考慮不對中誤差的人字齒輪雙側應力偏載分析

中圖分類號：TH132.41 DOI：10.16578/j.issn.1004.2539.2025.07.016

0 引言

人字齒輪具有結構緊湊、承載能力大、傳動平穩(wěn)等優(yōu)點，被廣泛應用于航空航天、軍民艦船、交通運輸和清潔能源等領域。在齒輪加工過程中，機床變形和刀具磨損等都可能導致人字齒輪雙側輪齒產(chǎn)生非對稱的加工誤差。齒輪存在不對中誤差時，會引起人字齒輪雙側輪齒載荷產(chǎn)生差異；嚙合過程中，輪齒承受周期性載荷作用，承載較大一側的輪齒會加速疲勞失效。研究不對中誤差對人字齒輪應力差異性的影響，可為提高人字齒輪強度、改善系統(tǒng)性能提供依據(jù)。

目前，學者們主要將精力集中于行星輪系中輪間均載的研究上。李凱陽等分析國內(nèi)外文獻發(fā)現(xiàn)，誤差是影響載荷分布不均的根本原因，改善均載最有效的方法就是降低系統(tǒng)對誤差的敏感程度，主要措施就是柔性化零部件和浮動零部件。XU等2-3通過物理試驗法和動力學模型研究了太陽輪支承剛度、行星架支承剛度和行星輪支承剛度對均載的影響，得到了行星輪軸支承剛度對均載性能影響最大的結論。KAHRAMAN等4-5通過試驗模型與解析模型，分別對行星輪系均載特性進行了研究。結果表明，隨著齒圈柔性增大，均載性能會得到改善。ZHANG等建立了計及內(nèi)齒圈周向柔性和行星輪軸軸向柔性的動力學模型，分析了滑動軸承的動力特性、工作條件和柔性結構對均載特性的影響。王海旭等針對系統(tǒng)的均載特性研究發(fā)現(xiàn)，可以通過添加柔性支承來改善載荷分配不均問題。單來陽等8建立了同軸面齒輪傳動系統(tǒng)彎扭耦合動力學模型。研究發(fā)現(xiàn)，合理的輸人件浮動量會改善系統(tǒng)均載特性。MO等通過集中參數(shù)法建立了人字型行星輪系統(tǒng)，分析了多種誤差作用下系統(tǒng)的均載特性，認為偏心誤差對均載影響最大。

均載問題同樣存在于單個齒輪部件上，相關研究涉及齒輪傳動系統(tǒng)的振動響應和固有特性。LI[通過試驗測試和有限元分析，對薄壁直齒圓柱齒輪的共振頻率特性進行了研究，發(fā)現(xiàn)齒輪腹板位置軸向變化會影響薄壁齒輪的固有頻率。MO等建立了星型齒輪傳動系統(tǒng)，認為齒廓非對稱齒輪的工作狀態(tài)更穩(wěn)定。YUAN等2建立了考慮轉(zhuǎn)軸柔性的寬面圓柱齒輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的準靜態(tài)接觸分析模型，研究表明，軸承非對稱布置會引起部分輪齒不接觸和系統(tǒng)振動加大。CHEN等[13提出了一種新型的高階相位調(diào)諧齒輪，并通過理論分析和試驗證明了錯齒降低了齒輪嚙合振動的能力。WANG等4建立了雙斜齒輪的動力學模型，計算了軸向位移響應，并與試驗結果進行比較，驗證了齒輪左、右兩側的軸向力不能完全抵消的結論。

目前，關于不對中誤差對人字齒輪雙側應力差異性問題的研究少有報道。本文分析了人字齒輪不對中誤差對雙側應力差異性的影響，以指導人字齒輪設計和齒輪加工精度選擇，預防人字齒輪單側承載過大而導致的失效。分析了人字齒輪不對中誤差與應力偏載系數(shù)之間的關系，并結合有限元模型進行了驗證；分析了雙側輪齒在單個嚙合周期中齒根應力值及應力偏載系數(shù)的變化情況；研究了不對中誤差、轉(zhuǎn)矩、彈性模量和齒輪軸向支承剛度對應力偏載系數(shù)的影響規(guī)律，為改善人字齒輪雙側輪齒均載性能和延長系統(tǒng)壽命提供了參考。

