高重合度直齒圓柱齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)耦合動(dòng)態(tài)特性研究

中圖分類(lèi)號(hào)：TH132.41 DOI： 10.16578/j.issn.1004.2539.2025.07.001

0 引言

隨著齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)朝著高速重載、低振動(dòng)、低噪聲方向的發(fā)展，對(duì)齒輪的承載能力和動(dòng)力學(xué)性能提出了更高的要求。因此，提升齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)承載能力、減小系統(tǒng)振動(dòng)噪聲的問(wèn)題亟待解決。高重合度（HighContactRatio，HCR）齒輪一般是指重合度大于2的直齒圓柱齒輪[]。相較于普通重合度齒輪，HCR齒輪重合度更高，傳動(dòng)過(guò)程中的載荷由更多輪齒共同承擔(dān)，能有效地提升齒輪系統(tǒng)承載能力及傳動(dòng)平穩(wěn)性。

HUANG等考慮時(shí)變嚙合剛度、傳遞誤差、齒側(cè)間隙、軸承間隙對(duì)HCR齒輪系統(tǒng)的影響，采用集中質(zhì)量法，建立了多間隙的HCR齒輪非線性動(dòng)力學(xué)模型，得到了齒側(cè)間隙、傳遞誤差等因素對(duì)HCR齒輪系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響規(guī)律。LIN等3建立了4自由度齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，在考慮轉(zhuǎn)速的情況下，分析了齒輪重合度對(duì)齒輪系統(tǒng)動(dòng)載荷系數(shù)的影響規(guī)律。KARPAT等從HCR齒輪時(shí)變嚙合剛度入手，通過(guò)有限元計(jì)算得到HCR嚙合剛度，建立了2自由度齒輪系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，研究了HCR齒輪系統(tǒng)的動(dòng)載特性。CHENG等建立了考慮齒面缺陷的HCR齒輪-軸承系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，研究了HCR齒輪-軸承系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性及齒面脫落故障特征。CORNELL等將HCR齒輪作為剛性慣量，考慮輪齒剛度、齒面誤差和齒輪修形的影響，分析了HCR齒輪系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。渠珍珍同時(shí)考慮齒輪副時(shí)變嚙合剛度和綜合嚙合誤差的影響，通過(guò)集中質(zhì)量法，建立了HCR行星輪系動(dòng)力學(xué)模型，對(duì)比分析了HCR行星輪系與普通重合度行星輪系的動(dòng)態(tài)特性。李發(fā)家等考慮軸承間隙、齒側(cè)間隙，建立了6自由度HCR齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，開(kāi)展了對(duì)HCR齒輪系統(tǒng)分岔、跳躍等動(dòng)力學(xué)特性的研究。李同杰等建立了HCR齒輪轉(zhuǎn)子-滾動(dòng)軸承的非線性動(dòng)力學(xué)模型，得到了HCR齒輪系統(tǒng)振動(dòng)穩(wěn)定性與系統(tǒng)參數(shù)的變化規(guī)律。章翔峰等采用有限元法計(jì)算了HCR齒輪時(shí)變嚙合剛度，并通過(guò)Newmark- -β 時(shí)間積分法計(jì)算了系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性。

綜上，目前關(guān)于HCR齒輪系統(tǒng)的研究主要關(guān)注齒側(cè)間隙、嚙合剛度、嚙合誤差等內(nèi)部激勵(lì)對(duì)其動(dòng)態(tài)特性的影響，綜合考慮軸系等構(gòu)件柔性與系統(tǒng)轉(zhuǎn)速等多重激勵(lì)耦合作用下HCR齒輪系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的變化規(guī)律尚不明晰。因此，探明不同轉(zhuǎn)速條件下HCR齒輪系統(tǒng)耦合動(dòng)態(tài)特性的演變規(guī)律，對(duì)HCR齒輪系統(tǒng)的正向設(shè)計(jì)，以及確保其安全、可靠運(yùn)行具有重要意義。本文基于勢(shì)能法，建立HCR齒輪時(shí)變嚙合剛度模型，對(duì)比分析了HCR齒輪與普通重合度齒輪時(shí)變嚙合剛度及其波動(dòng)；在此基礎(chǔ)上，考慮軸段等構(gòu)件的柔性，建立包括軸段、齒輪副、軸承等在內(nèi)的HCR齒輪系統(tǒng)耦合動(dòng)力學(xué)模型，對(duì)比了不同轉(zhuǎn)速條件下HCR齒輪系統(tǒng)與普通重合度齒輪系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。

