整合教學內容，促進思維進階

【中圖分類號】G633.6 【文獻標志碼】A 【文章編號】1005-6009（2025）23-0059-04

【作者簡介】，黨支部書記兼校長，高級教師，江蘇省數學特級教師。

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”明確提出：“通過合適的主題整合教學內容，幫助學生學會用整體的、聯系的、發(fā)展的眼光看問題，形成科學的思維習慣，發(fā)展核心素養(yǎng)。\"因此，教師需要從整體上把握教材，理解教材內容的前后聯系，將有關內容進行有機串聯，有針對性地系統(tǒng)設計教學活動，強化對數學本質的理解，引導學生從數學概念、原理及性質之間的聯系出發(fā)，建立起有意義的知識結構。

蘇科版初中數學新教材將原屬于“圖形的變化”主題的內容進行了優(yōu)化、重整，集中安排在七年級下冊的第9章《圖形的變換》。這種安排有助于學生理解三種變換（剛體運動）的共性與特征，整體感悟圖形變換的思想方法。下面，筆者結合新課標的具體要求，對蘇科版初中數學教材七年級下冊“平移”一節(jié)進行內容分析與提出教學建議。

一、“圖形的平移”內容分析

1.“平移”的本質分析

圖形的平移的實質就是把一個圖形上的每一個點沿著一定方向平行移動相同的距離。圖形的平移包含兩個要素：平移方向和平移距離。圖形平移的性質有：（1）圖形的形狀與大小不變（全等）；（2）對應線段平行（或在同一直線上）且相等；（3）對應點的連線段平行（或在同一直線上）且相等；（4）圖形頂點字母排列順序的方向不變。

2.“平移”的新課標要求

新課標從內容要求、學業(yè)要求、教學提示三個方面對平移給出了具體要求。

內容要求：通過具體實例認識平移，探索它的基本性質，一個圖形和它經過平移所得的圖形中，兩組對應點的連線平行（或在同一條直線上）且相等；認識并欣賞平移在自然界和現實生活中的應用；運用圖形的平移進行圖案設計。

學業(yè)要求：理解平移這樣的圖形運動，知道平移的基本特征，會用圖形的運動認識、理解、表達現實世界；發(fā)展幾何直觀和空間觀念。

教學提示：可通過信息技術的演示或實物的操作，讓學生感悟平移變化的基本特征，知道對變化的感知需要參照物，可借助參照物述說圖形變化的基本特征;知道平移有一個基本性質，即圖形中任意兩點間的距離保持不變，夾角也保持不變。

3.“平移”教學內容的安排

平移、軸對稱和旋轉是初中幾何的難點，蘇科版舊教材中將這些內容分散在七、八兩個年級學習：“平移”的內容安排在七下第7章《平面圖形的認識（二）》的第3節(jié)，“軸對稱”的內容安排在八上全等三角形后，“旋轉\"的內容安排在八下《中心對稱圖形—平行四邊形》的第1節(jié)。這樣的安排內容分散，時間跨度長，缺乏整體性和系統(tǒng)性，學生在學習時無法感悟知識間的結構性、關聯性，所掌握的知識是零散的，無法有效構建完整的知識體系，不利于學生從運動變化的觀點研究圖形，更不能為后續(xù)運用圖形變換的思想研究幾何圖形提供關聯的路徑。

在新教材中，“平移”是第9章《圖形的變換》的第一節(jié)課，也是章起始課，共2課時。第1課時先基于生活中的一些\"平行移動\"現象描述平移的運動特征，再由平移三角板畫平行線的經驗得出平移的幾何特征，引出平移的定義，再由定義得到平移作為剛體運動的剛體屬性，同時強調對應線段、對應角的相等關系。第2課時討論平移特有的基本性質，即對應點的方向和距離保持不變。利用平移的基本性質一方面可以判斷方格紙背景下的兩個圖形是否可以看作平移變換的結果，也可以利用尺規(guī)作圖完成簡單的平移過程。