1人字齒輪應力差異性理論分析

借鑒文獻[15]、文獻[16]中表達人字齒輪雙側不對中誤差的形式，以人字齒主動輪的右側輪齒為基準，使左側輪齒相對于右側輪齒逆時針轉(zhuǎn)動角度δ，8即為不對中誤差，如圖1所示。為方便理論分析和內(nèi)容描述，本文建立了直角坐標系，并假設其 X 軸的正方向為水平向右，Y軸的正方向為豎直向上， Z 軸的正方向為垂直于紙面向外。因此， δ 繞著Z軸逆時針為正方向，順時針為負方向；即當 δgt;0 時，左側輪齒相對于右側輪齒超前角度δ進入嚙合。

將齒輪嚙合過程分為4個階段，如圖2所示。階段1時，左右側輪齒均未嚙合，左側和右側嚙合副間隙分別為 B_L1 和 B_R1 。階段2時，右側輪齒未嚙合，左側齒輪剛接觸，左側和右側齒輪副間隙分別為0和B_R2（B_R2=B_R1-B_L1） 。階段3時，右側輪齒剛接觸且間隙為0，左側齒輪嚙合變形量為 l_n1 。階段4時，右側輪齒嚙合變形為 l_n2 ，左側齒輪嚙合變形為 l_n1+l_n2 。

為量化人字齒輪雙側輪齒承載能力的差異性，定義雙側應力偏載系數(shù) D_ι 的計算式為

式中， F₁ 人 F₂ 分別為齒輪左側嚙合力和右側嚙合力；σ₁ 、 σ₂ 分別為齒輪左側應力和右側應力。

D₁ 越接近2，雙側輪齒應力差異越大。當 D₁=2 時，人字齒輪處于單側輪齒嚙合。當 D₁ 在（0，2）范圍時，雙側齒輪嚙合。 D₁ 越接近0，雙側輪齒均載性能越好。當 D_l=0 時，齒輪處于雙側完全均載狀態(tài)。

為研究應力偏載系數(shù)與不對中誤差的關系，基于傳動誤差式（2）進行相關分析。由齒輪承載變形引起的法向變形量 l_n 用式（3）表示。

式中， Δθ 為傳動誤差； θ_?1 為主動輪轉(zhuǎn)動角度； θ₂ 為從動輪轉(zhuǎn)動角度； z₁ 為主動輪齒數(shù)； z₂ 為從動輪齒數(shù)； m_n 為法向模數(shù)； α_r 為端面壓力角； β 為分度圓螺旋角； β_b 為基圓螺旋角。

當主動輪左側輪齒相對于右側輪齒超前一個8角度時，其對應的法向超前量用式（4）表示，人字齒輪的總嚙合力 F_z 用式（5）表示。

式中， T 為輸入轉(zhuǎn)矩。

結合式（1）、式（4）和式（5），得到應力偏載系數(shù)D₁ 與平均嚙合剛度 K_m 、誤差 δ 和轉(zhuǎn)矩 T 的關系，即

式中， m_n，z₂，α_n， β 和 β_b 都是常數(shù)量?？梢缘贸鲆韵?條結論：

1）在齒輪嚙合剛度和不對中誤差一定的情況下，輸入轉(zhuǎn)矩的增大會減小雙側應力偏載系數(shù)，改善雙側輪齒均載性能。

2）在齒輪嚙合剛度和輸入轉(zhuǎn)矩一定的情況下，不對中誤差的增大會增大雙側應力偏載系數(shù)，降低雙側輪齒均載性能。

3）在齒輪輸入轉(zhuǎn)矩和不對中誤差一定的情況下，嚙合剛度的增大會增大雙側應力偏載系數(shù)，降低雙側輪齒均載性能。

2人字齒輪應力差異性仿真分析

2.1人字齒輪嚙合模型有限元建模

本文分析的人字齒輪嚙合副系統(tǒng)的模數(shù)、齒數(shù)、壓力角和密度等參數(shù)如表1所示。采用參數(shù)化建模方式生成齒輪幾何結構，為兼顧計算效率和計算精度，主、從動輪保留5個輪齒進行有限元建模。對齒面嚙合側與齒根部位進行網(wǎng)格加密，如圖3所示。有限元仿真具體設置如下：

