小學(xué)數(shù)學(xué)模型意識培養(yǎng)教學(xué)研究

通過培養(yǎng)模型化的認(rèn)知能力，學(xué)生可以逐步發(fā)展出有條理的思維模式，并經(jīng)歷“具體一抽象一具體\"的思維軌跡.這能建立起學(xué)生所掌握的數(shù)學(xué)理論與他們?nèi)粘Ｉ顚嵺`之間的聯(lián)結(jié)，使學(xué)生不僅掌握如何學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，還能將數(shù)學(xué)知識應(yīng)用到現(xiàn)實問題解決中，從而提高學(xué)生運用所學(xué)知識的實踐能力.

1結(jié)合現(xiàn)實創(chuàng)情境，現(xiàn)實問題抽象化

荷蘭數(shù)學(xué)家弗賴登塔爾（H.Freudenthal）認(rèn)為，數(shù)學(xué)來源于生活，數(shù)學(xué)的知識都根源于生活中的普通常識.當(dāng)學(xué)生運用數(shù)學(xué)視角審視日常生活時，能意識到很多實際問題的實質(zhì)在本源上與數(shù)理模型的基本形態(tài)或早期形式相似或接近.例如，從黑板的平面、長方形桌子的表面、數(shù)學(xué)教材的封皮等實物中能夠提煉出“長方形\"這一幾何概念的原型；又如，蓄水池的注水與排水、公交車的進出站過程以及學(xué)生的轉(zhuǎn)學(xué)與退學(xué)等問題，都蘊含著動態(tài)均衡的數(shù)學(xué)原理.歸根結(jié)底，真實生活中的實例為學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)模型認(rèn)知提供了基礎(chǔ)素材，同時頻繁成為教師在互動教學(xué)過程中精心選取的范例，

在塑造學(xué)生對數(shù)學(xué)模型的認(rèn)知教學(xué)階段，教師應(yīng)當(dāng)向?qū)W生展示與現(xiàn)實生活緊密相連的實際案例，促使學(xué)生在思維中形成與數(shù)學(xué)有關(guān)、切實可行及富有意義的數(shù)學(xué)概念.問題情境的有效使用，關(guān)鍵在于它能否觸及數(shù)學(xué)核心、能否激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維與模型意識.教師應(yīng)深入挖掘和關(guān)注日常生活中數(shù)學(xué)問題的實際情境，巧妙地運用日常的素材，將與數(shù)學(xué)模型相關(guān)的課程內(nèi)容置于切合實際且與學(xué)生密切相關(guān)的環(huán)境之中，構(gòu)建既貼近真實生活又照顧到學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知需求的問題情境，讓學(xué)生能夠主動地在這些情境中識別并提出數(shù)學(xué)問題，體驗將現(xiàn)實生活中的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的過程.將實際問題理論化能夠幫助學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)模型與實際生活緊密相連的關(guān)系，認(rèn)識到現(xiàn)實中存在的無數(shù)實踐問題都能夠被轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)形式，并用數(shù)學(xué)的邏輯和理念去闡釋和解決.這一系列活動能有效提升學(xué)生對模型的認(rèn)知和理解.

例如，在講解“圓的周長\"這一內(nèi)容時，教師可以創(chuàng)設(shè)以下情境，讓學(xué)生經(jīng)歷如何從實際生活情境中抽離出數(shù)學(xué)問題的過程： ① 猜一猜.需要在圓形帽子的周圍鑲嵌一條裝飾帶，那么在老師提供的四條長度各異的緞帶中，應(yīng)該選擇哪一條最合適. ② 說一說.請闡述你的選擇.要準(zhǔn)確測定所需要的緞帶長度，需要研究哪些數(shù)學(xué)問題？需要掌握哪些信息？借助剛才提出的雙重疑問，教師可以構(gòu)建一個計算圓周的數(shù)學(xué)議題框架.這不僅便于學(xué)生將實際問題轉(zhuǎn)換成關(guān)于圓周長的數(shù)學(xué)問題，并能在解決這些數(shù)學(xué)問題的過程中磨練技能，同時也能讓他們在抽象的思維過程中領(lǐng)悟到圓周長的概念在現(xiàn)實中的意義及重要性

