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    利用“切線”處理函數(shù)中兩類不等式問題

    2017-03-16 08:42:15江蘇省海門中學226100吳燕梅
    中學數(shù)學研究(江西) 2017年2期
    關鍵詞:凹凸切線實數(shù)

    江蘇省海門中學 (226100) 吳燕梅

    利用“切線”處理函數(shù)中兩類不等式問題

    江蘇省海門中學 (226100) 吳燕梅

    在高三復習題中,涉及函數(shù)與導數(shù)的綜合問題常常會遇到不等式證明和不等式恒成立求參數(shù)范圍問題,解題常規(guī)方法集中在構造函數(shù)求最值或分離參數(shù)求范圍.但有的疑難問題需要一些技巧,如:虛設零點估算最值,或者分離參數(shù)后需要借用高等數(shù)學洛必達法則來求最值,而本文以幾道例題說明:基于函數(shù)凹凸性下嘗試構造“切線”來解兩類問題.

    1.概念與性質(zhì)

    1.1 函數(shù)的凹凸性定義

    設f(x)為定義在區(qū)間I上的函數(shù),若對于I上的任意實數(shù)x1,x2和實數(shù)λ∈(0,1),總有f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2),則稱f(x)為下凸(凸)函數(shù).反之,如果總有f(λx1+(1-λ)x2)≥λf(x1)+(1-λ)f(x2),則稱f(x)為上凸(凹)函數(shù).

    1.2 定理

    設f(x)為區(qū)間I上的二階可導函數(shù),則在I上f(x)為凸(凹)函數(shù)的充要條件是f″(x)≥0(f″(x)≤0),x∈I.

    1.3 性質(zhì)1

    若函數(shù)f(x)是凸函數(shù),則經(jīng)過其圖像上一點(x0,f(x0))的切線滿足不等式f(x)≥f′(x0)(x-x0)+f(x0),當且僅當x=x0時不等式取等.

    性質(zhì)2 若函數(shù)f(x)是凹函數(shù),則經(jīng)過其圖像上一點(x0,f(x0))的切線滿足不等式f(x)≤f′(x0)(x-x0)+f(x0),當且僅當x=x0時不等式取等.(證明略.)

    2.策略與方法

    2.1 凹凸性下構造“切線”證明函數(shù)中不等關系

    例1 已知f(x)=lnx,g(x)=ex,其中e是自然對數(shù)的底數(shù),求證g(x)-f(x)>2.

    證明:因為g′(x)=ex,g″(x)=ex>0,所以g(x)是凸函數(shù),g(x)在x=0處切線為y=x+1,則由上述性質(zhì)1得ex≥x+1,當且僅當x=0時取等;同理可證f(x)是凹函數(shù),在x=1處切線滿足不等關系lnx≤x-1,所以ex≥x+1>x-1≥lnx,又兩者取等條件不同,則ex-lnx>2,得證.

    點評:上述方法是在兩個函數(shù)上各取一條切線構造不等關系,利用兩條切線之間的位置關系(高低)轉化得證.

    例2 已知函數(shù)f(x)=ex-ln(x+m).

    (1)設x=0是f(x)的極值點,求m,并討論f(x)的單調(diào)性;

    (2)當m≤2時,證明f(x)>0.(2013年全國新課標Ⅱ理21題)

    解:(1)略.

    反思:若證形如不等式f(x)-g(x)>0,其中只有一個函數(shù)具有凹凸性,可嘗試上述方法:假如f(x)為凸函數(shù),可先構造切線證得f(x)≥f′(x0)(x-x0)+f(x0),再證f′(x0)(x-x0)+f(x0)≥g(x)成立,檢驗等號成立的條件.

    2.2 基于凹凸性巧用“切線”解不等式恒成立求參數(shù)范圍問題

    例4 已知函數(shù)f(x)=x(ex-1)-ax2,當x≥0時,f(x)≥0恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

    解法2:(直接研究函數(shù)最值)x≥0,f(x)≥0等價于x≥0時,ex-1-ax≥0恒成立.令h(x)=ex-1-ax,因為h′(x)=ex-a,(ⅰ)若a≤0時,h′(x)>0,即h(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,故h(x)≥h(0)=0成立;(ⅱ)若a>0時,令h′(x)=0,則x=lna.①當lna≤0?00,故h(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,h(x)≥h(0)=0成立;②當lna>0?a>1時,x∈(0,lna)時,h′(x)<0,而x∈(lna,+∞)時,h′(x)>0,所以h(x)min=h(lna),但h(lna)

    點評:函數(shù)的凹凸性為構造切線帶來可能,利用數(shù)形結合可以方便找到參數(shù)的臨界值進而確定取值范圍,也能打破對常規(guī)方法的思維定勢,觸碰新的解題靈感.

    例5 設k∈Z,當x>1時,不等式k(x-1)

    解法1:分離參數(shù)法(虛設零點求最值,估算k的范圍).

    解法2:構造函數(shù)h(x)=xlnx+3x-2-k(x-1),討論確定函數(shù)的最小值h(x)min>0,求k的范圍.

    由此可見,借用構造“切線”為處理函數(shù)中不等式證明以及求解恒成立時參數(shù)范圍問題,提供了一種新的“視角”,當然這樣的函數(shù)需要考察其“凹凸性”,利用數(shù)形結合的思想來分析問題.函數(shù)與導數(shù)的綜合問題一直是高考的熱點,而不等式的相關問題也是全國卷的??碱}型,對于“她”的動向研究是值得的也是有“意義”的事.

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