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    巧用構(gòu)造法證明競賽中的不等式

    2017-03-16 08:42:19江西省新干中學(xué)331300曾自根
    關(guān)鍵詞:恒等式長方體江西省

    江西省新干中學(xué) (331300) 曾自根

    巧用構(gòu)造法證明競賽中的不等式

    江西省新干中學(xué) (331300) 曾自根

    不等式的證明方法很多,巧而且靈活,其中構(gòu)造法是不等式證明中的一種重要方法,即引入適當(dāng)?shù)暮愕仁?,結(jié)合函數(shù)、圖形、數(shù)列等輔助手段,將命題轉(zhuǎn)化,變成較為直觀和本質(zhì)的形式,進而使不等式獲證.本文擷取競賽題中的幾道不等式加以說明.

    一、構(gòu)造恒等式

    證明:由海倫公式,有

    故結(jié)論成立.

    評注:恒等式可以看作是最強的不等式,有時候,通過補充不等式中省去的那些項或因式,可以得到隱藏在其背后的恒等式,這樣往往可以找到證題的突破口,因為恒等式的結(jié)果是顯然的.

    二、構(gòu)造函數(shù)

    我們可以根據(jù)代數(shù)式的特征,構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù).如一次函數(shù),二次函數(shù)再利用函數(shù)性質(zhì)證明不等式.

    評注:通過換元,簡化了欲證不等式.利用函數(shù)的單調(diào)性,以及求函數(shù)最值的方法使不等式簡捷獲證.

    三、構(gòu)造圖形

    若問題中的數(shù)量關(guān)系有明顯的幾何意義或以某種方式可與幾何圖形建立關(guān)系,那么可以通過作圖構(gòu)造圖形,然后在圖形中尋找所證的結(jié)論.

    圖1

    證明:由條件,作一個長、寬、高分別為cosα、cosβ、cosγ的長方體ABCD-A1B1C1D1.如圖1所示,AB=cosα,BC=cosβ,BB1=cosγ.則此長方體對角線長恰為1.同時,易見∠ABD1=α,∠CBD1=β,∠B1BD1=γ.

    評注:有時可以觀察所證不等式結(jié)構(gòu)和特點,通過構(gòu)造適當(dāng)幾何圖形來輔助證明.

    四、構(gòu)造數(shù)列

    例4 設(shè)ai為正實數(shù)(i=1,2,…,n),令kbk=a1+a2+…+ak(k=1,2,…n),Cn=(a1-b1)2+(a2-b2)2+…+(an-bn)2,Dn=(a1-bn)2+(a2-bn)2+…+(an-bn)2,求證Cn≤Dn≤2Cn.

    又由于x1=2C1-D1=(a1-b1)2=0,故對一切n,xn≥0.

    ∴yn+1≥yn.

    又y1=b1-c1=0,故對一切n∈N+,yn≥0.

    綜上所述Cn≤Dn≤2Cn.

    評注:在遇到與自然數(shù)n有關(guān)的命題時,可以考慮構(gòu)造輔助數(shù)列,并利用數(shù)列的性質(zhì)證明與其相關(guān)的不等式.

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