淺談數(shù)學(xué)問題系統(tǒng)引導(dǎo)教學(xué)法實(shí)驗(yàn)

王麗云

摘要：本文通過介紹問題系統(tǒng)引導(dǎo)教學(xué)法在高中數(shù)學(xué)中的操作方法和使用的效果，總結(jié)了這一系統(tǒng)的實(shí)際意義。

關(guān)健詞：問題系統(tǒng)高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

問題系統(tǒng)引導(dǎo)教學(xué)法實(shí)驗(yàn)，是從教學(xué)思想、教材、教法及課堂結(jié)構(gòu)等方面進(jìn)行的一次綜合性的改革實(shí)驗(yàn)，它從目標(biāo)與檢測、自學(xué)、情感這四個(gè)因素來全面落實(shí)數(shù)學(xué)問題系統(tǒng)，將教材中的數(shù)學(xué)習(xí)題進(jìn)行了擴(kuò)展。從主體上說，就是將傳統(tǒng)的教材向具有科學(xué)性、生動(dòng)性、啟發(fā)性和導(dǎo)向性的問題系統(tǒng)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，在編排上根據(jù)中學(xué)生的認(rèn)知水平和心理水平進(jìn)行安排，將死板的教學(xué)變成了生動(dòng)活潑的樂學(xué)，實(shí)現(xiàn)了當(dāng)前倡導(dǎo)的“面向全體學(xué)生，負(fù)擔(dān)輕，速度快，容量大，效果好”的教學(xué)目標(biāo)。

我校編寫了一套高一的《代數(shù)》和《立體幾何》教案本。在兩年的教改實(shí)驗(yàn)中，我們進(jìn)行了多次的研究教學(xué)和觀摩教學(xué)活動(dòng)，收到了良好的教學(xué)效果。

一、教案本與問題系統(tǒng)引導(dǎo)教學(xué)法實(shí)驗(yàn)課例

目前高考的知識(shí)點(diǎn)大部分來自于教材，但是所遇到的題型和解題方法都是沒有見過的。也就是說，即使學(xué)生熟練地掌握了教材，也不一定能在高考中取得好成績。針對這一問題，提出了問題系統(tǒng)引導(dǎo)教學(xué)法。我們將教材的每一節(jié)知識(shí)編成了相應(yīng)的教案本，教案本將每節(jié)課都問題化，目的是讓學(xué)生主動(dòng)去思考，教師只是引導(dǎo)，通過這樣的方式來培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力。此教案本是為了高考而特制的，在課堂教學(xué)中，課前能當(dāng)預(yù)習(xí)輔導(dǎo)材料，課后又能作為習(xí)題本。

下面就問題系統(tǒng)引導(dǎo)教學(xué)法具體的課堂實(shí)例進(jìn)行介紹，以等差數(shù)列的前n項(xiàng)的和公式一節(jié)課為例。

課題：“等差數(shù)列的前n項(xiàng)的和公式”。

研討課題：如何使用實(shí)驗(yàn)教材引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行系統(tǒng)的自我學(xué)習(xí)、探索、發(fā)現(xiàn)和概括？

教學(xué)過程：

教師：今天，我們學(xué)習(xí)實(shí)驗(yàn)教材《數(shù)列》第一章的第五課“等差數(shù)列前n項(xiàng)的和公式”，同學(xué)們先看教案本中的學(xué)習(xí)提要和問題1的兩個(gè)問題。

學(xué)習(xí)提要：等差數(shù)列的前n項(xiàng)的和公式有哪兩個(gè)形式？如何導(dǎo)出的？如何應(yīng)用等差數(shù)列前n項(xiàng)的和公式解題？

評述：實(shí)驗(yàn)教學(xué)每節(jié)課開始，都是以幾個(gè)小問題的形式呈現(xiàn)，提出本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)、學(xué)習(xí)任務(wù)，教學(xué)知識(shí)的重點(diǎn)，這樣有利于教與學(xué)的順利開展。