1HCR直齒圓柱齒輪時(shí)變嚙合剛度計(jì)算模型

1.1HCR直齒圓柱齒輪單齒剛度計(jì)算模型

基于勢(shì)能法原理，將直齒圓柱齒輪輪齒等效為懸臂梁，如圖1所示。圖1中， R_int 為齒輪軸孔半徑。齒輪傳動(dòng)過(guò)程中，受法向載荷 F 的影響，輪齒沿載荷線方向發(fā)生變形，將此變形等效為沿嚙合線方向的彈簧變形。根據(jù)彈性勢(shì)能推導(dǎo)，可得到齒輪輪齒局部赫茲接觸剛度 K_h 、彎曲剛度 K_b 、剪切剛度 K_s 壓縮剛度 K_a^[11] 。

赫茲接觸剛度 K_h 為

式中， σ_v 為泊松比； E 為彈性模量； b 為齒寬。

彎曲剛度 K_b 為

式中， α₁ 為輪齒所受法向載荷與齒厚方向的夾角； I_x 為截面積慣性矩； h 為法向載荷作用點(diǎn)齒厚的一半；s 為法向載荷作用點(diǎn)沿齒高方向到齒根圓的距離；dx為沿齒高方向上的截面微元長(zhǎng)度； x 為法向載荷作用點(diǎn)到截面微元的距離。

剪切剛度 K_s 為

式中， G 為剪切模量； A_x 為積分截面積。

壓縮剛度 K_a 為

另外，在法向載荷 F 的作用下，齒輪輪體同樣會(huì)發(fā)生相應(yīng)的形變，其等效剛度 K_f 可表示為

式中， δ_f 為齒輪輪體受載產(chǎn)生的變形量[12]。

由各等效剛度，可求得直齒圓柱齒輪單齒嚙合剛度為

式中，下標(biāo)1、2分別代表主動(dòng)輪、從動(dòng)輪。

1.2HCR直齒圓柱齒輪綜合嚙合剛度計(jì)算模型

齒輪傳動(dòng)是通過(guò)輪齒交替嚙合來(lái)實(shí)現(xiàn)的。對(duì)于普通重合度齒輪，在整個(gè)齒輪嚙合過(guò)程中，至少有一對(duì)齒、至多有兩對(duì)齒在嚙合線上進(jìn)行嚙合傳動(dòng)，如圖2所示。對(duì)于HCR齒輪，由于重合度在2＼～3，整個(gè)嚙合過(guò)程是在兩對(duì)齒嚙合和3對(duì)齒嚙合之間交替進(jìn)行的，所以，至少有兩對(duì)齒、最多有3對(duì)齒在嚙合線上進(jìn)行嚙合傳動(dòng)，如圖3所示。

假設(shè)將單對(duì)輪齒間的嚙合剛度等效為串聯(lián)彈簧的剛度，將多對(duì)輪齒間嚙合剛度等效為并聯(lián)彈簧的剛度，最后通過(guò)疊加計(jì)算，便可得到齒輪副綜合嚙合剛度。普通重合度齒輪和HCR齒輪的時(shí)變嚙合剛度疊加過(guò)程分別如圖4和圖5所示。圖中， ε 為齒輪副重合度； p_b 為齒輪副基圓齒距。

基于HCR齒輪時(shí)變嚙合剛度計(jì)算模型，分別計(jì)算表1所示兩組齒輪時(shí)變嚙合剛度，計(jì)算結(jié)果如表2所示。對(duì)比分析了兩組齒輪時(shí)變嚙合剛度及其波動(dòng)的變化規(guī)律，結(jié)果分別如圖6和圖7所示。

