大概念主導(dǎo)下的數(shù)學(xué)“三線融合結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)”

數(shù)學(xué)大概念是數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的“橋梁”，是內(nèi)容、過(guò)程和價(jià)值的融合，既包含對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容核心本質(zhì)的理解，也包括知識(shí)形成和應(yīng)用過(guò)程中所體現(xiàn)出來(lái)的思想方法.[它不僅是對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)至關(guān)重要概念的陳述，也是學(xué)生數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)的核心要素.通過(guò)大概念主導(dǎo)的結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠從整體上把握數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯和體系，將不同的知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系起來(lái)形成一個(gè)網(wǎng)絡(luò)，并在遇到新問(wèn)題時(shí)將已有知識(shí)遷移應(yīng)用.

1“三線融合結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)”的內(nèi)涵及意義

在數(shù)學(xué)大概念的主導(dǎo)下，數(shù)學(xué)的教與學(xué)可以清晰形成三條結(jié)構(gòu)性發(fā)展的路線，即知識(shí)框架結(jié)構(gòu)線、學(xué)習(xí)方法結(jié)構(gòu)線、思維模式結(jié)構(gòu)線.這三條結(jié)構(gòu)線相

輔相成，共同構(gòu)建起一個(gè)完整、系統(tǒng)的學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)，從而促進(jìn)學(xué)生在經(jīng)歷完整的學(xué)習(xí)過(guò)程中生成自主結(jié)構(gòu)性學(xué)習(xí)的能力.

1.1第一條結(jié)構(gòu)線：基于核心知識(shí)大概念的結(jié)構(gòu)性知識(shí)框架

核心知識(shí)大概念構(gòu)成了每個(gè)學(xué)習(xí)領(lǐng)域（單元）內(nèi)的知識(shí)框架，為學(xué)生提供了一個(gè)系統(tǒng)化理解的參照系.通過(guò)這些核心大概念，學(xué)生可以掌握每個(gè)主題的“知識(shí)整體觀”，理解不同知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)系，從而避免碎片化學(xué)習(xí).

“分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)”單元中，以核心大概念“分?jǐn)?shù)的意義”“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)\"為基礎(chǔ)，構(gòu)建了系統(tǒng)的知識(shí)框架（如圖1）.

這條結(jié)構(gòu)線讓學(xué)生從全局出發(fā)，以更高的視角 看待學(xué)習(xí)內(nèi)容，而不僅僅是關(guān)注單個(gè)知識(shí)點(diǎn).這種結(jié)構(gòu)性知識(shí)觀和知識(shí)框架能幫助學(xué)生在后續(xù)的學(xué)習(xí)中 不斷深化理解，為其自主學(xué)習(xí)和知識(shí)遷移打下堅(jiān)實(shí) 的基礎(chǔ).

1.2第二條結(jié)構(gòu)線：學(xué)習(xí)領(lǐng)域（單元）內(nèi)的結(jié)構(gòu)性學(xué)習(xí)方法體系

由于數(shù)學(xué)知識(shí)具有跨領(lǐng)域差異性和表達(dá)方式多樣性等特征，每個(gè)大概念或主題單元知識(shí)都需要配套特定的學(xué)習(xí)方法和策略.這些方法和策略可以幫助學(xué)生結(jié)構(gòu)化地接觸、掌握內(nèi)容.

“分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)”單元中，結(jié)構(gòu)性學(xué)習(xí)方法的核心是圖示法和等值轉(zhuǎn)換，也可以稱之為這一單元的方法性核心大概念.它們作用于整個(gè)單元的學(xué)習(xí)過(guò)程（如圖2）.

盡管學(xué)習(xí)方法多樣，但這條以核心方法為主導(dǎo)的結(jié)構(gòu)線為學(xué)生提供了具體的學(xué)習(xí)路徑和操作手段.它幫助在結(jié)構(gòu)化框架中掌握新知，并能夠根據(jù)問(wèn)題情境靈活選擇方法.如此，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中能夠有章可循，從而逐步形成自主的結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)習(xí)慣.

1.3第三條結(jié)構(gòu)線：學(xué)習(xí)領(lǐng)域（單元）內(nèi)的結(jié)構(gòu)性思維體系

數(shù)學(xué)思維是保障學(xué)習(xí)過(guò)程有效開(kāi)展的基礎(chǔ).每個(gè)學(xué)習(xí)領(lǐng)域都有結(jié)構(gòu)性思維體系，它是學(xué)生在學(xué)習(xí)該主題時(shí)所需的數(shù)學(xué)思維方式，如邏輯推理、符號(hào)意識(shí)、數(shù)據(jù)分析等.這種思維體系幫助學(xué)生突破具體問(wèn)題的表層特征，深入理解問(wèn)題的本質(zhì).

