初中平面直角坐標(biāo)系新定義試題例析

1基于距離坐標(biāo)定義的平面幾何問(wèn)題

如圖1，在平面中有兩條直線 l₁ 和 l₂ ，其相交于點(diǎn) o ，在平面上存在點(diǎn) M ，點(diǎn) M 到直線 l₁ 和 l₂ 的距離分別是 Σ_P 和q ，則定義有序非負(fù)實(shí)數(shù)對(duì)（Π_P，q） 為點(diǎn) M 的“距離坐標(biāo)”

根據(jù)上述定義，有以下幾個(gè)結(jié)論： ① “距離坐標(biāo)”是（0，2）的點(diǎn)有1個(gè)； ② “距離坐標(biāo)”是（3，4）的點(diǎn)有4個(gè)；③ “距離坐標(biāo)” 滿足 p=q=0 的點(diǎn)有4個(gè).其中正確的有 （填序號(hào)）.

解析： ① 錯(cuò)誤，“距離坐標(biāo)”為（0，2）的點(diǎn)有且僅有2個(gè)； ② 正確，4個(gè)交點(diǎn)為與直線 l₁ 相距為3的兩條平行線和與直線 l₂ 相距為4的兩條平行線的交點(diǎn)； ③ 錯(cuò)誤，“距離坐標(biāo)” （Π_P，q） 滿足 p=q=0 的點(diǎn)，即“距離坐標(biāo)”為（0，0）的點(diǎn)有且只有1個(gè).故填 ②

試題分析：該試題類型基于對(duì)平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)到直線距離的重新定義，探索點(diǎn)的“距離坐標(biāo)”概念.通過(guò)引入距離坐標(biāo) （Π_P，q） ，考查點(diǎn)到兩條相交直線的距離關(guān)系，并要求學(xué)生運(yùn)用幾何直觀和邏輯推理，識(shí)別不同情況下的點(diǎn)的數(shù)量及其性質(zhì).具體來(lái)說(shuō)，題目要求根據(jù)距離坐標(biāo)的定義，判斷不同條件下的點(diǎn)的數(shù)量，涉及距離的幾何特性、平行線的關(guān)系及直線相交的性質(zhì).這樣的題目不僅能幫助學(xué)生理解幾何概念，還能鍛煉他們的抽象思維和空間想象能力.

解題時(shí)，首先需要明確距離坐標(biāo)的定義以及點(diǎn)與直線之間的距離公式.在本題中，解題的關(guān)鍵在于分析給定的距離坐標(biāo) （Π_P，q） 所對(duì)應(yīng)的幾何意義.例如，對(duì)于“距離坐標(biāo)”為（0，2）的點(diǎn)，表示該點(diǎn)在直線 l₁ 上，且距離直線 l₂ 的距離為2.因此，只有兩點(diǎn)滿足這一條件，為直線 l₂ 上距離 l₁ 為2的點(diǎn).對(duì)于“距離坐標(biāo)”為（3，4）的點(diǎn)，可將其視為上述四條直線與 l₁ 平行的兩條直線和與 l₂ 平行的兩條直線的交點(diǎn)，4個(gè)交點(diǎn)即為與線的交點(diǎn)，符合題意.最后，處理 p=q=0 的情況時(shí)， O 是唯一的交點(diǎn)，因此只能有1個(gè)“距離坐標(biāo)”為（0，0）的點(diǎn).通過(guò)對(duì)每個(gè)條件的幾何分析與邏輯推理，學(xué)生能夠清晰辨別出正確選項(xiàng)，進(jìn)一步深化對(duì)平面幾何的理解.

在這個(gè)問(wèn)題中，考生需要綜合運(yùn)用幾何知識(shí)、邏輯推理及空間想象能力，深入理解距離坐標(biāo)的幾何意義，掌握平面幾何中點(diǎn)、直線與距離之間的關(guān)系.這種新定義的試題類型不僅促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，也增強(qiáng)了他們解決復(fù)雜幾何問(wèn)題的能力[1].

2基于“t 型平移”定義的平面幾何問(wèn)題

在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，我們針對(duì)任意圖形 G 及其上的點(diǎn) P（x，y） 給出如下定義：將點(diǎn) P 的坐標(biāo)變換為 P^′（x+t，y-t） 的過(guò)程稱為“ t 型平移”，其中 P^′ 表示變換后的對(duì)應(yīng)點(diǎn).當(dāng)圖形 G 的所有點(diǎn)都實(shí)施這種坐標(biāo)變換時(shí)，稱為圖形 G 的“ t 型平移”變換.具體示例：若點(diǎn) P（x，y） 經(jīng)變換得到 P^′（x+1，y-1） ，即為“1型平移\"變換；若變換結(jié)果為 P^′（x-1，y+1） ，則屬于4 -1 型平移\"變換.現(xiàn)給出了兩個(gè)定點(diǎn) A（1，1） 和 B （3，1）作為研究對(duì)象.