結(jié)果表明，HCR齒輪的單齒嚙合剛度均明顯低于普通重合度齒輪。與普通重合度齒輪相比，HCR齒輪綜合嚙合剛度最大值、最小值及平均值分別提升了約 24.0% 、 59.08% 和 23.56% ；此外，與普通重合度齒輪相比，HCR齒輪綜合嚙合剛度峰峰值和剛度波動(dòng)分別下降了約21. 44% 和 13.6% 。

2直齒圓柱齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

圖8所示為直齒圓柱齒輪系統(tǒng)三維模型。直齒圓柱齒輪系統(tǒng)主要包含主動(dòng)輪、從動(dòng)輪、輸入軸、輸出軸及軸承等部分。

圖9所示為直齒圓柱齒輪系統(tǒng)有限單元模型，其主要包含以下3類(lèi)基本單元：

1.軸段單元。該單元包含的實(shí)際軸段有輸入軸、輸出軸。

2.直齒圓柱齒輪嚙合單元。該單元指齒輪副嚙合關(guān)系的等效單元。

3.軸承單元。該單元指所有軸段、軸承之間具有耦合關(guān)系的等效單元。

2.1軸段單元?jiǎng)恿W(xué)模型

考慮直齒圓柱齒輪系統(tǒng)中軸段剪切變形的影響，采用Timoshenko梁?jiǎn)卧獦?gòu)建軸段單元?jiǎng)恿W(xué)模型（圖10）。軸段單元沿軸線方向，在兩軸端離散為j和j + 1兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)均具有 x 軸、 y 軸、z軸的平移位移以及繞 x 軸、 y 軸、 z 軸的旋轉(zhuǎn)角位移等6個(gè)自由度。

兩節(jié)點(diǎn)軸段單元在空間直角坐標(biāo)系 x-y-z 下的位移為

Timoshenko梁?jiǎn)卧囊恢沦|(zhì)量矩陣為

M_s=ρAa[m_s1m_s2]

式中， ρ 為軸段材料密度； A 為軸段橫截面積； α_a 為軸段長(zhǎng)度； m_sl 、 m_s2 、 m_s3 和 m_s4 的具體表現(xiàn)形式見(jiàn)文獻(xiàn)[13]。

式中， x_j，y_j，z_j 和 x_j+1，y_j+1，z_j+ z_j+1 分別為節(jié)點(diǎn) j 和節(jié)點(diǎn)j+1 在空間直角坐標(biāo)系 x-y-z 3 個(gè)方向的平移位移；θ_xj 、 θ_yj 、 θ_zj 和 （204號(hào) θ_zj+1 分別為節(jié)點(diǎn) j 和節(jié)點(diǎn) j+1 在空間直角坐標(biāo)系 x-y-z3 個(gè)方向的旋轉(zhuǎn)角位移。

軸段單元的剛度矩陣為

式中， k_s1 、 k_s2 、 k_s3 和 k_s4 的具體表現(xiàn)形式見(jiàn)文獻(xiàn)[14]。軸段單元的阻尼矩陣可通過(guò)瑞利阻尼計(jì)算得到，其計(jì)算式為

C_s=pM_s+qK_s

式中， 分別為瑞利阻尼中的質(zhì)量比例系數(shù)和剛度比例系數(shù)，其計(jì)算式分別為

式中， ζ₁ 和 S₂ 均為阻尼系數(shù)； ω₁ 和 ω₂ 為系統(tǒng)前兩階固有頻率。

結(jié)合式（7）＼～式（11），可得到任意軸段單元?jiǎng)恿W(xué)模型，即

2.2嚙合單元?jiǎng)恿W(xué)模型

直齒輪嚙合單元?jiǎng)恿W(xué)模型如圖11所示。其中，α 為齒輪壓力角； γ 為主動(dòng)輪與從動(dòng)輪中心連線矢量與空間直角坐標(biāo)系 x 軸正方向的夾角； φ 為安裝相位角； r₁ 和 r₂ 分別為主動(dòng)輪和從動(dòng)輪的基圓半徑。