問題一：

1.在等差數(shù)列{an}中，若自然數(shù)n，m，p有關(guān)系q，n+m=p+q，則an，am，ap，aq有關(guān)系an+am=ap+aq。

2.如何計(jì)算1+2+3+…+100？

評述：問題一遷移性問題，為引出以下的新知識(shí)起到了鋪墊作用，如第1題是為了解釋a1+an=a2+an-1=…，第2題則是推導(dǎo)等差數(shù)列Sn的方法原型。

教師：同學(xué)們看問題二與問題三中部分公式的推導(dǎo)。

問題二：

1.如何計(jì)算5+6+7+8+9+10+11？

2.在等差數(shù)列{an}中，如果記Sn=a1+a2+…an，稱Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和，問Sn具有怎樣的表達(dá)式？

問題三：

1.試用下面豎式計(jì)算題1中七個(gè)數(shù)的和：

S7=5+6+7+8+9+10+11，①

S7=11 + 10 +9+ 8 + 7 + 6 + 5。②

①+②得：

2S7=（5+11）+（）+（）+（）+（）+（）+（）

=7×16。

∴S7=7×8=56。

2.一般地，設(shè)有等差數(shù)列a1，a2，…，an，它的前n項(xiàng)的和為Sn=a1+a2+…+an。

仿上題列豎式：

Sn=a1+a2+…+an-1+an，③

Sn=an+an-1+…+a2+a1。④

③+④得：

2Sn=（）+（） +…+（）+（）。

∵a1+an=a2+ （）=……

∴2Sn=n·（a1+an）。

由此得到等差數(shù)列{an}的前n 項(xiàng)和公式。

公式（1）Sn=n（a1+an）12，求Sn需知三個(gè)條件，再由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1+代入上式，得到等差數(shù)列Sn的另一形式。

公式（2）Sn=na1+n（n-1）12d，這里求Sn要知道的三個(gè)條件是：。

教師叫學(xué)生寫出公式（1）、（2），然后用語言表達(dá)推導(dǎo)公式的方法，應(yīng)用公式求Sn的方法需要知道的三個(gè)條件。

評述：這兩個(gè)問題從淺到深來安排，主要是希望讓學(xué)生根據(jù)規(guī)律逐漸掌握數(shù)列的求和公式，由學(xué)生自已動(dòng)筆去推導(dǎo)這些公式，印象深刻，對知識(shí)理解到掌握。

現(xiàn)通過兩個(gè)例題組織學(xué)生進(jìn)行討論。

例1一個(gè)首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列中，前3項(xiàng)的和等于前11項(xiàng)的和.

（1）若這個(gè)數(shù)列前n項(xiàng)和最大，求n的值.

（2）求該數(shù)列前14項(xiàng)的和.

分析：（1）s3=s11，說明第4項(xiàng)到第11項(xiàng)之和為0，因數(shù)列首項(xiàng)為正，故必然有一項(xiàng)為正且其后面一項(xiàng)為負(fù)，找到這一正、負(fù)分界項(xiàng)，便得到n的值.

（2）s3=s11，顯然不能求出a1和d的具體值，為此，只有設(shè)法探求s14與它們的關(guān)系.

解：（1）由已知s3=s11，得

a4+a5+a6+…+a10+a11=0，

a4+a11=a5+a10=…=a7+a8=0.

因數(shù)列首項(xiàng)為正，故公差d<0，且a7>0，a8<0，所求n的值為7.

（2）設(shè){an}首項(xiàng)為a1，公差為d，s3=s11，

則3a1+3（3-1）12s=11a1+11（11-1）12d，

整理得2a1+13d=0.

故s14=14a1+14（14-1）12d=7（2a1+13d）=0.

例2設(shè)數(shù)列an是等差數(shù)列，Sn是它的前n項(xiàng)的和，已知S7=7，S15=75，Tn為數(shù)列{|Sn1n|}的前n項(xiàng)的和，求Tn。

解：設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則

7a1+21d=7，

15a1+105d=75，解得a1=-2，

d=1。

所以Sn=n（n-5）12.