2巧用工具再創(chuàng)造，數(shù)學(xué)問題模型化

依照弗賴登塔爾所持的觀點，學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的過程實質(zhì)上是在進行數(shù)學(xué)知識的“再創(chuàng)造”活動.在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生親身體驗和重現(xiàn)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的過程，而非僅僅向他們灌輸公式和定理；同時更應(yīng)重視學(xué)生在模型構(gòu)建過程中的經(jīng)歷和感受.這是因為數(shù)學(xué)模型固然表面上保持一定的穩(wěn)定性和恒定性，但在構(gòu)建模型的實踐中，深化的數(shù)學(xué)概念和策略卻需要持續(xù)不斷地演進.此種思維方式蘊含著極大的潛力，能夠持續(xù)提升學(xué)生解決日常問題的能力.假如教師單純將數(shù)學(xué)理論模型視為教學(xué)成果的終點，這將淺化教育對學(xué)生產(chǎn)生的深遠(yuǎn)影響，并易陷入過度依賴模型化教學(xué)的誤區(qū).所有數(shù)學(xué)模型未必能解決日常生活中遇到的一切難題，只有掌握數(shù)學(xué)的思維與策略，我們才能揭開問題的面紗.因此，學(xué)生在親身參與模型構(gòu)建的“再創(chuàng)造”過程中所得的經(jīng)驗和領(lǐng)悟，對其模型認(rèn)知能力的培養(yǎng)極為寶貴.

教師在教學(xué)過程中須巧妙地采用各種教學(xué)法，激勵學(xué)生充分應(yīng)用文字、示意圖、具體模型等數(shù)學(xué)輔助工具，并通過繪畫、排列、連接等互動練習(xí)，把握數(shù)學(xué)難題中的核心要點，構(gòu)建信息互聯(lián)，經(jīng)歷從日常生活情境中提煉出數(shù)學(xué)模型的過程，實現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的形式化.在整個教學(xué)活動中，教師主導(dǎo)著學(xué)生運用數(shù)學(xué)工具的同時，讓學(xué)生親身實踐，這樣的教學(xué)策略不僅讓學(xué)生的思考得以具象化和流動化，還簡化了他們吸收知識的難度.通過這種方式，不僅充分發(fā)揮了學(xué)生的主體性，也有助于他們將日常生活中的問題簡化，提取并精煉出具體數(shù)學(xué)模型.此外，還加強了學(xué)生對這些模型的理解與把握，并推動了他們的模型構(gòu)建意識的形成和發(fā)展.

例如，當(dāng)講解“雞兔同籠\"問題時，教師在協(xié)助學(xué)生把現(xiàn)實生活中的問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)題目之后，應(yīng)當(dāng)鼓勵學(xué)生通過親手繪制圖形、排列數(shù)據(jù)表等可視化的方式進行互動探究.具體操作中，學(xué)生可以先畫8個圓圈代表8個頭，若假設(shè)全為兔子，則在每個圓圈下方畫出4條線表示兔子的4只腳，此時總腳數(shù)為32只.對比題目給定的26只腳，發(fā)現(xiàn)多出6只.根據(jù)生活常識，雞比兔少2只腳，因此需要將其中3個“兔子頭\"下的腳數(shù)各減少2只（即改為雞），最終得出兔子5只、雞3只的結(jié)論.通過這種圖形與數(shù)字結(jié)合的方式，學(xué)生能直觀理解數(shù)量關(guān)系，在腦海中形成清晰的視覺化模型，進而抽象出數(shù)學(xué)規(guī)律.這一過程幫助學(xué)生認(rèn)識到，解題的關(guān)鍵在于先建立假設(shè)，再通過對比假設(shè)與實際數(shù)據(jù)的差異進行調(diào)整，最終將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型.這樣的方法既培養(yǎng)了抽象思維，又讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)建模的核心思想，

3思辨互動與歸納，具體模型一般化

弗賴登塔爾著重指出：“掌握數(shù)學(xué)知識就需借助數(shù)學(xué)所特有的語言，利用它獨有的標(biāo)記、詞語、語法結(jié)構(gòu)與慣用語去進行交流，并通過這種方式來理解世界.”因此，學(xué)生在研究數(shù)學(xué)模型時不宜止步于表面，停滯在特定的模型層面.教師應(yīng)采用諸如提出問題、互動等多種教學(xué)策略，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)問題進行更為深入的思索和交流，在解答疑問、辯駁等環(huán)節(jié)中，逐步領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)模型的根本屬性，進而總結(jié)出應(yīng)用范圍更廣泛的通用數(shù)學(xué)模型.例如，在構(gòu)建了明確的數(shù)學(xué)模型之后，教師可以提出問題，如“依據(jù)什么得出了結(jié)果”“了解了哪些信息能夠推算出哪些結(jié)論”.這些條理清晰、言簡意賅的問題，能夠促進學(xué)生進行深層次的思考，梳理和優(yōu)化思維過程，掌握核心要義，進而總結(jié)并提煉出普遍性的規(guī)律.此外，教師應(yīng)鼓勵學(xué)生盡力解說數(shù)學(xué)模型所代表的意義，如詢問\"這一環(huán)節(jié)象征著什么？它們彼此是如何相互聯(lián)系的”在解答問題的過程里，學(xué)生將具體模型進行了深化與抽象化.此做法不僅將先前具體的辯論拓展至普遍層面，引導(dǎo)學(xué)生由具體知識走向抽象認(rèn)知，在明晰知識間的內(nèi)在邏輯后把握其核心要義，理解數(shù)學(xué)模型；還能借助數(shù)學(xué)語言，輔助學(xué)生將內(nèi)在的數(shù)學(xué)思維具象化，推動數(shù)學(xué)模型的規(guī)律性演化.