在空間直角坐標(biāo)系 x-y-z 中，齒輪嚙合單元的位移列向量 X_G^[15] 為

X_G=[x₁，y₁，z₁，θ_x1，θ_y1，θ_z1，x₂，y₂，z₂，θ_x2，θ_y2，θ_z2]

將每個(gè)齒輪的平移位移沿嚙合線方向投影，可得到直齒輪副相對(duì)總變形量δ，即

δ=V_cX_c

式中， V_G 為直齒輪副的嚙合矩陣，即

式中，“ + ”表示主動(dòng)輪逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，安裝相位角 φ= （204 α-γ ；“-”表示主動(dòng)輪順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，安裝相位角φ=α+γ

根據(jù)牛頓第二定律，嚙合單元的運(yùn)動(dòng)微分方程為

式中， 分別為主、從動(dòng)輪的質(zhì)量； I_x1 、 I_y1 、 I_z1 分別為主動(dòng)輪繞空間直角坐標(biāo)系 x 、 y 、 z 三個(gè)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量； I_x2 、 I_y2 、 I_z2 分別為從動(dòng)輪繞空間直角坐標(biāo)系 1 z 三個(gè)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量； 1 分別為主、從動(dòng)輪旋轉(zhuǎn)的角速度； f_s 為齒輪副法向力； k_m 為齒輪副嚙合剛度； c_m 為齒輪副嚙合阻尼。

結(jié)合式（13）＼～式（16），直齒輪嚙合單元?jiǎng)恿W(xué)模型的矩陣形式為

式中， K_G 、 C_G 和 M_G 分別為齒輪嚙合單元的剛度矩陣、阻尼矩陣和質(zhì)量矩陣，具體表現(xiàn)形式見(jiàn)文獻(xiàn)[17]。其中，HCR齒輪系統(tǒng)剛度可由第1.2節(jié)中HCR直齒圓柱齒輪時(shí)變嚙合剛度計(jì)算模型計(jì)算得到。 F_G 為齒輪嚙合單元外部激勵(lì)力列向量，即

F_c=[0，0，0，T₁，0，0，0，T₂]^T

式中， T_?1 為齒輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)輸入轉(zhuǎn)矩； T₂ 為齒輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)輸出轉(zhuǎn)矩。

2.3軸承單元?jiǎng)恿W(xué)模型

齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)中，齒輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)與箱體通過(guò)軸承耦合在一起。將軸承等效為具有剛度-阻尼的彈簧單元，其等效動(dòng)力學(xué)模型如圖12所示。

圖12中， K_B 和 C_B 分別為軸承支撐節(jié)點(diǎn) k 的剛度矩陣和阻尼矩陣。阻尼矩陣與剛度矩陣具有相同的結(jié)構(gòu)形式。 K_B 的表達(dá)式為

式中， k_xx 、 k_yy 分別為空間直角坐標(biāo)系 x 方向和 y 方向的徑向剛度； k_zz 為空間直角坐標(biāo)系 z 方向的軸向剛度； k_θxθx，k_θyθy 分別為空間直角坐標(biāo)系 x 方向和 y 方向的扭轉(zhuǎn)剛度。

為了簡(jiǎn)化計(jì)算，假定直齒圓柱齒輪系統(tǒng)中軸承支承剛度為定剛度。根據(jù)牛頓-歐拉法，軸承單元的動(dòng)力學(xué)模型為

式中， M_B ！ X_B 分別為節(jié)點(diǎn) n 的質(zhì)量矩陣和位移矩陣。

2.4齒輪系統(tǒng)耦合動(dòng)力學(xué)模型

圖13為直齒圓柱齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型和節(jié)點(diǎn)分布圖。依據(jù)直齒圓柱齒輪系統(tǒng)各構(gòu)件間裝配關(guān)系及裝配順序，按圖14所示規(guī)則將軸段單元、齒輪嚙合單元及軸承單元等基本單元進(jìn)行組裝，得到的系統(tǒng)整體的動(dòng)力學(xué)方程18]為