設(shè)bn=Sn1n=n-512，則{bn}是等差數(shù)列，故S′n=b1+b2+…+bn

=n2-9n14.

令bn=n-512≥0，解得n≥5.

所以b1，b2，b3，b4<0，b5=0，當(dāng)n≥6時(shí)，bn>0.

所以當(dāng)n≤5時(shí)，

Tn=|b1|+|b2|+…+|bn|

=-（b1+b2+…+bn）

=9n-n214.

當(dāng)n≥6時(shí)，

Tn=|b1|+|b2|+…+|b5|+…+|bn|

=-（b1+b2+…+b5）+b6+…+bn

=-S′5+（S′n-S′5）

=S′n-2S′5

=n2-9n+4014.

所以Tn=9n-n214（n≤5），

n2-9n+4014（n≥6）。

評述：對所學(xué)知識(shí)進(jìn)行及時(shí)的反饋，通過練習(xí)，幫助學(xué)生開發(fā)自己的思維。教師不需要對習(xí)題進(jìn)行講解，完全由學(xué)生自己直接解答，由師生共同討論完成解答步驟。

由此可以看出，實(shí)驗(yàn)教材不僅是教師的教案，還是學(xué)生的練習(xí)冊。在課堂上，既節(jié)省了教師的板書、提問，學(xué)生的抄筆記等活動(dòng)，在一定程度上減輕了學(xué)生的課業(yè)負(fù)擔(dān)，使課堂高速、高效。

二、實(shí)驗(yàn)總結(jié)

實(shí)驗(yàn)取得了相當(dāng)滿意的效果，這當(dāng)然取決于我校學(xué)生有良好的素質(zhì)和刻苦學(xué)習(xí)的精神，效果體現(xiàn)在以下兩方面.

1.減輕了教師的負(fù)擔(dān)

從學(xué)生方面來說，問題系統(tǒng)引導(dǎo)教學(xué)法的實(shí)驗(yàn)培養(yǎng)了學(xué)生自覺學(xué)習(xí)的習(xí)慣，學(xué)生只有在每節(jié)課之前做好預(yù)習(xí)，才能正確地完成教案本上的內(nèi)容，這就等于完成了課本中的一些容易的練習(xí)題了，這樣，學(xué)生就可以不必去做課本上的習(xí)題了。針對學(xué)習(xí)差的學(xué)生則需要加強(qiáng)對教材習(xí)題的訓(xùn)練。從教師方面來說，有了教案本，備課的工作量大大減少，作業(yè)批改量也很少，甚至是沒有，從而減輕了教師的負(fù)擔(dān)。

2.學(xué)生的學(xué)習(xí)能力大幅度提高

經(jīng)過這一年的實(shí)驗(yàn)教學(xué)法的實(shí)施，在每次的測試中，有的學(xué)生能得滿分，這在以前的教學(xué)中是沒有的，學(xué)生學(xué)習(xí)成績的提升，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，學(xué)生的學(xué)習(xí)能力也得到了提高。

總之，運(yùn)用問題系統(tǒng)引導(dǎo)教學(xué)法實(shí)驗(yàn)在實(shí)際的教學(xué)中取得了很好的教學(xué)效果，為此，在高三年級也應(yīng)該進(jìn)行此種方法教學(xué)，現(xiàn)在已經(jīng)相應(yīng)編好了高三教學(xué)用的數(shù)學(xué)專題講座。希望在以后的教學(xué)中，問題系統(tǒng)引導(dǎo)教學(xué)法實(shí)驗(yàn)更加完善。

參考文獻(xiàn)

王岳庭。數(shù)學(xué)教師的素質(zhì)與中學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的培養(yǎng)論文集。北京：海洋出版社。 1998年。

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莊亞棟。高中數(shù)學(xué)教與學(xué)。揚(yáng)州：中學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué)編輯部出版。1999年。