“分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)”單元中，結(jié)構(gòu)性思維以數(shù)形結(jié)合為核心，主要融合邏輯推理、幾何直觀和抽象概括等思維方法，其結(jié)構(gòu)性體系如圖3.

結(jié)構(gòu)性思維體系能夠幫助學(xué)生從整體性和邏輯性雙重視角看待和分析數(shù)學(xué)問(wèn)題，使得他們不再局限于操作層面，而是能夠進(jìn)行更高層次的理解和抽象.這種思維體系的培養(yǎng)對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的深人發(fā)展至關(guān)重要.基于結(jié)構(gòu)性思維體系的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生將數(shù)學(xué)思維遷移到更復(fù)雜的領(lǐng)域，實(shí)現(xiàn)從“學(xué)習(xí)\"到真正“解決問(wèn)題\"的轉(zhuǎn)變

1.4三線融合的學(xué)習(xí)體系

上述三條結(jié)構(gòu)線在教與學(xué)中并非孤立存在，而是相互關(guān)聯(lián)、彼此支撐，共同構(gòu)成了一個(gè)完整的結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)體系.

大概念主導(dǎo)的知識(shí)框架讓學(xué)生明白“我們要學(xué)什么”，并確保學(xué)習(xí)內(nèi)容的連貫性和整體性.學(xué)習(xí)方法體系是通向知識(shí)框架的工具，為學(xué)生提供了“怎么學(xué)\"的策略和手段；思維體系是在“學(xué)什么”和\"怎么學(xué)\"之上提供“如何深入理解\"的思維支持.通過(guò)構(gòu)建這樣\"三線融合\"相互支撐的學(xué)習(xí)框架，能夠大大促進(jìn)學(xué)生的自主結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)能力，使他們不僅能學(xué)會(huì)知識(shí)，更能融會(huì)貫通，實(shí)現(xiàn)獨(dú)立的數(shù)學(xué)思維發(fā)展和深入的學(xué)科理解.

在“分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)”單元中，三線融合的結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)體系建構(gòu)，源于該單元知識(shí)高度抽象與演繹性的本質(zhì)特征（如圖4）.圖示法作為基于直觀表征的核心學(xué)習(xí)手段，是數(shù)形結(jié)合思想得以實(shí)施的基礎(chǔ)性條件.等值轉(zhuǎn)換是在圖示法的基礎(chǔ)上深入探究與發(fā)現(xiàn)知識(shí)本質(zhì)的主要學(xué)習(xí)手段.在結(jié)構(gòu)性學(xué)習(xí)方法和思維體系的融合作用下，單元知識(shí)不斷拓展、深化，最終形成目標(biāo)性的知識(shí)體系.在結(jié)構(gòu)性學(xué)習(xí)方法和思維體系的融合作用下，知識(shí)點(diǎn)之間形成了理解性鏈接，使知識(shí)形成穩(wěn)固的網(wǎng)絡(luò)框架。

2三線融合的結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)策略

在大概念引領(lǐng)下的單元學(xué)習(xí)可以讓學(xué)生在零散的知識(shí)點(diǎn)之間建立關(guān)聯(lián)，形成科學(xué)的知識(shí)體系，了解數(shù)學(xué)知識(shí)背后的本質(zhì)和方法，并能將之轉(zhuǎn)化為解決具體問(wèn)題的能力，實(shí)現(xiàn)更自由的深度學(xué)習(xí).[2]

2.1單元起始課的結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)

單元的知識(shí)框架及其內(nèi)在聯(lián)系，為學(xué)生提供了自主學(xué)習(xí)的線索.三線融合的結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)體系基于單元知識(shí)特性，通過(guò)將學(xué)習(xí)方法和思維體系有機(jī)整合，建立完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu).因此，單元起始課的核心功能在于為整個(gè)學(xué)習(xí)體系建立結(jié)構(gòu)化范式.

