直擊認(rèn)知堵點(diǎn) 建構(gòu)運(yùn)算一致

[中圖分類(lèi)號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2025）20-0063-04

“三位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算\"是在學(xué)生掌握兩、三位數(shù)乘一位數(shù)算法和理解兩位數(shù)乘兩位數(shù)算理的基礎(chǔ)上展開(kāi)教學(xué)的，屬于整數(shù)乘法學(xué)習(xí)的最后階段。日常教學(xué)中，教師通常先引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立列豎式計(jì)算 128×16 的積，再針對(duì)課堂生成的錯(cuò)誤資源進(jìn)行評(píng)析，最后進(jìn)行變式練習(xí)。此類(lèi)教學(xué)僅聚焦于算法遷移與運(yùn)算技能的提升，忽視了知識(shí)間的內(nèi)在邏輯關(guān)聯(lián)。因此，本節(jié)課的教學(xué)需精準(zhǔn)把握學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)，重視對(duì)整數(shù)乘法算理與算法的梳理；以具體教學(xué)內(nèi)容為載體，引導(dǎo)學(xué)生探索并掌握多位數(shù)乘法的算理和算法，從整體上理解和掌握整數(shù)乘法，進(jìn)而建構(gòu)運(yùn)算一致性。

一、精準(zhǔn)分析學(xué)情，明確認(rèn)知起點(diǎn)

蘇教版教材將整數(shù)乘法的內(nèi)容劃分為四個(gè)層次，整體編排呈現(xiàn)層層遞進(jìn)、螺旋上升的特點(diǎn)（如圖1），這意味著學(xué)生是在具備筆算乘法的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)“三位數(shù)乘兩位數(shù)筆算”一課。然而在日常教學(xué)中，教師多依賴(lài)經(jīng)驗(yàn)和推測(cè)開(kāi)展教學(xué)，難以精準(zhǔn)把握學(xué)生的現(xiàn)有發(fā)展水平。

“最近發(fā)展區(qū)”是學(xué)生現(xiàn)有發(fā)展水平與可能發(fā)展水平之間的差距。了解學(xué)生的真實(shí)狀態(tài)，精準(zhǔn)分析學(xué)情，能為課堂教學(xué)的設(shè)計(jì)與實(shí)施提供依據(jù)與保障。

（一）精心設(shè)計(jì)前測(cè)單

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《課程標(biāo)準(zhǔn)》）指出：“數(shù)的運(yùn)算的重點(diǎn)在于理解算理、掌握算法體會(huì)數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)上的一致性。\"“在解決問(wèn)題的過(guò)程中，能結(jié)合具體情境選擇合適的單位進(jìn)行簡(jiǎn)單估算。\"基于此，筆者將學(xué)生的估算意識(shí)、計(jì)算方法的遷移水平，以及解釋算理的能力作為前測(cè)的考查內(nèi)容。具體前測(cè)內(nèi)容見(jiàn)表1。

（二）精準(zhǔn)分析前測(cè)結(jié)果

前測(cè)對(duì)象為筆者所在學(xué)校三年級(jí)兩個(gè)班的學(xué)生（已學(xué)過(guò)“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”），共86人。這兩個(gè)班的學(xué)生成績(jī)處于中等水平，能夠代表學(xué)校的整體情況。具體前測(cè)結(jié)果：首先， 93% 的學(xué)生會(huì)估算，但估算方法并非最優(yōu)（如只對(duì)其中一個(gè)因數(shù)進(jìn)行估值）；少部分學(xué)生未理解估算意義，先精確計(jì)算，再“四舍五人\"得出結(jié)果。其次， 95.3% 的學(xué)生能運(yùn)用筆算方法計(jì)算 324×26 （筆算正確率為 70.9% ，說(shuō)明大部分學(xué)生會(huì)將已學(xué)的筆算方法遷移到“三位數(shù)乘兩位數(shù)”的計(jì)算中； 7% 的學(xué)生將324寫(xiě)成 300+24 ，分別計(jì)算兩位數(shù)乘兩位數(shù)與兩位數(shù)乘整百數(shù)的積后再相加，說(shuō)明他們能通過(guò)計(jì)數(shù)單位的\"分\"與“合”將三位數(shù)乘兩位數(shù)轉(zhuǎn)化為兩位數(shù)乘法的組合計(jì)算，但簡(jiǎn)算意識(shí)不足；學(xué)生出錯(cuò)的原因集中于進(jìn)位錯(cuò)誤、對(duì)計(jì)算步驟不熟練。再次， 33.7% 的學(xué)生能結(jié)合筆算過(guò)程寫(xiě)出每一步的含義，說(shuō)明這部分學(xué)生理解算理； 10.5% 的學(xué)生先將26拆分為20和6（或?qū)?24拆分為300和24）后分別計(jì)算，再將結(jié)果合并；約30% 的學(xué)生雖能正確筆算，但無(wú)法解釋算理，僅機(jī)械執(zhí)行計(jì)算程序。最后，學(xué)生的提問(wèn)主要圍繞乘法的計(jì)算方法展開(kāi)，說(shuō)明他們對(duì)乘法計(jì)算的方法形成了結(jié)構(gòu)化思考。