以\"雞兔同籠”問題為例，學(xué)生在前期階段通過構(gòu)建表格、繪制圖解等方式探索了條件設(shè)置的過程逐步建立起對數(shù)學(xué)模型的基本理解.隨后，教師可以借助提問策略，促使學(xué)生更深入地思考“在比較列表法、圖形法和公式法這三種解題方法時，你有何發(fā)現(xiàn)？它們之間存在哪些相似之處”當(dāng)學(xué)生深入思考問題時，教師應(yīng)該指引他們回顧每一種求解方法的邏輯路徑和要點，進而展開剖析和辨別.通過這個過程，學(xué)生能夠洞察其中的根本原理是一致的，即都遵循著“假設(shè)一比較一調(diào)整一解答”的思維模式，將題目的兩個未知數(shù)視為一個整體進行假設(shè)，在假設(shè)值與實際值的對比中得出正確答案.教師借助提出問題的手段激發(fā)學(xué)生深思熟慮，進而引導(dǎo)他們作出總結(jié)和抽象，使得特定模型得以泛化，從而有助于提升他們對模型的認(rèn)知，

4再創(chuàng)情境用模型，數(shù)學(xué)模型現(xiàn)實化

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱\"課程標(biāo)準(zhǔn)\"強調(diào)了建模意識，其核心是初步認(rèn)識數(shù)學(xué)模型的普遍適用性.將數(shù)學(xué)模型具體化的目標(biāo)是指導(dǎo)學(xué)生在生活中有意識地運用這些模型去解決實際問題和闡釋生活現(xiàn)象，以便讓數(shù)學(xué)模型從理論走向生活實踐.在整個學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生意識到數(shù)學(xué)模型不僅能夠解答單一問題，還能解決一系列相關(guān)問題，開始認(rèn)識到數(shù)學(xué)模型的通用性及重要性.這種認(rèn)知過程增強了他們的模型意識.

數(shù)學(xué)建模是將現(xiàn)實問題抽象化、量化.[3教師在輔助學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)模型之后，還需要重點強調(diào)將所學(xué)應(yīng)用到實際情境中，讓學(xué)生在運用這些模型應(yīng)對實際問題時，不僅體會到數(shù)學(xué)模型作為解題工具的抽象本質(zhì)和歸納要義，還認(rèn)識到它們在現(xiàn)實與抽象概念之間架設(shè)溝通橋梁的重要作用和深遠(yuǎn)意義.因此，當(dāng)教師從具體情況中提煉出數(shù)學(xué)模型之后，還需要設(shè)計出與模型相匹配的各種應(yīng)用情境，并且在這些情境的構(gòu)思與展示中也要呈現(xiàn)出逐步遞增的難度，如由淺入深，由單一問題到多元綜合問題.理想情況下，應(yīng)該構(gòu)思出針對該數(shù)學(xué)模型的多樣化習(xí)題，如“多題一解”“一題多變”“正例反例”等練習(xí).倘若學(xué)生想利用數(shù)學(xué)模型來解決實際問題，必須實施聯(lián)結(jié)思維、提取問題本質(zhì)、構(gòu)筑相應(yīng)聯(lián)結(jié).通過應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決問題的實踐，能夠幫助學(xué)生積累相關(guān)的認(rèn)知經(jīng)驗，使學(xué)生能夠在不同視角的分析對比中掌握數(shù)學(xué)模型的核心要素，深化對模型運用的理解，進而有利于模型的有效轉(zhuǎn)化.同時，在運用環(huán)節(jié)中能夠理解數(shù)學(xué)模型的實際內(nèi)涵，加深對數(shù)學(xué)模型實際應(yīng)用的認(rèn)知，由此體會到數(shù)學(xué)模型在多領(lǐng)域的重要性，提升學(xué)生利用數(shù)學(xué)模型解決問題的信心，并培養(yǎng)出對模型的敏感度.

