品數(shù)學史韻味，促思維之花綻放

數(shù)學史不僅是數(shù)學知識產(chǎn)生、發(fā)展的歷史，更是數(shù)學思想與文化的傳承脈絡(luò)。格子乘法，這一古老而獨特的計算方法，承載著先輩們的智慧結(jié)晶。然而，現(xiàn)行教材中對其算理的隱藏與歷史背景的缺失，使得教學難以觸及數(shù)學文化的深層次價值。本文基于HPM（數(shù)學史與數(shù)學教育）視角，以人教版四年級上冊“格子乘法”為例，探討如何通過融入數(shù)學史促進學生對乘法算理的深度理解。

一、說文解字，埋下伏筆

師：同學們，這節(jié)課我們要學習的課題叫“鋪地錦”。（板書：鋪地錦）

師：請大家開動腦筋，想象一下，“鋪地錦”這個詞語可能蘊含著怎樣的意義呢？

生1：鋪地毯。

生2：鋪瓷磚。

師：學完這節(jié)課答案自然揭曉。

設(shè)計意圖：開門見山，以我國明朝數(shù)學家程大位的“鋪地錦”導入新課，激發(fā)學生好奇心的同時，為后面的古今對話埋下伏筆，做好鋪墊。

二、提出問題，嘗試探究

1.嘗試計算，解決問題

出示問題：“士兵12隊，每隊14人，共有幾人？”理解題目要求：要知道總共有多少人，其實就是求12個14相加是多少。列出橫式： 14×12= 請用自己喜歡的方法計算 14×12 的積。展示算法：同學板演計算過程。

豎式計算： 口算：14×12 14×2=28 28 14×10^-140 28+140=168

討論：豎式計算和口算有哪些相同點和不同點？我們可以通過連線的方式，來直觀地展現(xiàn)它們之間的聯(lián)系和區(qū)別。

相同點：都是先算14乘2，再算14乘10，最后把兩個積相加；計算過程中都用到“二四得八、一二得二、一四得四、一一得一”這四句乘法口訣。

不同點：計算過程的書寫形式不同。

設(shè)疑小結(jié)，引出問題。

看來條條大路通羅馬。剛才我們用不同的方法計算出 14×12 的正確結(jié)果，那除了口算和豎式計算外還有別的方法嗎？

生：格子乘法。

師：格子乘法是怎么計算的呢？是如何演變來的呢？

師：接下來我們就一起去探索吧！

設(shè)計意圖：激活已有的知識經(jīng)驗，找準知識的生長點，為后面的格子乘法的重構(gòu)做好鋪墊。

三、跨越時空，解密格子乘法

同學們還記得遠古時代的計數(shù)方法嗎？

生：石子計數(shù)，結(jié)繩計數(shù)，刻痕計數(shù)。

師：是的，這些都是古代最常用的計數(shù)方法，是人類智慧的創(chuàng)造，在人類文明的長河中熠熠生輝。盡管現(xiàn)代計數(shù)方法已經(jīng)高度發(fā)達，但這些古老的計數(shù)方法依然在我們的日常生活中發(fā)揮著重要作用，比如幼兒園和一年級的小朋友們，他們常常用小豆子、玉米粒、小石子等實物學習計數(shù)。古希臘的大數(shù)學家畢達哥拉斯和他的弟子們就喜歡用小石子來研究數(shù)學問題，創(chuàng)造了累累碩果。今天我們就一起穿越到古代，借助小石子來探尋乘法的計算方法。