綜合上述分析可知，多數(shù)學(xué)生已掌握整數(shù)乘法的估算方法，能實(shí)現(xiàn)算法遷移，正確書(shū)寫(xiě)三位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算過(guò)程，但只有少數(shù)學(xué)生對(duì)算理有清晰認(rèn)知。結(jié)合《課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)四年級(jí)學(xué)段的明確要求，可厘清學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中存在的三個(gè)關(guān)鍵堵點(diǎn)：第一，學(xué)生對(duì)估算的意義理解不足，對(duì)三位數(shù)乘兩位數(shù)筆算的步驟掌握不牢固；第二，多數(shù)學(xué)生難以從計(jì)數(shù)單位的角度解釋運(yùn)算過(guò)程，理解算理存在斷層；第三，學(xué)生雖能對(duì)整數(shù)乘法的計(jì)算方法進(jìn)行結(jié)構(gòu)化歸納，但尚未建構(gòu)完整的整數(shù)乘法知識(shí)體系，無(wú)法體會(huì)運(yùn)算一致性。

二、疏通認(rèn)知堵點(diǎn)，確定學(xué)習(xí)目標(biāo)

估算是培養(yǎng)學(xué)生猜測(cè)、推理、判斷能力，提升學(xué)生綜合與概括素養(yǎng)的重要載體。理解算理、將未知轉(zhuǎn)化為已知、建立整數(shù)乘法間的關(guān)聯(lián)，則是運(yùn)算一致性的核心體現(xiàn)。若無(wú)法有效疏通這些認(rèn)知堵點(diǎn)，學(xué)生便難以理解知識(shí)的本質(zhì)關(guān)聯(lián)，他們?cè)诰C合素養(yǎng)的發(fā)展也將受限

（一）對(duì)比教材內(nèi)容

筆者就“三位數(shù)乘兩位數(shù)\"的內(nèi)容對(duì)蘇教版、人教版、北師大版、青島版四個(gè)版本的教材進(jìn)行對(duì)比分析，嘗試尋找理想的疏通認(rèn)知堵點(diǎn)的方法。具體內(nèi)容見(jiàn)表2。

對(duì)比四個(gè)版本教材可知，共同特征如下：均通過(guò)具體情境創(chuàng)設(shè)，引導(dǎo)學(xué)生遷移已有經(jīng)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)從未知到已知的轉(zhuǎn)化；注重算法總結(jié)與算理滲透，在解決問(wèn)題的過(guò)程中發(fā)展學(xué)生的數(shù)感與運(yùn)算能力。具體差異如下：在北師大版教材側(cè)重結(jié)合情境開(kāi)展估算教學(xué)，并通過(guò)不同算法的對(duì)比，借助圖表直觀(guān)展示數(shù)的“分\"與“合”，將三位數(shù)乘兩位數(shù)與兩、三位數(shù)乘一位數(shù)及兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計(jì)算邏輯有機(jī)串聯(lián)起來(lái)；青島版教材則通過(guò)辨析明確估算方法。

