等比數(shù)列背景下的一類不定方程問題

江蘇省海門中學(xué) (226100) 張慶秋

等比數(shù)列背景下的一類不定方程問題

江蘇省海門中學(xué) (226100) 張慶秋

數(shù)列中的不定方程問題，是近年來高考的一個熱門問題，其類型及處理方法也是多種多樣，如利用整除性、奇數(shù)與偶數(shù)、整數(shù)與小數(shù)、范圍等等．本文就等比數(shù)列背景下的一類問題，談?wù)勂浠镜奶幚矸椒ǎ?/p>

問題1 已知等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n，試問：數(shù)列{an}中是否存在不同的三項(xiàng)使其成等差數(shù)列？若存在，請求出該項(xiàng)；若不存在，請說明理由．

解：假設(shè)存在不同三項(xiàng)ar,as,at(其中r

又r-s<0,t-s>0，且r-s∈Z,t-s∈Z，易知(*)式左邊是整數(shù)，右邊不是整數(shù)，故(*)式不成立，與假設(shè)矛盾．

因此，數(shù)列{an}中不存在不同的三項(xiàng)使其成等差數(shù)列．

又r-s<0,t-s>0，且r-s∈Z,t-s∈Z，易知(*)式左邊是整數(shù)，右邊不是整數(shù)，故(*)式不成立，與假設(shè)矛盾．

因此，數(shù)列{an}中不存在不同的三項(xiàng)使其成等差數(shù)列．

因此，數(shù)列{an}中不存在不同的三項(xiàng)使其成等差數(shù)列．

注意到以上三個不定方程的處理，均利用了在其等式兩邊同時乘以或者除以與公比相關(guān)的一個數(shù)，達(dá)到整數(shù)與小數(shù)不相等的效果(也可以通過適當(dāng)調(diào)整結(jié)合整數(shù)的整除性)，從而產(chǎn)生矛盾．事實(shí)上，對于任意公比為有理數(shù)(不為±1)的等比數(shù)列，均不存在不同的三項(xiàng)使其成等差數(shù)列．

又r-s<0,t-s>0，且r-s∈Z,t-s∈Z，易知(*)式左邊是整數(shù)，右邊不是整數(shù)，故(*)式不成立，與假設(shè)矛盾．

因此，數(shù)列{an}中不存在不同的三項(xiàng)使其成等差數(shù)列．

利用上述結(jié)論能夠很快解決一些以其為背景的問題，如：

分析：數(shù)列{an}中的奇數(shù)項(xiàng)為奇數(shù)，偶數(shù)項(xiàng)為偶數(shù)，故最終形成的等差數(shù)列必為{an}中的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)交叉排列而成．

由問題1及其變式1、2的結(jié)論可知，偶數(shù)項(xiàng)至多兩項(xiàng)(否則將這些偶數(shù)項(xiàng)取出，亦成等差數(shù)列，矛盾)，從而奇數(shù)項(xiàng)至多三項(xiàng)．

因此數(shù)列{an}中最多能找到不同的五項(xiàng)，按照某種順序排列使其成等差數(shù)列，如1，2，3，4，5．

除了直接運(yùn)用上述結(jié)論之外，其蘊(yùn)含的處理方法在一些以等比數(shù)列為背景的不定方程問題中同樣有著廣泛的應(yīng)用，如：

問題3 已知等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n，試問數(shù)列{an}中是否存在某一項(xiàng)，它可以表示為該數(shù)列中其它r(r∈N,r≥2)項(xiàng)的和？若存在，請求出該項(xiàng)；若不存在，請說明理由．

解法1：假設(shè)存在as，使得as=at1+at2+…+atr(其中t1

又s-t2>0,t1-t2<0,t2-t2=0,…,tr-t2>0，且s-t2,t1-t2,t2-t2,…,tr-t2∈Z，易知(*)式左邊是整數(shù)，右邊不是整數(shù)，故(*)式不成立，與假設(shè)矛盾．

因此，數(shù)列{an}中不存在某一項(xiàng)，它可以表示為該數(shù)列中其它r(r∈N,r≥2)項(xiàng)的和．

解法2：假設(shè)存在as，使得as=at1+at2+…+atr，(其中t1

因此，數(shù)列{an}中不存在某一項(xiàng)，它可以表示為該數(shù)列中其它r(r∈N,r≥2)項(xiàng)的和．