1）單元屬性。主、從動輪均采用六面體縮減積分單元C3D8R。

2）相互作用。采用面-面接觸類型，選擇主、從動輪的嚙合表面分別為主、從動面。

3）分析步。為保證齒輪初始接觸分析收斂和模擬齒輪嚙合狀態(tài)，設置兩個靜力學通用分析步，分別用于消隙和加載。

4）邊界條件。分別在主、從動輪幾何中心點設置 R_Pl 和 R_P2 。將 R_Pl 和 R_P2 分別耦合到主、從動輪內(nèi)孔表面，采用運動分布耦合類型。釋放 R_Pl 繞Z軸的旋轉(zhuǎn)自由度， R_Pl 其余自由度與 R_P2 的所有自由度全部固定。

5）嚙合模擬與加載。第一分析步：齒輪副裝配后，在主動輪 R_Pl 上繞 Z 軸順時針方向施加微小角位移，從動輪 R_p2 固定不動，使兩輪齒面進入接觸狀態(tài)；第二分析步：在主動輪 R_p1 上施加轉(zhuǎn)矩T，從動輪 R_P2 完全固定，進行靜力學仿真模擬。為了模擬主動輪中間齒從嚙入到嚙出的全過程，控制主動輪以1.2^° 為步長，順時針旋轉(zhuǎn)30次；從動輪根據(jù)傳動比和嚙合關系進行相應轉(zhuǎn)動。重復上述兩個分析步，完成嚙合過程模擬仿真。

2.2不對中誤差對應力偏載系數(shù)的影響

設計9組存在不對中誤差的人字齒輪嚙合副有限元模型。其中，不對中誤差δ分別為 0^° 、 0.0025^° /0.005^° 、 0.007 5° 、 0.01^° 、 0.012 5° 、 0.015^° 、0.0175^° 、 0.02^° 。圖4所示為應力及其偏載系數(shù)隨不對中誤差變化的曲線。結果表明，當不對中誤差δ為 0^° 時，左側和右側輪齒的應力相同，應力偏載系數(shù)為0，即齒輪雙側完全均載。當不對中誤差δ在（0， 0.015^° ）范圍內(nèi)時，以左側輪齒受力為主；隨著不對中誤差的增加，左、右側應力值之間的差值逐漸增大，應力偏載系數(shù)呈現(xiàn)線性增加的趨勢。當不對中誤差8在 [0.015^° ， 0.02^° ]范圍內(nèi)時，右側輪齒完全不受力，左側輪齒單側承載，此時應力偏載系數(shù)為2。提取不對中誤差分別為 0^° 、 0.01^° 、 0.02^° 時的齒面嚙合應力，如圖5所示。由圖5可知，隨著不對中誤差的增大，右側輪齒的接觸范圍逐漸減小，直至為無應力狀態(tài)；整個齒面上的接觸應力最大值隨著誤差的增大而增大，依次為789、863.5、 1 150MPa ，人字齒輪的整體嚙合性能降低。

2.3轉(zhuǎn)矩對應力偏載系數(shù)的影響

以不對中誤差為 0.01^° 的有限元模型為研究對象，分析不同轉(zhuǎn)矩對應力偏載系數(shù)的影響。當輸入轉(zhuǎn)矩小于等于 500N?m 時，人字齒輪左側輪齒處于嚙合狀態(tài)，右側輪齒則處于空載狀態(tài)，應力偏載系數(shù)為2，如圖6所示；當對主動輪施加大于 500N?m 的轉(zhuǎn)矩時，右側輪齒也進入嚙合。隨著轉(zhuǎn)矩的增加，主動輪左側與右側齒根應力差值基本不變，應力偏載系數(shù)逐漸減小，即人字齒嚙合副雙側輪齒的均載性能越來越好。分別提取250、1500、 2500N?m 轉(zhuǎn)矩下的齒輪嚙合應力云圖，如圖7所示。由圖7可知，隨著轉(zhuǎn)矩的增加，人字齒輪由左側承載變?yōu)殡p側承載，最后雙側輪齒上的接觸應力逐漸趨于接近，整體嚙合性能得到提升。這與式（6）得到的結論相同，即雙側應力偏載系數(shù)與轉(zhuǎn)矩成反比。

