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，可稱之為“符號(hào)思考”，這種思考是數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)模型等基本數(shù)學(xué)思想的集中反映，是最具數(shù)學(xué)特色的思維方式。教學(xué)中，教師應(yīng)該創(chuàng)設(shè)一切契機(jī)幫助學(xué)生感受符號(hào)作為數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)學(xué)工具、數(shù)學(xué)方法的獨(dú)特價(jià)值。運(yùn)用符號(hào)無(wú)論是表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，還是進(jìn)行運(yùn)算和推理，亦或是進(jìn)行數(shù)學(xué)思考和數(shù)學(xué)表達(dá)，核心都是對(duì)關(guān)系的集中刻畫和反映，這種“關(guān)系”不同于運(yùn)算的結(jié)果，獲得的結(jié)論具有一般性和普遍性的特征。有時(shí)，什么條件都不提供，不需要直觀看到，借助符號(hào)運(yùn)用關(guān)系即可推理出這種一般性的數(shù)學(xué)模式，這是“數(shù)學(xué)人”不同于“其他人”的基本素養(yǎng)。

二、活用教材滲透培養(yǎng)符號(hào)意識(shí)的策略思考

1．“無(wú)心插柳”的精彩。

北師大版教材三年級(jí)上冊(cè)第三單元“里程表（二）”一課，教材在呈現(xiàn)了“出租車?yán)锍瘫怼崩}之后，設(shè)計(jì)了這樣一道有關(guān)“電表”的習(xí)題，幫助學(xué)生鞏固理解同類問(wèn)題的本質(zhì)。

學(xué)生通過(guò)讀取圖表、畫圖理解（如下圖）、分析數(shù)據(jù)，在解決第（3）問(wèn)時(shí)最終呈現(xiàn)了如下兩種解決問(wèn)題的策略。

策略1:

7月：545－430＝115（千瓦時(shí)）

8月：640－545＝95（千瓦時(shí)）

9月：730－640＝90（千瓦時(shí)）

10月：825－730＝95（千瓦時(shí)）

11月：920－825＝95（千瓦時(shí)）

12月：998－920＝78（千瓦時(shí)）

下半年總用電量：115＋95＋90＋95＋95＋78＝568（千瓦時(shí)）。

策略2:

下半年總用電量：998－430＝568（千瓦時(shí)）。

通過(guò)交流、對(duì)比，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：“策略1”是充分利用第（2）問(wèn)的結(jié)果，思維簡(jiǎn)單但要付出計(jì)算繁瑣的代價(jià)，“策略2”是借助幾何直觀，在圖中尋求關(guān)系，用“12月底的電表讀數(shù)”直接減去“6月底的電表讀數(shù)”。比起“策略1”“策略2”更受學(xué)生歡迎，“策略2”幫助學(xué)生積累了解決此類問(wèn)題的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

在匯報(bào)交流第（4）問(wèn)的環(huán)節(jié)，精彩出現(xiàn)了！多數(shù)學(xué)生提出的問(wèn)題都是“樂(lè)樂(lè)家用電量最多的是幾月”“最少的是幾月”“某月比某月的用電量多多少或少多少”之類。但此時(shí)一個(gè)學(xué)生提出的問(wèn)題令大家瞠目結(jié)舌。

生1:樂(lè)樂(lè)家6月的用電量是多少千瓦時(shí)？

生2：（馬上舉手質(zhì)疑）6月份的用電量沒(méi)法求??？

生3:這是個(gè)無(wú)效的問(wèn)題！

生：對(duì)，6月的用電量根本沒(méi)法算。

生1:（有些著急）可是我提的的確是個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題?。?/p>

師：?jiǎn)柕煤?，不急?月的用電量能求嗎？

生：不能求，缺條件。

師：如果要求“6月的用電量”，還需知道什么條件或信息？

生4:必須知道電表5月底的讀數(shù)！

生:同意。

師：“5月底的讀數(shù)”現(xiàn)在不知道，難道就不能求嗎？

生：不能。

師：如果“5月底的讀數(shù)”給了，怎么求？

生：用“6月底的讀數(shù)”直接減去“5月底的讀數(shù)”就可以了。

師：能不能想辦法表示出“6月的用電量”是多少？

生5:如果5月底的讀數(shù)是350，那么6月的用電量就是“430-350”。

生6:5月底的讀數(shù)要是300，那6月的用電量就是“430-300”。

生7:這么說(shuō)，如果5月底的讀數(shù)要是200的話，那6月的用電量就是“430-200”了。

師：照這樣，6月用電量的結(jié)果也不固定??？可是你們看看7月到12月每個(gè)月的用電量是多少就是多少，這是怎么回事？

生：那是因?yàn)?月底的讀數(shù)每次假設(shè)的都不一樣。

師：我懂了。那你們能不能想辦法用一種簡(jiǎn)潔、概括的方式表示出“6月的用電量”？嘗試著寫出來(lái)。

學(xué)生獨(dú)立思考，嘗試把自己的表示方法寫出來(lái)，教師行間巡視，將學(xué)生典型的表示方法按序展示在屏幕上，引導(dǎo)全班匯報(bào)，交流分享。