二、“圖形的平移”教學建議

數學知識具有高度的系統(tǒng)化和結構化特征?！捌揭芢"章起始課教學應該體現整體建構，培養(yǎng)學生的系統(tǒng)思維，讓學生理解從哪些方面對平移進行研究，從而初步感知本章學習的內容，且能通過章起始課教學，把將要學習的內容納入知識體系中思考，以便對平移有良好認知，明確它的去向（應用）。

1.從關注“畫\"的動作到強調平移的運動特征

七年級學生對于用三角板畫平行線比較熟悉，但以前關注的是“畫”的動作，并不強調平移是有方向和距離的。那如何讓學生在直觀經驗的基礎上形成平移的概念？在學生畫平行線時，教師可以提問：若把這個直尺拿走，在平面上“移動”一塊三角板，一定能保證這樣的移動是“平移\"嗎？從而讓學生明白，直尺起的作用不僅是畫線，更重要的是確定三角板移動的\"方向”，即這條直線的方向。教材中把畫平行線這個活動作為一個中間的過程，就是為了讓學生經歷從現實到數學的圖形之間的一個過程。

2.在平移概念的建構過程中突出基本概念與基本技能

平移概念教學的關鍵是讓學生會從數學的角度去研究圖形變換。在概念形成上，新教材的定義和舊版本是不同的。新教材中平移概念的引出是依據圖形的變換本身來進行的，因此這里的平移是指兩個圖形之間的一種變換關系。另外，平移概念的難點主要在于“平行移動”時它是既有方向的，也有距離的。因此，在畫平行線的過程中，教師要重點讓學生關注三角板的運動特征：哪些位置（或數量）數量關系發(fā)生了變化？哪些沒有發(fā)生變化？為此，教師可以畫出三角板“平行移動\"前后的兩個不同位置，并找出各種對應關系，如 ΔABC 和 ΔA^′B^′C^′ 對應，點A與點 A^′ 對應，線段 AB 與線段 A^′B^′ 對應， ∠ABC 和 ∠A^′B^′C^′ 對應等。

3.在平移概念的鞏固中訓練學生規(guī)范表達數學語言

為了加強平移、軸對稱、旋轉三者之間的聯系，新教材設計了一些統(tǒng)一的背景，使學生初步嘗試同一個問題的不同處理方式，感悟不同變換之間的聯系。例如，在得出平移的定義后，教材選用了以下一個圖形（如圖1）：哪些三角形可以由△ABC平移得到？寫出平移后的對應點、對應邊和對應角。

對圖1的研究貫穿后續(xù)軸對稱、旋轉的教學。教材用這樣一個一以貫之的圖，一方面是讓學生感悟同一個對象用不同的視角來觀察會得到不同的結果；另一方面，則讓學生體會三種變換之間的內在聯系。

怎么去描述這個平移的幾種路徑？不僅要讓學生知道平移，而且要把它講明白、寫清楚，會用合適的數學語言去表達。這就要求學生先要給圖形標識字母，并且能夠表示出平移的方向和距離，快速找出與 ΔABC 對應的三角形，以及與點 A，B，C 對應的點和對應邊、對應角，并關注字母符號的推理價值：如圖2， ΔABC 與ΔEAD 對應，即可推出點 A 與 E 對應， AC 與 ED 是對應線段，逐步養(yǎng)成按照對應點標記對應三角形的好習慣。當然，后續(xù)還可以就四邊形等的組合圖形進行類似研究。

（圖1）

（圖2）

教材設計這樣一個活動的目的就是讓學生知道在初中幾何研究圖形的時候，首先要會進行標記，其次要講明白、寫清楚，學會用準確的數學語言去表達圖形，而不只是停留在小學階段的觀察。

4.在例習題中探求平移的基本性質

教材例題延續(xù)小學階段用的方格紙，研究基本的圖形之間的變換規(guī)律。其主要目的是讓學生作圖比較方便，同時也有助于學生發(fā)現平移的基本性質。這里借助方格紙?zhí)骄科揭频男再|，不能仍停留在小學階段對簡單平移現象的欣賞和簡單圖形的平移作圖，而是要基于對基本幾何圖形的平移的分析、歸納，得到平移的基本性質，同時讓學生明白：圖形的變換就是對圖形的整體進行操作，對應圖形之間的關系（位置和數量）都由某些點完全確定。

