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    等比數(shù)列背景下的一類不定方程問題

    2017-03-16 08:41:47江蘇省海門中學(xué)226100張慶秋
    關(guān)鍵詞:項(xiàng)的易知奇數(shù)

    江蘇省海門中學(xué) (226100) 張慶秋

    等比數(shù)列背景下的一類不定方程問題

    江蘇省海門中學(xué) (226100) 張慶秋

    數(shù)列中的不定方程問題,是近年來高考的一個熱門問題,其類型及處理方法也是多種多樣,如利用整除性、奇數(shù)與偶數(shù)、整數(shù)與小數(shù)、范圍等等.本文就等比數(shù)列背景下的一類問題,談?wù)勂浠镜奶幚矸椒ǎ?/p>

    問題1 已知等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n,試問:數(shù)列{an}中是否存在不同的三項(xiàng)使其成等差數(shù)列?若存在,請求出該項(xiàng);若不存在,請說明理由.

    解:假設(shè)存在不同三項(xiàng)ar,as,at(其中r

    又r-s<0,t-s>0,且r-s∈Z,t-s∈Z,易知(*)式左邊是整數(shù),右邊不是整數(shù),故(*)式不成立,與假設(shè)矛盾.

    因此,數(shù)列{an}中不存在不同的三項(xiàng)使其成等差數(shù)列.

    又r-s<0,t-s>0,且r-s∈Z,t-s∈Z,易知(*)式左邊是整數(shù),右邊不是整數(shù),故(*)式不成立,與假設(shè)矛盾.

    因此,數(shù)列{an}中不存在不同的三項(xiàng)使其成等差數(shù)列.

    因此,數(shù)列{an}中不存在不同的三項(xiàng)使其成等差數(shù)列.

    注意到以上三個不定方程的處理,均利用了在其等式兩邊同時乘以或者除以與公比相關(guān)的一個數(shù),達(dá)到整數(shù)與小數(shù)不相等的效果(也可以通過適當(dāng)調(diào)整結(jié)合整數(shù)的整除性),從而產(chǎn)生矛盾.事實(shí)上,對于任意公比為有理數(shù)(不為±1)的等比數(shù)列,均不存在不同的三項(xiàng)使其成等差數(shù)列.

    又r-s<0,t-s>0,且r-s∈Z,t-s∈Z,易知(*)式左邊是整數(shù),右邊不是整數(shù),故(*)式不成立,與假設(shè)矛盾.

    因此,數(shù)列{an}中不存在不同的三項(xiàng)使其成等差數(shù)列.

    利用上述結(jié)論能夠很快解決一些以其為背景的問題,如:

    分析:數(shù)列{an}中的奇數(shù)項(xiàng)為奇數(shù),偶數(shù)項(xiàng)為偶數(shù),故最終形成的等差數(shù)列必為{an}中的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)交叉排列而成.

    由問題1及其變式1、2的結(jié)論可知,偶數(shù)項(xiàng)至多兩項(xiàng)(否則將這些偶數(shù)項(xiàng)取出,亦成等差數(shù)列,矛盾),從而奇數(shù)項(xiàng)至多三項(xiàng).

    因此數(shù)列{an}中最多能找到不同的五項(xiàng),按照某種順序排列使其成等差數(shù)列,如1,2,3,4,5.

    除了直接運(yùn)用上述結(jié)論之外,其蘊(yùn)含的處理方法在一些以等比數(shù)列為背景的不定方程問題中同樣有著廣泛的應(yīng)用,如:

    問題3 已知等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n,試問數(shù)列{an}中是否存在某一項(xiàng),它可以表示為該數(shù)列中其它r(r∈N,r≥2)項(xiàng)的和?若存在,請求出該項(xiàng);若不存在,請說明理由.

    解法1:假設(shè)存在as,使得as=at1+at2+…+atr(其中t1

    又s-t2>0,t1-t2<0,t2-t2=0,…,tr-t2>0,且s-t2,t1-t2,t2-t2,…,tr-t2∈Z,易知(*)式左邊是整數(shù),右邊不是整數(shù),故(*)式不成立,與假設(shè)矛盾.

    因此,數(shù)列{an}中不存在某一項(xiàng),它可以表示為該數(shù)列中其它r(r∈N,r≥2)項(xiàng)的和.

    解法2:假設(shè)存在as,使得as=at1+at2+…+atr,(其中t1

    因此,數(shù)列{an}中不存在某一項(xiàng),它可以表示為該數(shù)列中其它r(r∈N,r≥2)項(xiàng)的和.

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