生8:我寫的是“430-5月底的讀數(shù)”。

生10:??？這樣表示也行？

師：你們覺(jué)得這樣行不行？

生：行。

生11:5月底的讀數(shù)還可以用“x”表示，那6月的用電量就是“430-x”了。

師：太棒了！你們已經(jīng)想到尋求用特定的符號(hào)來(lái)表示這個(gè)我們開始“無(wú)法求出的問(wèn)題”了。大家看，（指生1）這位同學(xué)開始提出的問(wèn)題還是不是無(wú)效的了？

生：不是。這個(gè)問(wèn)題提得好，很有意義。

師：受這位同學(xué)啟發(fā)，老師也提一個(gè)問(wèn)題，樂(lè)樂(lè)家的電表明年1月底的讀數(shù)是多少？能解決嗎？試著寫一寫。

生13:我是這樣表示的，“998＋a”，這里的a代表1月的用電量。

師：一個(gè)簡(jiǎn)單的符號(hào)“△”或字母“a”就可以表示出要解決的問(wèn)題的答案，真是太奇妙了！數(shù)學(xué)的表達(dá)和思考就是這樣簡(jiǎn)潔。

在上述兩個(gè)問(wèn)題的基礎(chǔ)上，又有學(xué)生提出了新的問(wèn)題：“樂(lè)樂(lè)家6月份到明年1月份總的用電數(shù)量是多少呢？該怎么表示呢？”本已平靜的湖面又掀起了波瀾。

生14:用“明年1月底的讀數(shù)”減去“今年5月底的讀數(shù)”不就就行了？

生15:可是這兩個(gè)讀數(shù)都不知道啊？

生16:我有辦法！用“○”代表“今年5月底的讀數(shù)”，用“△”代表“明年1月底的讀數(shù)”，那么“△-○”就是“6月份到明年1月份總的用電數(shù)量”。

生：哦——

生17:假如“今年5月底的讀數(shù)”用“x”代替，“明年1月底的讀數(shù)”用“y”代替，那么“6月份到明年1月份總的用電數(shù)量”就可以用“y-x”表示。

此時(shí)，教室沸騰了，全班學(xué)生的臉上都洋溢著問(wèn)題解決后成功的喜悅。

非常精彩，非常享受！戀戀不舍，不愿下課！可以說(shuō)，這個(gè)“插曲”完全出乎我的意料，可謂“無(wú)心插柳柳成蔭”，學(xué)生的表現(xiàn)也令我刮目相看。這是一節(jié)“跑偏”的課，這種“跑偏”的“精彩”起緣于“生1”最開始提出的那個(gè)令人“瞠目結(jié)舌”的備受質(zhì)疑的“無(wú)效”的問(wèn)題。在面對(duì)和解決這個(gè)問(wèn)題的整個(gè)過(guò)程中，我沒(méi)有回避，而是借助教材中的這道習(xí)題資源順著學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)和思維而下，不斷啟發(fā)，不斷引導(dǎo)，不斷“挑事”，不斷“拱火”，隨機(jī)巧妙追問(wèn)，激發(fā)學(xué)生在理解問(wèn)題本質(zhì)的基礎(chǔ)上（能懂），自覺(jué)主動(dòng)地用各種符號(hào)表示（未知的）數(shù)和數(shù)量關(guān)系（會(huì)用），即活用教材、學(xué)材，不回避，不躲藏，順應(yīng)思維，適當(dāng)延伸，沿著問(wèn)題的臺(tái)階，拾級(jí)而上，在潛移默化中自然穿插滲透和培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)。

2.“有意栽花”的豐實(shí)。

北師大版教材三年級(jí)上冊(cè)“數(shù)學(xué)好玩”單元“日歷中的規(guī)律”一課，教材設(shè)計(jì)了如下學(xué)習(xí)路徑：按給出的一份某年9月份的日歷，先觀察日歷中加框的4個(gè)數(shù)，尋找這4個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，從不同的角度發(fā)現(xiàn)并表達(dá)其中蘊(yùn)藏的普遍性的數(shù)學(xué)模式。同樣地，再有序觀察日歷中有陰影的9個(gè)數(shù)，發(fā)現(xiàn)并表達(dá)其中蘊(yùn)藏的一般性的數(shù)學(xué)規(guī)律。最后根據(jù)發(fā)現(xiàn)的日歷中的模式或規(guī)律，通過(guò)“猜說(shuō)生日”游戲，應(yīng)用規(guī)律。