例如，在“植樹問題\"的教學(xué)中，學(xué)生在構(gòu)建數(shù)學(xué)模型時，已經(jīng)通過將數(shù)字與形狀相結(jié)合、相互討論交流等手段，發(fā)現(xiàn)了植樹問題的普遍規(guī)律，并總結(jié)出了適用于不同道路長度和種植間距的通用植樹方案.隨后，教師需構(gòu)建多樣化的實際情境，引導(dǎo)學(xué)生巧妙運用數(shù)學(xué)模型來解題，深化對數(shù)學(xué)模型的理解，并體會到數(shù)學(xué)模型的普遍應(yīng)用價值.例如，在日常生活中遇到的排隊等候問題、路燈間距設(shè)置問題、建筑物層數(shù)問題、鐘聲間隔問題等.在運用植樹模型處理各種問題時，學(xué)生深刻領(lǐng)悟到，即便這些問題呈現(xiàn)出截然不同的情境，但依然能夠在其中辨識出“物體”與“間隔\"的對應(yīng)關(guān)系，核心在于掌握兩者間的相互關(guān)系.在將數(shù)學(xué)模型應(yīng)用到實際情境的實踐中，學(xué)生能夠全面理解植樹問題的數(shù)學(xué)模型，進而加深對該模型的認(rèn)知，領(lǐng)悟其解題范圍的廣泛適用性，由此增強對數(shù)學(xué)模型的認(rèn)知深度，

在實施以“實用數(shù)學(xué)教學(xué)”為核心的小學(xué)數(shù)學(xué)模型意識培養(yǎng)課程中，四個環(huán)節(jié)互相牽連、逐級深化.學(xué)生在這一系列活動中，完成了從現(xiàn)實情境逐步過渡到抽象概念層面的完整數(shù)學(xué)建模過程.概括來講即是將實際對象抽象成數(shù)學(xué)模型，然后把這些數(shù)學(xué)模型應(yīng)用于真實世界中.在整個學(xué)習(xí)旅程中，學(xué)生逐漸加深對數(shù)學(xué)模型的直觀理解，深化對模型的知識掌握，并領(lǐng)悟到模型的廣泛應(yīng)用價值，逐步建立起對模型的系統(tǒng)認(rèn)識.很明顯，指導(dǎo)學(xué)生體驗數(shù)學(xué)化的學(xué)習(xí)旅程，實際上就是構(gòu)建他們的數(shù)學(xué)模型觀念.

在\"現(xiàn)實數(shù)學(xué)教育\"理念指導(dǎo)下，小學(xué)數(shù)學(xué)模型意識的培育過程涵蓋教學(xué)的各個層面，這一點具體表現(xiàn)為教學(xué)準(zhǔn)備的三個關(guān)鍵要素：教材準(zhǔn)備、學(xué)生情況準(zhǔn)備以及教學(xué)方法準(zhǔn)備，這三項準(zhǔn)備合稱為“三備”.其中，教材準(zhǔn)備是教學(xué)準(zhǔn)備的首要步驟，其目標(biāo)是保證教學(xué)內(nèi)容的精確性和有序性；只有了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況才能使教學(xué)更符合學(xué)生的實際需求，突出學(xué)生的主體地位；要想實現(xiàn)預(yù)期的教學(xué)目標(biāo)，還需要準(zhǔn)備好教學(xué)方法，這包括“教法\"和“學(xué)法”，對于教學(xué)目標(biāo)的實現(xiàn)具有重要作用，是決定教學(xué)成敗的重要因素.教學(xué)準(zhǔn)備是確保教師教學(xué)流程順暢和實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)的關(guān)鍵因素.同時，學(xué)習(xí)活動在整個教學(xué)流程中占據(jù)了核心地位，也是塑造學(xué)生模型思維的重要步驟.這些都會直接決定學(xué)生對于數(shù)學(xué)模型的理解和掌握，并且還會決定他們能否實現(xiàn)模型思維能力的核心目標(biāo).因此，從理論角度來看，這些步驟的安排是有一定的次序的，即前面的步驟構(gòu)成了最后一步順利實施的關(guān)鍵基礎(chǔ)和先決條件，然而，每一步卻又是獨一無二的，并且具備深刻的影響，

5結(jié)語

模型意識是數(shù)學(xué)基本技能的重要體現(xiàn)，它的培養(yǎng)不僅可以為初中階段的模型概念學(xué)習(xí)打下穩(wěn)固的基礎(chǔ)，更對提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具有關(guān)鍵作用.盡管如此，由于課程標(biāo)準(zhǔn)中新增了模型意識這一內(nèi)容要求，并且現(xiàn)實中的教學(xué)問題也是存在的，教師仍需要對模型意識的相關(guān)教學(xué)進行深人的探討和研究.因此，應(yīng)從實際情況出發(fā)，探討“現(xiàn)實數(shù)學(xué)教育”的理論含義，并且提供一系列培育小學(xué)生的數(shù)學(xué)模型認(rèn)知的教育方法和教學(xué)建議.這些研究成果將為一線教師教學(xué)提供有價值的參考.