式中， F（t） 為系統(tǒng)外部激振力； M 、 X（t） 、 c 和 K 分別為齒輪系統(tǒng)整體的質(zhì)量矩陣、位移矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣。

3HCR齒輪系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性分析

3.1不同轉(zhuǎn)速條件下系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)嚙合力

在轉(zhuǎn)速?gòu)?1000～15000r/min 變化的過(guò)程中，HCR齒輪系統(tǒng)與普通重合度齒輪系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)嚙合力有效值（RootMeanSquare，RMS）及峰峰值如圖15所示。

由圖15可知，在不同轉(zhuǎn)速下，HCR齒輪系統(tǒng)嚙合力RMS值及峰峰值均較普通重合度齒輪有顯著下降。在 3000r/min 時(shí)，HCR齒輪系統(tǒng)嚙合力RMS值及峰峰值下降幅度最大，分別為 20.39% 和75. 61% 。

3.2不同轉(zhuǎn)速條件下系統(tǒng)的振動(dòng)加速度

在箱體上設(shè)置4個(gè)測(cè)點(diǎn)，均位于其對(duì)應(yīng)軸承位置的箱體正上方（沿 X 方向的箱體表面），具體位置如圖16所示。

在轉(zhuǎn)速?gòu)?1000～15000r/min 變化的過(guò)程中，HCR齒輪系統(tǒng)與普通重合度齒輪系統(tǒng)4個(gè)測(cè)點(diǎn)處的振動(dòng)加速度RMS值及峰峰值分別如圖17＼～圖24所示。

由圖17和圖18可知，對(duì)于測(cè)點(diǎn)1，HCR齒輪系統(tǒng)振動(dòng)加速度較普通重合度齒輪系統(tǒng)振動(dòng)加速度顯著下降。在 3000r/min 時(shí)，HCR齒輪系統(tǒng)振動(dòng)加速度RMS值及峰峰值下降幅度最大，在 X 方向上分別下降了 75.56% 和 67.14% ；在Y方向上分別下降了76. 97% 和 75.12% 。

由圖19和圖20可知，對(duì)于測(cè)點(diǎn)2，HCR齒輪系統(tǒng)振動(dòng)加速度較普通重合度齒輪系統(tǒng)振動(dòng)加速度顯著下降。在 3000r/min 時(shí)，HCR齒輪系統(tǒng)振動(dòng)加速度RMS值及峰峰值下降幅度最大，在 X 方向上分別下降了 76.66% 和 69.08% ；在Y方向上分別下降了78.75% 和77. 43% ○

由圖21和圖22可知，對(duì)于測(cè)點(diǎn)3，HCR齒輪系統(tǒng)振動(dòng)加速度較普通重合度齒輪系統(tǒng)振動(dòng)加速度顯著下降。在 3000r/min 時(shí)，HCR齒輪系統(tǒng)振動(dòng)加速度RMS值及峰峰值下降幅度最大，在 X 方向上分別下降了 80.98% 和 69.81% ；在Y方向上分別下降了76.97% 和75. 12% 。

由圖23和圖24可知，對(duì)于測(cè)點(diǎn)4，HCR齒輪系統(tǒng)振動(dòng)加速度較普通重合度齒輪系統(tǒng)振動(dòng)加速度顯著下降。在 3000r/min 時(shí)，HCR齒輪系統(tǒng)振動(dòng)加速度RMS值及峰峰值下降幅度最大，在 X 方向上分別下降了 82.09% 和 76.45% ；在Y方向上分別下降了78.75% 和77. 43% 。