如圖3，要畫出 ΔABC 平移后的 ΔA^′B^′C^′ 關鍵是找到三個頂點的對應點，找對應點的依據便是平移的定義。圖中的線段 AA^′ 已經指明了平移的方向和距離，借助方格紙，可讓學生用不同方法找到分別以 B，C 為端點的，平行且等于 AA^′ 的線段，即可確定對應點 B^′，C^′ 。

（圖3）

在此基礎上，教師可以讓學生繼續(xù)思考：

問題1在圖3中，對應點的平移方向是否都與 AA^′ 相同？如何用符號語言表示相同的平移方向？平移的距離與 AA^′ 的長度一樣嗎？如何用符號語言表達？

問題1的關鍵是讓學生通過觀察，運用直尺、三角板等工具進行驗證。操作是發(fā)展學生空間觀念的重要手段。同時，把平移的方向用數學語言（符號）轉化為平行線段，平移的距離用數學語言（符號）轉化為平行線段的長度，為后面尺規(guī)作平移圖形做準備。隨后再進行交流、總結，得出平移變換的特征，即平移的基本性質。

問題2隱藏圖3中的方格紙，平移線段AB，使點 A 移到點 A^′ 的位置，畫出平移后的線段。

沒有了方格紙搭設的“腳手架”，原先觀察后直接找的方法不能用了。問題2的關鍵是會運用平移的性質畫出符合題設條件的圖形，這是平移變換基本性質的應用，其難點是如何運用基本性質確定點 B^′ 的位置。同時，這里畫一條線段平移后的對應線段，是后續(xù)畫平移圖形的基本步驟

問題3設點 D 為線段 AB 的中點，線段AB平移到 A^′B^′ 后，點 D 的對應點是哪一個點？

問題3旨在強化學生對圖形變換是剛體變換的理解，特別是“對應點”的理解：圖形上的每一個點都可以在對應圖形上找到唯一的對應點。當然也可以找其他一些特殊的等分點。

新教材在例習題設置上是有梯度的，目的是讓學生在難度不斷提升的活動中鞏固對平移概念的理解，再應用平移概念及基本性質去畫圖。在根據性質畫圖的時候需要學生標出平移的方向和距離，學會從圖形運動角度去認識、理解、表達現實世界，會從數學的角度觀察生活中的圖形，感悟數學的應用價值，發(fā)展幾何直觀和空間觀念。

5.在教學小結中指明研究幾何變換的一般路徑和方法

平移是學生在初中遇到的第一個幾何變換，新教材把它分為兩個課時內容，目的是告訴學生研究幾何變換的一般路徑和方法，也是為后續(xù)兩個變換“打樣”。因此，小結時要引導學生回顧、總結整個研究思路：

現實或生活情境中抽象出幾何對象（如圖形運動和變換）一根據幾何研究對象的特征歸納出相關概念（如平移定義）一由定義出發(fā)進行實踐操作、探究發(fā)現其基本性質一應用定義和性質解決相關問題，這是學習圖形變換或幾何研究的一般方法和路徑。同時知道平移的兩類性質：一是剛體運動的共性（由定義得到），二是平移的特性（基本性質）。

蘇科版新教材集中學習平移、軸對稱、旋轉，主要是幫助學生更好地理解平移、軸對稱和旋轉的共性與特性，也為后續(xù)的幾何學習提供更多從變換視角觀察、思考和表達圖形及其性質的機會，使學生逐步理解變換的思想方法。同時，平移、軸對稱和旋轉的內容結構與教學要求基本類似，學生在學習了平移的內容后，可以借助類比和遷移順利進行后續(xù)內容的學習?？傊?，通過本章的學習，讓學生整體感悟圖形變換的思想方法，關注知識間的內在邏輯，通過類比尋找關聯，實現知識結構的遷移。

【參考文獻】

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022.

助理編輯：王一民