（1）將點(diǎn) A（1，1） 進(jìn)行“1型平移”后的對(duì)應(yīng)點(diǎn) A^′ 的坐標(biāo)為

（2） ① 將線段 AB 進(jìn)行“一1型平移\"后得到線段A^′B^′ ，點(diǎn) P₁（2，3），P₂（1.5，2），P₃（3，0） 中，在線段A^′B^′ 上的點(diǎn)是 ；② 若將線段 AB 進(jìn)行“ t 型平移”后得到的線段與坐標(biāo)軸有公共點(diǎn)，則 Ψ_t 的取值范圍是

解析：（1）將點(diǎn) A（1，1） 進(jìn)行“1型平移”后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A^′ 的坐標(biāo)為 （1+1，1-1） ，即為（2，0）.

（2） ① 如圖2，將線段 AB 進(jìn)行“ -1 型平移”后得到線段 A^′B^′ ，點(diǎn) P₁（2，3），P₂（1.5，2），P₃（3，0） 中，在線段 A^′B^′ 上的點(diǎn)是 P₂.（2）-3?t?-1 或 t=1

試題分析：該試題類型以“ t 型平移”作為核心概念，探討在平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)及圖形的平移性質(zhì).題目要求學(xué)生理解和應(yīng)用新定義的平移規(guī)則，具體分析平移后點(diǎn)和線段的坐標(biāo)變化，以及判斷某些特定點(diǎn)是否在線段上.這種題型不僅考查學(xué)生的計(jì)算能力，還鍛煉了他們對(duì)幾何圖形性質(zhì)的理解與應(yīng)用能力.

解題的第一步是明確“ t 型平移”的定義，進(jìn)行簡(jiǎn)單的坐標(biāo)運(yùn)算.對(duì)于點(diǎn) A（1，1） 進(jìn)行“1型平移”，根據(jù)定義，計(jì)算得到對(duì)應(yīng)點(diǎn) A^′ 的坐標(biāo)為（2，0）.接下來(lái)，針對(duì)線段 _AB 進(jìn)行“一1型平移”，要找出新線段 A^′B^′ 上的點(diǎn).通過(guò)計(jì)算得出線段 A^′B^′ 的方程，再逐個(gè)代入點(diǎn)P₁，P₂ 和 P₃ 的坐標(biāo)，判斷哪些點(diǎn)在線段上.最后，若要使線段與坐標(biāo)軸有公共點(diǎn)，需考慮線段與 x 軸、 y 軸的交點(diǎn)，通過(guò)設(shè)置不等式求解出 Ψ_t 的取值范圍.這一過(guò)程融合了坐標(biāo)變換與幾何分析，有助于加深對(duì)平面直角坐標(biāo)系中圖形變換的理解.

3平面直角坐標(biāo)系中的“等距點(diǎn)”問(wèn)題

在二維直角坐標(biāo)系中，如果點(diǎn)P 到 x 軸和 軸的距離中較大者等于點(diǎn) Q 到 x 軸和 y 軸的距離中的較大值，則稱 P 和 Q 為“等距點(diǎn)”如圖3所示.

（1）已知點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 （-3，1）

① 則在 E（0，3），F(xiàn)（3，-3），G（2，-5） 三點(diǎn)中，為點(diǎn) A 的“等距點(diǎn)”的是 ；

② 若點(diǎn) B 的坐標(biāo)為 （m，m+6） ，且 A，B 兩點(diǎn)為“等距點(diǎn)”，則點(diǎn) B 的坐標(biāo)為

（2）若 T₁（-1，-k-3），T₂（4，4k-3） 兩點(diǎn)為“等 距點(diǎn)”，求 k 的值.

解析： （1）E，F(xiàn);（-3，3）

（2）根據(jù)題意，分情況討論： ① 若 ∣4k-3∣?4 ，則 4=∣-k-3∣ ，即 4=-k-3 或 -4=-k-3 ，解得 k= -7 （不合題意，舍去）或 k=1.② 若 ∣4k-3∣gt;4 ，則 ∣4k-3∣=∣-k-3∣ ，解得 k=2 或 k=0 （不合題意，舍去）.

綜上所述， k 的值是1或2.

試題分析：此類試題主要探討“等距點(diǎn)”在平面直角坐標(biāo)系中的定義與性質(zhì)，重點(diǎn)考查點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離關(guān)系.題目通常給定一個(gè)或多個(gè)已知點(diǎn)，要求學(xué)生根據(jù)“等距點(diǎn)”的定義，找出滿足條件的點(diǎn)或推導(dǎo)相關(guān)坐標(biāo).此類型的試題不僅考查學(xué)生對(duì)坐標(biāo)系的理解，也涉及絕對(duì)值的運(yùn)算和不等式的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力.