2.1.1基于經(jīng)驗(yàn)與舊知的核心知識(shí)大概念的獲得

經(jīng)驗(yàn)主要是方法經(jīng)驗(yàn)，舊知主要是知識(shí)體系內(nèi)的、已有的關(guān)聯(lián)知識(shí).“分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)”單元起始課的主要目標(biāo)就是建立“分?jǐn)?shù)的意義”大概念.學(xué)生基于三年級(jí)對(duì)于分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)，先以圖示法的方式將“一個(gè)物體的幾分之幾”“一個(gè)整體的幾分之幾”這些舊知一一呈現(xiàn)；然后在比較、分析、概括中發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)的意義“把單位1平均分成若干份，表示這樣1份或幾份的數(shù)叫分?jǐn)?shù)”.分?jǐn)?shù)意義的獲得過(guò)程充分展現(xiàn)了圖示法在觀察、比較、分析中的價(jià)值

2.1.2基于思維與方法融合的核心知識(shí)大概念的深化

知識(shí)大概念是建立單元知識(shí)體系的關(guān)鍵紐帶.學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中必須全面把握其內(nèi)在的、豐富的含義才能為之后的自主學(xué)習(xí)服務(wù).“把單位1平均分成若干份，表示這樣1份或幾份的數(shù)叫分?jǐn)?shù)\"這一大概念中內(nèi)涵最深的就是“表示”這一詞.當(dāng)學(xué)生試著用生活中的分?jǐn)?shù)去理解什么叫“表示”的時(shí)候，就會(huì)出現(xiàn)以下類似的兩種情境：第一種是走廊上有許多花，其中 是蘭花;第二種是岸邊有一群雞鴨，鴨的只數(shù)是雞的 的意義，學(xué)生想到兩種數(shù)形結(jié)合的思想：第一種 用圖5來(lái)解釋，這時(shí)分?jǐn)?shù)“表示”的就是部分量與總量之間的關(guān)系；第二種 用圖6來(lái)解釋，這時(shí)學(xué)生明白分?jǐn)?shù)\"表示”的是兩種不同數(shù)量之間的對(duì)比關(guān)系.這個(gè)過(guò)程既是核心大概念“分?jǐn)?shù)的意義”深化理解的過(guò)程，也是數(shù)形結(jié)合思想與圖示法有效融合運(yùn)用的過(guò)程，體現(xiàn)了這些思想方法在學(xué)習(xí)抽象的分?jǐn)?shù)知識(shí)時(shí)特有的價(jià)值.

2.1.3基于知識(shí)核心大概念的運(yùn)用為后續(xù)知識(shí)學(xué)習(xí) 埋下伏筆

單元起始課的另一個(gè)重要任務(wù)就是做好后續(xù)學(xué)習(xí)的鋪墊.運(yùn)用“分?jǐn)?shù)的意義\"完成以下兩個(gè)練習(xí)題練習(xí)題 （1）在右圖中涂色表示

（2）一本書(shū)有120頁(yè)，小明已經(jīng)看了 ，請(qǐng)根據(jù)分?jǐn)?shù)的意義，算一下小明已經(jīng)看了多少頁(yè)？

在第（1）題的涂色運(yùn)用過(guò)程中，學(xué)生不僅又一次 與 感受到圖示法的價(jià)值，同時(shí)也能間接體驗(yàn)到了

分?jǐn)?shù) ，即每個(gè)小朋友分得 得號(hào)塊餅

12之間的等量關(guān)系，為分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)學(xué)習(xí)留下線索.第（2）題的解決過(guò)程就是用的“平均分\"來(lái)得到答案，這為之后馬上要學(xué)習(xí)的“分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系”直接留下知識(shí)鏈接與學(xué)習(xí)方法痕跡.

從整體視角看，單元起始課在落實(shí)核心大概念教學(xué)的同時(shí)，系統(tǒng)呈現(xiàn)了方法論要素的運(yùn)用時(shí)機(jī)與實(shí)施路徑，既確立了其在結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)中的核心地位，又為單元知識(shí)的系統(tǒng)性建構(gòu)奠定了認(rèn)知基礎(chǔ).

2.2單元延伸課的結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)

單元知識(shí)是否得到完整建構(gòu)是衡量自主學(xué)習(xí)效能的直接指標(biāo).三線融合的結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)旨在促進(jìn)學(xué)生形成持續(xù)性的知識(shí)建構(gòu)機(jī)制，實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)過(guò)程的有機(jī)銜接與認(rèn)知發(fā)展的螺旋上升，

2.2.1基于情境的核心知識(shí)大概念的運(yùn)用

數(shù)學(xué)單元知識(shí)的發(fā)展從核心知識(shí)大概念，通過(guò)實(shí)踐應(yīng)用不斷增值，并在問(wèn)題情境中生成適應(yīng)性新知，最終形成系統(tǒng)化的知識(shí)體系.因此基于問(wèn)題情境去運(yùn)用核心大概念是單元延伸學(xué)習(xí)的結(jié)構(gòu)化基礎(chǔ)