4結(jié)論

1）與普通重合度齒輪副相比，HCR齒輪副具有更高的重合度，工作過(guò)程中有更多輪齒參與嚙合傳動(dòng)并共同分擔(dān)載荷。因此，HCR齒輪副擁有更小的單齒嚙合剛度和更高的綜合嚙合剛度，且嚙合剛度的波動(dòng)程度更小，降低了由嚙合剛度激勵(lì)引起的系統(tǒng)振動(dòng)。

2）與普通重合度齒輪系統(tǒng)相比，在不同轉(zhuǎn)速條件下，HCR齒輪系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)嚙合力的RMS值和峰峰值以及各測(cè)點(diǎn)處振動(dòng)加速度的RMS值和峰峰值均顯著下降。

3）當(dāng)轉(zhuǎn)速為 3000r/min 時(shí)，HCR齒輪副動(dòng)態(tài)嚙合力的RMS值及其峰峰值的降幅最大，分別為20.39% 和 75.61% ；當(dāng)轉(zhuǎn)速為 1000r/min 時(shí)，HCR齒輪副動(dòng)態(tài)嚙合力的RMS值降幅達(dá)到最小，即 9.10% 當(dāng)轉(zhuǎn)速為 5000r/min 時(shí)，HCR齒輪副動(dòng)態(tài)嚙合力的峰峰值降幅達(dá)到最小，即 3.97% ○

4）當(dāng)轉(zhuǎn)速為 3000r/min 和 11000r/min 時(shí)，測(cè)點(diǎn)4的 X 方向上振動(dòng)加速度的RMS值降幅分別達(dá)到最大和最小，分別為 82.09% 和 8.91% ；當(dāng)轉(zhuǎn)速為 3000r/min 時(shí)，測(cè)點(diǎn)2在 Y 方向上振動(dòng)加速度的峰峰值降幅達(dá)到最大，即 77.43% ；當(dāng)轉(zhuǎn)速為15000r/min 時(shí)，測(cè)點(diǎn)2在 X 方向上振動(dòng)加速度的峰峰值降幅達(dá)到最小，即 5.77% 。

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Analysis of coupling dynamic characteristics of the high contact ratio spur gearsystem

HAN Peng1，2 CHEN Songlin3LI Fang4ZHANG Chongyang12SHU Ruizhi3WEI Jing5 （1.State Key Laboratoryof Intelligent Mining Equipment Technology，Taiyuan O3oooo，China） （2.Shanxi Taizhong Intelligent Mining Equipment Technology Co.，Ltd.，Taiyuan O3oooo，China） （3.College of Mechanical Engineering，Chongqing University ofTechnology， Chongqing 40o054， China） （4.AECC Shenyang Engine Research Institute，Shenyang 11oo15，China） e KeyLaboratoryof Mechanical Transmission forAdvanced Equipment， Chongqing University，Chongqing 4004，China

Abstract：[Objective]Thehighcontactratio（HCR）gearpairbasicalldoes notneed toincreasetheweightofthegeardevicetoachieveanincreaseincarryingcapacityandasmoothertransmisson.Therefore，theuseofHCRgears insteadofordinarygears inthetransmisionsystemwas proposedtoimprovetheloadcarryingcapacityofthegearsystemandreducethevibrationofthesystem.[Methods]Basedonthepotentialenergymethod，thetime-varying meshingstiffesscalculationmodelof HCR gear wasestablishd，andthetime-varyngmeshingstiffnessandstfessfluctuationbetweenHCRgearandordinaryontactratio gearwerecompared.Thedynamic modelofHCRgearsystem，includingshaftsegment，spurgearpairandbearing， was establishedbythefinite element method.ThedynamiccharacteristicsoftheHCRgearsystemandordinarycontactratio gearsystem werecomparedindiferent spedconditions.[Results]Theresultsshowthatcompared with theordinarycontactratiogear，teomreesiemingssofCRgeariigiantlcrasdndtsfuctatioisialy decreased.Theroot meansquareandpeak-to-peak valuesofdynamicmeshingforceand vibrationaccelerationofHCR gearsystemdecrease significantlyunder different speed conditions.

Keywords：High contact ratio;Time-varying meshing stiffness;Dynamic characteristic：