解題時(shí)，首先要明確“等距點(diǎn)”的定義，即比較兩點(diǎn)到坐標(biāo)軸的最大距離.解題過(guò)程可以分為兩步：一是對(duì)已知點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行分析，計(jì)算其到坐標(biāo)軸的距離；二是根據(jù)題意設(shè)定變量，利用絕對(duì)值的性質(zhì)分情況討論，確保涵蓋所有可能的情況.對(duì)于如k值求解的題目，通過(guò)建立方程，逐步化簡(jiǎn)并解出k，確保每一步都符合題意，最終得出有效解.此過(guò)程可增強(qiáng)學(xué)生的邏輯思維能力和抽象思維能力，適合通過(guò)實(shí)例進(jìn)行深入學(xué)習(xí)與討論.

4平面直角坐標(biāo)系中的“近似距離”問(wèn)題

在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于任意兩點(diǎn) P₁（x₁，y₁） 與 P₂（x₂，y₂） 的“近似距離”，給出如下定義：若∣x₁-x₂∣?∣y₁-y₂∣ ，則點(diǎn) P₁（x₁，y₁） 與 P₂（x₂，y₂） （204號(hào)的\"近似距離”為 ；若 ∣x₁-x₂∣lt;∣y₁-y₂∣ ，則點(diǎn) P₁（x₁，y₁） 與 P_：（x_：，y_：） 的\"近似距離\"為 ∣y₁-y₂∣ ：

（1）已知點(diǎn) P（-3，5），Q（1，0） ，求點(diǎn) P 與點(diǎn) Q 的 “近似距離”

（2）已知點(diǎn) A（0，-2），B 為 x 軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

① 若點(diǎn) A 與點(diǎn) B 的“近似距離”為4，試求出滿足條件的點(diǎn) B 的坐標(biāo)；

② 求點(diǎn) A 與點(diǎn) B 的“近似距離”的最小值.

解析：（1）依題， |-3-1|lt;|5-0|=5 ，所以點(diǎn) P 與點(diǎn) Q 的“近似距離”為5.

（2） ① 因?yàn)?B 為 x 軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，所以設(shè)點(diǎn) B 的坐標(biāo)為 （x，0） .又因?yàn)?A，B 兩點(diǎn)的“近似距離”為4，點(diǎn) A（0，-2），|-2-0|=2 ，所以 ∣0-x∣=4 ，解得 x=4 或 x=-4. 所以點(diǎn) B 的坐標(biāo)為（4，0）或 （-4，0）

② 設(shè)點(diǎn) B 的坐標(biāo)為 ^{（a，0）} ，則 |-2-0|=2，|0-a|= ∣a 1.若 |a|gt;2 ，則 A，B 兩點(diǎn)的“近似距離”為 ∣α∣ ；若 |a|?2 ，則 A，B 兩點(diǎn)的“近似距離”為2.所以 A，B 兩 點(diǎn)的“近似距離”的最小值為2.

試題分析：在平面直角坐標(biāo)系中，針對(duì)兩點(diǎn)間的“近似距離”定義，主要通過(guò)比較兩點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)差值，形成一種新的距離度量方式.此類題目一般分為兩類，一類是直接計(jì)算兩點(diǎn)間的“近似距離”，另一類則涉及條件變化，要求找到滿足特定“近似距離”條件的點(diǎn).這種定義不僅擴(kuò)展了傳統(tǒng)距離的概念，也引導(dǎo)學(xué)生深入思考點(diǎn)之間的相對(duì)位置關(guān)系.

解題思路方面，首先需要明確兩點(diǎn)的坐標(biāo)和相關(guān)的“近似距離”條件.針對(duì)第（1）問(wèn)，利用點(diǎn) P 和點(diǎn) Q 的坐標(biāo)，首先計(jì)算橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)之間的差值，并判斷其大小關(guān)系，從而確定所求的“近似距離”對(duì)于第（2）問(wèn)，設(shè)定動(dòng)點(diǎn) B 的坐標(biāo)形式，借助“近似距離”的定義，通過(guò)方程轉(zhuǎn)化為絕對(duì)值的求解，進(jìn)而找出所有符合條件的坐標(biāo).最后，在尋找“近似距離”最小值時(shí)，學(xué)生需要綜合考慮不同情況下的結(jié)果，深入理解條件變化對(duì)距離計(jì)算的影響.這種研究不僅幫助學(xué)生掌握坐標(biāo)系的基本概念，還提高了他們的邏輯思維能力和解決實(shí)際問(wèn)題的能力[2].

參考文獻(xiàn)：

[1]姜曉翔.生長(zhǎng)：初中數(shù)學(xué)試題命制的價(jià)值取向 -一道新定義試題的命制與感悟[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2023（8）：49-52.

[2]秦國(guó)珍.命制“新定義”類試題，促進(jìn)初中學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提升[J].數(shù)理天地（初中版），2024（17）：18-19.