2014年第一次執(zhí)教這節(jié)課時(shí)，筆者就注意到了這其中蘊(yùn)藏的數(shù)學(xué)模式或數(shù)學(xué)規(guī)律，其實(shí)是一種抽象的共性關(guān)系的表達(dá)，這種數(shù)學(xué)表達(dá)的背后實(shí)際蘊(yùn)含著符號(hào)思考的數(shù)學(xué)價(jià)值，即學(xué)生符號(hào)意識(shí)的培養(yǎng)。于是，我再次執(zhí)教這節(jié)課時(shí)對(duì)這個(gè)環(huán)節(jié)放慢腳步，活用教材，精心預(yù)設(shè)，適當(dāng)延伸，讓學(xué)生體會(huì)符號(hào)作為數(shù)學(xué)語(yǔ)言和數(shù)學(xué)工具所具備的數(shù)學(xué)思考的價(jià)值，適時(shí)“見縫插針”，穿插滲透符號(hào)意識(shí)的培育和發(fā)展。教學(xué)片段如下：

出示日歷（用方框在表中任意圈出4個(gè)日期）。

師：這是一份9月份的日歷，用像這樣的方框可以在表中任意圈出4個(gè)日期。觀察框中的4個(gè)數(shù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？請(qǐng)想辦法記錄下來(lái)。

學(xué)生動(dòng)手圈、畫、記錄發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，教師行間巡視，收集學(xué)生的作品，按序展示，引導(dǎo)全班仔細(xì)觀察，對(duì)比交流。

先依次出示觀察一組數(shù)框（圈一組的情況）、觀察多組數(shù)框（圈多組的情況）。

師：在研究數(shù)組發(fā)現(xiàn)時(shí)，有同學(xué)只圈出了一組數(shù)，而有的同學(xué)圈出了多組數(shù)。哪種好？

生：圈多組數(shù)。

師：為什么要觀察多組數(shù)？只關(guān)注一組行不行？

生：觀察多組數(shù)，才能發(fā)現(xiàn)他們之間共同的特點(diǎn)。

師：這張日歷中有很多這樣的數(shù)，我們不僅關(guān)注一組數(shù)之間的關(guān)系，還要關(guān)注每組數(shù)中都存在的共性關(guān)系。

展示不同的學(xué)生作品，呈現(xiàn)不同的記錄表達(dá)方式。

生1用文字語(yǔ)言表記錄：（圈出兩組數(shù)：“11、12、18、19”和“7、8、14、15”）12比11多1，19比18多1，18比11多7，19比12多7，11加19等于12加18；8比7多1，15比14多1，14比7多7，15比8多7，7加15等于8加14；橫著看相鄰的兩數(shù)差1，豎著看相鄰的兩數(shù)差7，斜著看對(duì)角的兩數(shù)相加的和一樣多。

生2用算式表達(dá)：（圈出兩組數(shù)：“11、12、18、19”和“14、15、21、22”）

12-11＝1 15-14＝1

19-18＝1 22-21＝1

18-11＝7 21-14＝7

19-12＝7 22-15＝7

11＋19＝18＋12 14＋22＝21＋15

生3、生4用符號(hào)（圖形、字母）的方式表達(dá)：

生5、生6用了不同思維層級(jí)的符號(hào)（圖形、字母）方式表達(dá)：

教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比交流（略）。

“有意栽花花自開！”在上述案例中，我借助教材中的原生態(tài)素材，適當(dāng)調(diào)整教學(xué)內(nèi)容，改變學(xué)習(xí)方向，挖掘延伸教材中的問(wèn)題鏈，適當(dāng)增加學(xué)生的探索和創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)活動(dòng)，充分發(fā)揮問(wèn)題情境的價(jià)值，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷符號(hào)思考和符號(hào)表達(dá)的過(guò)程，從文字、算式表達(dá)，到圖形、字母符號(hào)，感受不同數(shù)學(xué)表達(dá)方式的特點(diǎn)，在評(píng)價(jià)中不斷缺憾，不斷完善，讓學(xué)生感受集簡(jiǎn)練性、概況性于一體的數(shù)學(xué)符號(hào)表征方式的精彩之處，體會(huì)符號(hào)思考的數(shù)學(xué)價(jià)值，進(jìn)而滲透和發(fā)展學(xué)生的符號(hào)意識(shí)。

筆者繼續(xù)思考：符號(hào)意識(shí)的培育的核心目標(biāo)是什么？筆者以為，簡(jiǎn)而言之，就是讓學(xué)生心中有“符號(hào)”。心中有符號(hào)，學(xué)生才能用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界；心中有符號(hào)，才能用數(shù)學(xué)的思維思考世界；心中有符號(hào)，才能用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言方式表達(dá)世界。心中有符號(hào)，還能幫助學(xué)生表達(dá)對(duì)數(shù)學(xué)世界沸騰的情感。而要讓學(xué)生心中有符號(hào)，就需要我們?cè)诮虒W(xué)中活用教材，延伸問(wèn)題鏈，抓住一切學(xué)習(xí)契機(jī)幫助學(xué)生在心中建立符號(hào)，感受符號(hào)思考的價(jià)值，滲透學(xué)生的符號(hào)意識(shí)?？傊?，無(wú)論是“無(wú)心插柳”還是“有意栽花”都告訴我：心中有符號(hào)，數(shù)學(xué)更美好！