由此，筆者提煉出疏通認(rèn)知堵點(diǎn)的理想路徑：創(chuàng)設(shè)真實(shí)情境，在情境中深化學(xué)生對(duì)估算意義的理解；知識(shí)正遷移，引導(dǎo)學(xué)生系統(tǒng)總結(jié)整數(shù)乘法的計(jì)算方法；對(duì)比不同算法，引導(dǎo)學(xué)生充分探討并理解算理本質(zhì)；借助小棒、圖表等直觀(guān)工具引導(dǎo)學(xué)生感悟乘法本質(zhì)，將計(jì)算方法拓展至“多位數(shù)乘多位數(shù)”的一般化場(chǎng)景；注重豎式書(shū)寫(xiě)規(guī)范的指導(dǎo)，確保運(yùn)算形式的統(tǒng)一性與規(guī)范性。

（二）梳理關(guān)鍵問(wèn)題

縱觀(guān)蘇教版教材中關(guān)于整數(shù)乘法的編排，無(wú)論是兩、三位數(shù)乘一位數(shù)，還是兩位數(shù)乘兩位數(shù)，教材均通過(guò)問(wèn)題情境培養(yǎng)學(xué)生的估算意識(shí)，借助豎式促使學(xué)生掌握算法，利用小棒幫助學(xué)生理解算理。但蘇教版教材未過(guò)多體現(xiàn)估算與算理，這是否意味著估算與算理不重要？這引發(fā)筆者對(duì)教材編排意圖的深入思考：學(xué)生在前期的學(xué)習(xí)中積累了一定的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，本節(jié)課應(yīng)以知識(shí)正遷移為抓手，通過(guò)遷移實(shí)現(xiàn)知識(shí)的前后聯(lián)系。

因此，筆者提煉出本節(jié)課的四個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題：如何快速判斷月星小區(qū)的住戶(hù)數(shù)量？怎樣計(jì)算三位數(shù)乘兩位數(shù)？如何理解教材中相關(guān)圖表的數(shù)學(xué)含義？為何之后的課程不再繼續(xù)學(xué)習(xí)多位數(shù)乘多位數(shù)？

（三）確定學(xué)習(xí)目標(biāo)

學(xué)習(xí)目標(biāo)是保障學(xué)習(xí)質(zhì)量的前提。結(jié)合教材特點(diǎn)與學(xué)生認(rèn)知需求，本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)確定為：

目標(biāo)1.基于具體情境體會(huì)估算的意義；經(jīng)歷遷移學(xué)習(xí)多位數(shù)乘法經(jīng)驗(yàn)的過(guò)程，探索并掌握三位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算方法，能正確計(jì)算結(jié)果，形成運(yùn)算能力。

目標(biāo)2.結(jié)合豎式說(shuō)明每一步運(yùn)算的含義，理解算理；通過(guò)對(duì)比分析明確整數(shù)乘法的聯(lián)系，理解計(jì)數(shù)單位在乘法運(yùn)算中的作用，體會(huì)運(yùn)算的一致性。

目標(biāo)3.通過(guò)變式習(xí)題發(fā)展推理意識(shí)，感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，提升學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣與自信心。

三、立足運(yùn)算一致性，探索教學(xué)路徑

（一）領(lǐng)悟估算意義

1.情境創(chuàng)設(shè)

師：月星小區(qū)有16幢樓，平均每幢樓住28戶(hù)。中秋節(jié)要到了，小區(qū)物業(yè)計(jì)劃為每戶(hù)業(yè)主準(zhǔn)備1份中秋禮盒，準(zhǔn)備600份夠嗎？