（一）重構(gòu)第一步：借助石子圖，抽象格子圖

1.想一想，擺一擺。

師：如果用擺小石子的方法表示乘法算式 14×12 該怎樣擺呢？

生：一排擺14個，擺12排。（如圖1）

2.圈一圈，算一算。

師：請同學們把剛才計算 14×12 過程在石子圖上圈出來。

交流探究成果。

生1：先圈出10個14，也就是14乘10，再圈出2個14，也就是14乘2。

生2：10個14還可以圈成10個10和10個4；2個 14可以圈成2個10和2個4。（如圖2）

3.抽象出格子圖。

師：如果去掉小石子，只剩格子圖，你還知道每個格子里裝的是幾個小石子嗎？（如圖3）

（二）重構(gòu)第二步：引入位置制，簡化格子圖

師：把圖4中每個數(shù)中的 0 去掉行不行？你是怎么想的？

四人小組討論后匯報交流：可以，但要把每一格的數(shù)位寫上去。

師：每一個格子代表哪個數(shù)位？

學生指著圖交流：左上角的格子表示百位；右上角和左下角的格子都表示十位；右下角的格子表示個位。（如圖4）

師：圖中每個格子大小不一，看起來不那么整齊，可否統(tǒng)一換成大小一樣的正方形格子呢？為什么？

生：可以，因為有了數(shù)位，不管格子大還是小，它表示的數(shù)不變。

師：你能從格子圖中讀出得數(shù)嗎？

生：能，168。（如圖5）

（三）重構(gòu)第三步：創(chuàng)造進位格，完善格子圖嘗試完成練習，引發(fā)認知沖突。（如圖6、圖7）

16×12=

師：請試著利用格子圖計算出上面算式的得數(shù)。

師：在計算過程中你遇到什么問題？

生：在計算 6×2=12 ， 4×6=24 ， 3×4=12 時出現(xiàn)了進位數(shù)，但進位數(shù)沒有地方寫。

同桌交流：進位數(shù)沒有地方寫，怎么辦？

生1：我把進位數(shù)小小地寫在前一位。

生2：我用手指記著進位數(shù)。

生3：我把小正方形分成上下兩部分，進位數(shù)寫在上面。

生4：我把小正方形分成左右兩部分，進位數(shù)寫在左面。

在學生多重表達的基礎(chǔ)上，一步一步從自然、直觀的“不標準”的格子乘法演變成為“標準”的簡潔的格子乘法。（圖8、圖9）

（四）重構(gòu)第四步：總結(jié)歸納格子乘法的計算方法

1.畫格子：兩位數(shù)乘兩位數(shù)就畫兩行兩列，連接每個格子右上到左下的對角線。

2.寫乘數(shù)：順時針排列乘數(shù)，即把乘數(shù)對應(yīng)寫在格子的上方和右側(cè)。

3.計算：把上方的乘數(shù)和右側(cè)的乘數(shù)兩兩相乘并把積寫在對應(yīng)的位置，進位就寫在左上角，若沒有進位就在左上角寫0，最后把每個斜排中的數(shù)相加寫在對應(yīng)的位置，滿十向前一位進1。

4.讀積：逆時針讀數(shù)為積，最高位不能為 0

四、中外對話，見方法之美

這種算法相傳在1150年印度數(shù)學家婆什迦羅的《麗羅娃提》一書中就有記錄，12世紀以后廣泛流傳于阿拉伯地區(qū)，后來通過阿拉伯人傳入歐洲。15世紀中葉，意大利數(shù)學家帕喬利在《算術(shù)、幾何及比例性質(zhì)摘要》一書中介紹了這種算法并把它叫作格子乘法。無獨有偶，我國明朝數(shù)學家程大位在《算法統(tǒng)宗》一書中也記錄了這種算法并把它稱為“鋪地錦”。

師：同學們知道為什么程大位要將它取名為“鋪地錦”嗎？

生：因為計算過程寫出來后的樣子就像是一塊漂亮的地錦。

師：你現(xiàn)在知道數(shù)學中的鋪地錦是什么了嗎？

生：原來它是一種計算乘法的方法。（如圖10）

設(shè)計意圖：附加式介紹格子乘法的簡單歷史資料，讓學生體會知識之諧與方法之美。

五、古今對比，促知識之諧

四人小組討論：豎式乘法和格子乘法的相同點和不同點，交流并匯報。

相同點：

生1：它們都能簡潔、工整、清晰地記錄乘法計算的過程和結(jié)果。

生2：它們的計算過程都是先分后合。

生3：它們都是相同數(shù)位上的數(shù)才可以直接相加。

不同點：

生1：豎式乘法不需要畫格子，但數(shù)位要對齊，一般要從低位算起。

生2：格子乘法要畫格子，可以從任意一位算起。

設(shè)計意圖：沒有比較就沒有思維。對古今兩種算法進行對比，體會二者的不同點和相同點，建立不同計算方法之間的內(nèi)在聯(lián)系，一方面促進了學生對這些方法的進一步理解和掌握，另一方面也能夠逐步提高學生的數(shù)學思維能力。

六、追問總結(jié)，生德育之效

通過這節(jié)課的學習，你有什么收獲？你還有什么疑問？

生1：我知道了原來鋪地錦就是格子乘法。生2：今天我們用擺石子的方法發(fā)現(xiàn)了格子乘法。生3：我想知道到底是誰最先發(fā)現(xiàn)格子乘法？

師：隨著時間的流逝，很多數(shù)學方法的創(chuàng)造過程淹沒在了歷史的長河之中。格子乘法是誰發(fā)明的，發(fā)明的過程是怎樣的，具體在什么時間發(fā)明的都已經(jīng)無從知曉了，非常遺憾。不過遺憾也是一種美，因為這樣的遺憾，給了我們想象的空間。今天，我們借助石子圖，重新構(gòu)建了格子乘法的發(fā)明過程，體驗了一次像數(shù)學家一樣探索數(shù)學知識的美妙旅程。

數(shù)學在其發(fā)展中走過漫長而曲折的道路，它不斷地修正自己的進程、避開彎路、繞過死胡同，再重新明確前進的方向。弗賴登塔爾認為：“學習數(shù)學的唯一正確方法是實行再創(chuàng)造，也就是由學生本人把要學的東西自己去發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造出來，教師的任務(wù)是引導和幫助學生去進行這種再創(chuàng)造的工作，而不是把現(xiàn)成的知識灌輸給學生?！北菊n的設(shè)計核心在于，讓學生通過親身體驗，感悟古人創(chuàng)造數(shù)學知識的過程，理解通過個人創(chuàng)造獲得的知識，方能真正掌握并靈活應(yīng)用。學習猶如游泳，唯有在水中方能學會游泳，同理，數(shù)學學習也需在實踐中進行，即在創(chuàng)造數(shù)學的過程中學習數(shù)學。