2.4彈性模量對應力偏載系數(shù)的影響

齒輪副中的輪齒彎曲剛度 K_b 、剪切剛度 K_s， 徑向壓縮剛度 K_a 和赫茲接觸剛度 K_h 、輪體等效剛度 K_f 以及綜合嚙合剛度 K_e 都與彈性模量成正相關。故可以通過改變彈性模量來間接地研究嚙合剛度對應力偏載系數(shù)的影響。將人字齒輪嚙合副的有限元模型中的不對中誤差設置為 0.01^° ，主動輪的輸入轉(zhuǎn)矩設置為 1000N?m 。圖8所示為應力及其偏載系數(shù)隨彈性模量變化的曲線。仿真結果表明，隨著齒輪模型彈性模量的增加，主動輪左側和右側齒根的拉、壓應力差值越來越大。應力偏載系數(shù)也隨彈性模量的增加成線性增加。這是由于彈性模量增加，嚙合剛度增大；同時，嚙合相位超前側輪齒將承受更大的載荷，即齒輪雙側均載性能變差。這與式（6）得到的結論相同，即雙側應力偏載系數(shù)與嚙合剛度成正比。由圖9所示的不同彈性模量下齒面應力分布可知，左側輪齒相對于右側輪齒，接觸斑點更大和接觸線更長。隨著彈性模量的增大，齒輪雙側接觸斑點和接觸線長度差異變大，雙側輪齒均載性能降低，整體嚙合性能降低。

2.5齒輪軸向支承剛度對應力偏載系數(shù)的影響

為研究齒輪軸向柔性對人字齒輪雙側應力差異性的影響，在有限元仿真軟件設置中，通過改變軸承支承剛度矩陣 K_be=diag{k_?XX ， k_YY ， k_zz ， k_θXθX ， k_θYθY} 中的 k_zz 項來實現(xiàn)軸向柔性的調(diào)整，矩陣中具體數(shù)值如表2所示。設計了三類仿真模型，第一類是主動輪軸向剛度在 [10⁶ ， 10¹²]N/m 范圍變化，從動輪完全固定。第二類是從動輪軸向剛度在 [10⁶ ， 10¹²]N/m 范圍變化，主動輪完全固定。第三類是主動輪和從動輪的軸向剛度同時在 [10⁶ ， 10¹²]N/m 范圍變化。

圖10所示為應力及其偏載系數(shù)隨主動輪軸向支承剛度變化的曲線。計算結果表明，當僅改變主動輪軸向剛度時，隨著軸向剛度增加，齒輪雙側的拉、壓應力之間的差值越來越大。由圖10（b）可知，當軸向剛度等于 10⁶N/m 時，雙側均載性能最好。當軸向剛度大于 10¹⁰N/m 后，雙側應力偏載系數(shù)在1.22左右變化。分別提取軸向剛度為 10⁶ 、 10^° 10¹²N/m 情況下齒輪的雙側接觸應力，如圖11所示。由圖11可知，隨著軸向剛度的增大，齒輪雙側接觸斑點面積差異變大，這與齒根應力偏載系數(shù)變化趨勢相同；左側齒面上的接觸應力最大值也隨著軸向剛度的增大而增大，依次為578.7、745.7、863.4MPa，表現(xiàn)為整體嚙合性能降低。當僅改變從動輪軸向剛度時，其應力變化曲線及應力偏載系數(shù)變化曲線分別如圖12（a）、圖12（b）所示。當同時改變主、從動輪軸向剛度時，其應力變化曲線及應力偏載系數(shù)變化曲線分別如圖13（a）、圖13（b）所示。綜上可知，人字齒輪的軸向剛度越大，雙側應力差異越大，均載性能越差。

