利用“切線”處理函數(shù)中兩類不等式問題

江蘇省海門中學 (226100) 吳燕梅

利用“切線”處理函數(shù)中兩類不等式問題

江蘇省海門中學 (226100) 吳燕梅

在高三復習題中，涉及函數(shù)與導數(shù)的綜合問題常常會遇到不等式證明和不等式恒成立求參數(shù)范圍問題，解題常規(guī)方法集中在構造函數(shù)求最值或分離參數(shù)求范圍.但有的疑難問題需要一些技巧，如：虛設零點估算最值，或者分離參數(shù)后需要借用高等數(shù)學洛必達法則來求最值，而本文以幾道例題說明：基于函數(shù)凹凸性下嘗試構造“切線”來解兩類問題.

1.概念與性質(zhì)

1.1 函數(shù)的凹凸性定義

設f(x)為定義在區(qū)間I上的函數(shù)，若對于I上的任意實數(shù)x1,x2和實數(shù)λ∈(0,1)，總有f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)，則稱f(x)為下凸(凸)函數(shù).反之，如果總有f(λx1+(1-λ)x2)≥λf(x1)+(1-λ)f(x2)，則稱f(x)為上凸(凹)函數(shù).

1.2 定理

設f(x)為區(qū)間I上的二階可導函數(shù)，則在I上f(x)為凸(凹)函數(shù)的充要條件是f″(x)≥0(f″(x)≤0)，x∈I.

1.3 性質(zhì)1

若函數(shù)f(x)是凸函數(shù)，則經(jīng)過其圖像上一點(x0,f(x0))的切線滿足不等式f(x)≥f′(x0)(x-x0)+f(x0)，當且僅當x=x0時不等式取等.

性質(zhì)2 若函數(shù)f(x)是凹函數(shù)，則經(jīng)過其圖像上一點(x0,f(x0))的切線滿足不等式f(x)≤f′(x0)(x-x0)+f(x0)，當且僅當x=x0時不等式取等.(證明略.)

2.策略與方法

2.1 凹凸性下構造“切線”證明函數(shù)中不等關系

例1 已知f(x)=lnx,g(x)=ex，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，求證g(x)-f(x)>2.

證明：因為g′(x)=ex,g″(x)=ex>0，所以g(x)是凸函數(shù)，g(x)在x=0處切線為y=x+1，則由上述性質(zhì)1得ex≥x+1，當且僅當x=0時取等；同理可證f(x)是凹函數(shù)，在x=1處切線滿足不等關系lnx≤x-1，所以ex≥x+1>x-1≥lnx，又兩者取等條件不同，則ex-lnx>2，得證.

點評：上述方法是在兩個函數(shù)上各取一條切線構造不等關系，利用兩條切線之間的位置關系(高低)轉化得證.

例2 已知函數(shù)f(x)=ex-ln(x+m).

(1)設x=0是f(x)的極值點，求m，并討論f(x)的單調(diào)性；

(2)當m≤2時，證明f(x)>0.(2013年全國新課標Ⅱ理21題)

解：(1)略.

反思：若證形如不等式f(x)-g(x)>0，其中只有一個函數(shù)具有凹凸性，可嘗試上述方法：假如f(x)為凸函數(shù)，可先構造切線證得f(x)≥f′(x0)(x-x0)+f(x0)，再證f′(x0)(x-x0)+f(x0)≥g(x)成立，檢驗等號成立的條件.

2.2 基于凹凸性巧用“切線”解不等式恒成立求參數(shù)范圍問題

例4 已知函數(shù)f(x)=x(ex-1)-ax2，當x≥0時，f(x)≥0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

解法2：(直接研究函數(shù)最值)x≥0,f(x)≥0等價于x≥0時，ex-1-ax≥0恒成立.令h(x)=ex-1-ax，因為h′(x)=ex-a，(ⅰ)若a≤0時，h′(x)>0，即h(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增，故h(x)≥h(0)=0成立；(ⅱ)若a>0時，令h′(x)=0，則x=lna.①當lna≤0?00，故h(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增，h(x)≥h(0)=0成立；②當lna>0?a>1時，x∈(0,lna)時，h′(x)<0，而x∈(lna,+∞)時，h′(x)>0，所以h(x)min=h(lna)，但h(lna)

點評：函數(shù)的凹凸性為構造切線帶來可能，利用數(shù)形結合可以方便找到參數(shù)的臨界值進而確定取值范圍，也能打破對常規(guī)方法的思維定勢，觸碰新的解題靈感.

例5 設k∈Z，當x>1時，不等式k(x-1)

解法1：分離參數(shù)法(虛設零點求最值，估算k的范圍).

解法2：構造函數(shù)h(x)=xlnx+3x-2-k(x-1)，討論確定函數(shù)的最小值h(x)min>0，求k的范圍.

由此可見，借用構造“切線”為處理函數(shù)中不等式證明以及求解恒成立時參數(shù)范圍問題，提供了一種新的“視角”，當然這樣的函數(shù)需要考察其“凹凸性”，利用數(shù)形結合的思想來分析問題.函數(shù)與導數(shù)的綜合問題一直是高考的熱點，而不等式的相關問題也是全國卷的?？碱}型，對于“她”的動向研究是值得的也是有“意義”的事.