在“分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系”內(nèi)容學(xué)習(xí)時(shí)，教師創(chuàng)設(shè)分餅的情境，讓學(xué)生研究“把一盒餅平均分給5個(gè)小朋友，每個(gè)小朋友分得這盒餅的幾分之幾”“如果這盒餅里有3塊餅，那每個(gè)小朋友分得多少塊餅”等問(wèn)題.學(xué)生在自主探索中先運(yùn)用分?jǐn)?shù)的意義得到每個(gè)小朋友分得這盒餅的 ；然后還是根據(jù)分?jǐn)?shù)的意義將3塊餅平均分給5個(gè)小朋友，可以列式 3÷5. 這就產(chǎn)生了如何表達(dá)除法商的知識(shí)延伸需求.

2.2.2基于學(xué)習(xí)的核心方式與思維的結(jié)構(gòu)化探索

合理的學(xué)習(xí)方式和數(shù)學(xué)思維相配合才能保障自主學(xué)習(xí)的發(fā)生和發(fā)展.由此可見(jiàn)，在單元起始課中運(yùn)用并遷移學(xué)習(xí)方法至關(guān)重要.分?jǐn)?shù)高度抽象的特點(diǎn)，決定了用圖示法來(lái)分析解決分?jǐn)?shù)問(wèn)題的重要價(jià)值.

學(xué)生用圖示法來(lái)探索“3塊餅平均分給5個(gè)小朋友\"問(wèn)題情境.一些學(xué)生剪了3個(gè)圓，合在一起，平均剪成5份；還有些學(xué)生畫(huà)了3個(gè)圓，每個(gè)圓都分成了5份.兩種不同的分配方法都運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，通過(guò)把每一個(gè)小朋友分得的餅進(jìn)行整合，最終獲得

2.2.3基于三線融合的結(jié)構(gòu)化表達(dá)與新知建構(gòu)

新知的獲得需要學(xué)生通過(guò)結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)來(lái)反復(fù)驗(yàn)證，而新知的內(nèi)化建構(gòu)則需要明確新知在知識(shí)體系內(nèi)的價(jià)值和意義.驗(yàn)證過(guò)程本質(zhì)上是知識(shí)、方法和思維的三維融合，而知識(shí)的內(nèi)化則更需要依托學(xué)習(xí)方法、思維方式的介入，才能使知識(shí)具有運(yùn)用的價(jià)值和意義，使之有機(jī)融入知識(shí)體系中.

當(dāng)學(xué)生研究“3塊餅平均分給5個(gè)小朋友\"得到每個(gè)小朋友分得 得塊餅后，相應(yīng)的驗(yàn)證馬上開(kāi)始，3塊餅平均分給6位小朋友，2塊餅平均分給3位小朋友.從結(jié)果出發(fā)都可以直觀推斷出分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系：被除數(shù)÷除數(shù) ，即 . ·

學(xué)生結(jié)合探索的過(guò)程將知識(shí)得到的過(guò)程和依據(jù)描述出來(lái)：我們先根據(jù)分?jǐn)?shù)的意義和平均分的計(jì)算方法，得到解決問(wèn)題的列式 3÷5 ；然后運(yùn)用畫(huà)圖或剪紙的方法，開(kāi)始操作分析；最后通過(guò)數(shù)形結(jié)合得到結(jié)果都是 塊餅.此外，我們發(fā)現(xiàn)3塊餅平均分成5份，取其中的1份，與每塊餅平均分成5份，3塊餅各取其中的1份是等價(jià)的.過(guò)程性描述作為數(shù)學(xué)知識(shí)、學(xué)習(xí)方法和數(shù)學(xué)思維的三線融合表征，既能揭示知識(shí)的生成脈絡(luò)，又能強(qiáng)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)，同時(shí)明確知識(shí)的遷移路徑.

3結(jié)語(yǔ)

大概念是學(xué)生開(kāi)展數(shù)學(xué)自主學(xué)習(xí)的“抓手”，通過(guò)系統(tǒng)提煉并確定核心知識(shí)大概念、核心方法大概念、核心思維大概念，并實(shí)現(xiàn)其有機(jī)整合，由此構(gòu)建“三線融合結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)\"模式，能夠有效促進(jìn)學(xué)生的自主探究能力，培養(yǎng)其可持續(xù)的學(xué)習(xí)素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)

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[2]吉守兵.尋找小學(xué)數(shù)學(xué)的“大概念”J.人民教育，2022（24）：66.