當主從動輪軸向支承剛度為 10⁶N/m 時，第一類模型中，主動輪軸向位移最大為 11.04μm ，如圖14（a）所示。第二類仿真模型中，從動輪軸向位移最大為 11.04μm ，如圖14（b）所示。第三類仿真模型中，主動輪的軸向位移最大為 5.53μm ，從動輪的軸向位移最大為 5.53μm ，兩個齒輪間的軸向相對位移量為 11.06μm ，如圖14（c）所示。而且，三類模型均隨著軸向剛度的增大，軸向相對位移量逐漸減至0；隨著軸向剛度的增大，齒輪的軸向柔性減小，主從動輪之間軸向自補償能力降低，雙側輪齒應力差異性增大。

3結論

以人字齒嚙合副為研究對象，分析了不對中誤差與輪齒雙側應力偏載系數(shù)之間的關系。通過有限元仿真，研究了不同參數(shù)下人字齒輪雙側齒根應力值和應力偏載系數(shù)的變化規(guī)律，驗證了理論分析的正確性。得到如下結論：

1）應力差異性理論分析中，應力偏載系數(shù)與嚙合剛度、不對中誤差均成正比關系，與轉(zhuǎn)矩成反比；即嚙合剛度或不對中誤差越大，人字齒輪雙側均載性能越差，而增大轉(zhuǎn)矩會改善偏載問題。

2）有限元仿真分析中，齒根拉、壓應力的變化趨勢相同，均隨著轉(zhuǎn)矩的增大而增大。存在不對中誤差的人字齒輪，雙側齒面接觸應力隨雙側齒根應力差值減小而變得更加均勻，均載性能得到改善。隨著不對中誤差或者彈性模量的增加，雙側齒根應力差值增大，齒面接觸應力差異性增大。

3）當主動輪、從動輪或者兩者軸向剛度都設置為柔性時，齒輪雙側應力差異性會隨著軸向剛度值的增大而增大。故可以通過調(diào)整人字齒輪軸向柔性來改善齒輪雙側均載性能。

本文的研究對象為平行軸齒輪傳動系統(tǒng)，其構型相對于星型、行星齒輪傳動系統(tǒng)而言較為簡單。故人字齒星型、行星齒輪傳動系統(tǒng)雙側輪齒不對中誤差對動應力、固有特性、均載特性或振動響應的影響機制也值得深入研究。

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Analysis of stress difference on both sides of the herringbone gear consideringmisalignment error

ZHANG Chunpeng1LIU Hexiang1SUN Qiyuan1YANG Yazhou2 （1.SchoolofMachineryandAutomation，WeifangUniversity，Weifang26lo61，China） （2.Qingdao GermanLitho Co.，Ltd.，Qingdao 266109，China）

Abstract：Objective]Heringbone gears inevitably exhibit bilateral tooth misalignment during manufacturing，which may causeexcesiveloaddiferencesbetweenbilateralteethorevensingle-sideloading，leadingtoprematuregearfailure.Taddress this isse，theinfluenceofmisalignmenterroronthestressdierencebetweenbilateralteethwasstudied.[Methods]Through thetheoreticalderivation，therelationamongmesingstifess，misalignmenterror，torquevariation，andstressderence coeficientwasobtained.Basedonthe finiteelement simulation modelconsidering misalignment eror，the influenceof misalignmentohngsissndueeoottesiletrsomprsiestressndtressdereit of herringbonegearbilateraltethwascalculated.Thecontactstressdistributionofbilateraltethwasanalyzed，theinteralsof single-sidemesinganddouble-sidemeshingwereetermined，andtheorrectnessofteoreticalanalysisasvrified.eults] The simulationresults show that inaddition to improving machining accuracy，increasing system torque，reducing meshing stfness，andenhancingtheaxialflexibilityofgearshaftsareefectivemethods toreducethestressdifferenceofherringbone gear bilateral teeth.

Keywords：Herringbone gear;Misalignment error; Contact stress;Stress difference coefficient