生1：夠。把16看成20，把28看成30，大約有20×30=600 （戶(hù)）。

生2：夠。把16看成20，大約有 20×28=560 （戶(hù)）。

師：兩位同學(xué)都不約而同地選擇了估算。估算能快速確定結(jié)果的大致范圍，比筆算更便捷。

2.復(fù)習(xí)舊知

師：要精確算出一共有多少戶(hù)，需要

生3：筆算。

師：請(qǐng)大家嘗試筆算。

師：第一步算得的“128”表示什么？第二步算得的“32”表示什么？

生4：如果每幢有8戶(hù)，16幢就有128戶(hù)。

生5：“32”其實(shí)是320，表示32個(gè)十。

估算是基于對(duì)數(shù)據(jù)的整體感知，通過(guò)推理對(duì)運(yùn)算結(jié)果進(jìn)行合理預(yù)判。日常生活中，人們常用估算解決一些常見(jiàn)的問(wèn)題，但學(xué)生解決問(wèn)題時(shí)更習(xí)慣精確計(jì)算，容易忽視估算的作用。因此，教師要有意識(shí)地設(shè)計(jì)生活情境，通過(guò)“夠不夠”的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生用估算解決問(wèn)題，進(jìn)而領(lǐng)悟估算的意義。同時(shí)，復(fù)習(xí)兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算，能夠激活學(xué)生的已有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，為后續(xù)學(xué)習(xí)三位數(shù)乘兩位數(shù)打下基礎(chǔ)，幫助學(xué)生快速捕捉方法和原理。

（二）遷移運(yùn)算方法

1.正向遷移

師：月星小區(qū)有16幢樓，平均每幢樓住128戶(hù)。中秋節(jié)要到了，小區(qū)物業(yè)計(jì)劃為每戶(hù)業(yè)主準(zhǔn)備1份中秋禮盒。一共要準(zhǔn)備多少份禮盒？

生1：先算6幢樓一共有多少戶(hù)，列式計(jì)算 128× 6=768 （戶(hù)）；再計(jì)算10幢樓一共有多少戶(hù)，列式計(jì)算 128×10=1280 （戶(hù)）；最后算一共有多少戶(hù)，列式計(jì)算 768+1280=2048 （戶(hù)）。

生2：把16寫(xiě)成 4×4 ，先算 128×4=512 （戶(hù)），再算 512×4=2048 （戶(hù)）。

生3：我是筆算 128×16 □

2.對(duì)比總結(jié)

師：前兩位同學(xué)利用學(xué)過(guò)的兩、三位數(shù)乘一位數(shù)的方法算出結(jié)果，但第三位同學(xué)寫(xiě)的“ 128×16 ”是一個(gè)幾位數(shù)乘幾位數(shù)的式子？

生4：三位數(shù)乘兩位數(shù)，我們之前沒(méi)有學(xué)過(guò)。

師：會(huì)算嗎？

生5：它和我們之前學(xué)過(guò)的兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算法相同。

師：具體說(shuō)說(shuō)。

生5：都是用第二個(gè)數(shù)的個(gè)位去乘第一個(gè)數(shù)，再用第二個(gè)數(shù)的十位去乘第一個(gè)數(shù)，最后把結(jié)果相加。

師：不管是兩、三位乘一位數(shù)，還是兩位數(shù)乘兩位數(shù)，都是我們學(xué)過(guò)的知識(shí)。將沒(méi)學(xué)的轉(zhuǎn)化為學(xué)過(guò)的知識(shí)，問(wèn)題就迎刃而解了。請(qǐng)同學(xué)們動(dòng)筆算一算。

將例題稍加改編，通過(guò)算法的多樣性促進(jìn)學(xué)生的思維多樣性發(fā)展，增強(qiáng)新舊知識(shí)間的聯(lián)系。教學(xué)中充分發(fā)揮學(xué)生原有經(jīng)驗(yàn)的作用，使學(xué)生的計(jì)算探究充滿(mǎn)思維的遷移。學(xué)生通過(guò)觀(guān)察算式會(huì)發(fā)現(xiàn)：筆算乘法的實(shí)質(zhì)是將多位數(shù)乘多位數(shù)拆分成若干個(gè)多位數(shù)乘一位數(shù)，最后把結(jié)果相加。

（三）厘清乘法算理

1.解釋含義

師：不僅要算對(duì)，還要知道每一步的含義。這里的“768”表示什么？

生1：表示768個(gè)一。

師：這里的“128”表示什么？生2：128個(gè)十。師：2048又表示什么？生3：表示2048個(gè)一。

2.圖表釋義

師（出示圖2）：你能看懂這個(gè)圖嗎？

生4：把128分成1個(gè)一百、2個(gè)十和8個(gè)一，把 16分成1個(gè)十和6個(gè)一。

生5：將這些數(shù)的乘積加起來(lái)就得到結(jié)果。

學(xué)生借助之前的經(jīng)驗(yàn)?zāi)軌蜓杆偎愠鼋Y(jié)果，但對(duì)其中蘊(yùn)含的算理仍是認(rèn)知模糊的。而借助計(jì)數(shù)單位說(shuō)出每一步的含義，利用圖表再次認(rèn)識(shí)三位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算，就能直觀(guān)感知乘法計(jì)算就是相同計(jì)數(shù)單位不斷累加的過(guò)程。這樣就通過(guò)計(jì)數(shù)單位理解了運(yùn)算一致性。

（四）建構(gòu)運(yùn)算體系

1.編題練習(xí)

師：請(qǐng)先編一道三位數(shù)乘兩位數(shù)的算式，然后同桌交換算一算，最后說(shuō)說(shuō)計(jì)算方法和每一步的含義。

師：哪個(gè)算式的結(jié)果是最大的？

生1：最大的是 999×99=98901 。

師：那最小的是多少？

生2：最小的是 100×10=1000 ，這是一個(gè)四位數(shù)。

師：看來(lái)，三位數(shù)乘兩位數(shù)的積不是四位數(shù)，就是五位數(shù)。

2.拓展延伸

師（出示圖3）：看到這個(gè)式子，你有什么想說(shuō)的？

生3：這是四位數(shù)乘四位數(shù)，我們還沒(méi)學(xué)。

生4：雖然沒(méi)學(xué)，但可以應(yīng)用剛學(xué)的知識(shí)計(jì)算。

師：怎么計(jì)算？

生5：就是多乘幾次，依次用第二個(gè)數(shù)各數(shù)位上的數(shù)去乘第一個(gè)數(shù)，得到的幾個(gè)一、幾個(gè)十、幾個(gè)一百、幾個(gè)一千，最后加起來(lái)。

師：是的，不管是三位數(shù)乘兩位數(shù)，還是四位數(shù)乘兩位數(shù)，都可以用“先分后合”的方法計(jì)算

3.系統(tǒng)聯(lián)結(jié)

師：大家猜接下來(lái)還會(huì)學(xué)習(xí)哪些運(yùn)算？

生6：三位數(shù)乘三位數(shù)、四位數(shù)乘三位數(shù)。

師：事實(shí)上，三位數(shù)乘兩位數(shù)是整數(shù)乘法板塊最后的計(jì)算課了。想一想，為什么不繼續(xù)學(xué)多位數(shù)乘多位數(shù)了呢？

生7：因?yàn)橛?jì)算方法都一樣，只不過(guò)計(jì)算步驟復(fù)雜些罷了。

師：是的，掌握了方法并學(xué)會(huì)遷移，很多復(fù)雜的題目就迎刃而解了。

數(shù)學(xué)知識(shí)之間聯(lián)系緊密，特別是數(shù)的認(rèn)識(shí)和數(shù)的運(yùn)算，本質(zhì)上具有一致性。四位數(shù)乘三位數(shù)的知識(shí)能引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思維，從而構(gòu)建系統(tǒng)的計(jì)算方法。

本節(jié)課以運(yùn)算一致性為核心，實(shí)施“領(lǐng)悟估算一遷移方法一厘清算理一建構(gòu)體系\"的路徑，從估算的整體感知到算理的直觀(guān)辨析，從算法遷移應(yīng)用到體系系統(tǒng)建構(gòu)，學(xué)生逐步體會(huì)到多位數(shù)乘法的核心是“先分后合”，是相同計(jì)數(shù)單位的累加。這種基于一致性的教學(xué)，不僅提升了學(xué)生的運(yùn)算能力與推理意識(shí)，還讓學(xué)生學(xué)會(huì)用整體眼光看待數(shù)學(xué)知識(shí)，為后續(xù)學(xué)習(xí)與解決復(fù)雜問(wèn)題奠定思維基礎(chǔ)。

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