翻折疊，抓“不變”

例1如圖1所示，在等邊 ΔABC 中，點(diǎn) D，E 分別為邊 AB，AC 上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足DE//BC，記BC=λ，將△ADE 沿DE 翻折到△MDE的位置，使得平面MDE ⊥ 平面DECB，連接MB，MC，如圖2所示， N 為 MC 的中點(diǎn).

（1）當(dāng) EN //平面MBD時(shí)，求 λ 的值.

（2）隨著 λ 值的變化，二面角 B-MD-E 的大小是否改變？若是，請(qǐng)說明理由；若不是，請(qǐng)求出二面角 B-MD-E 的正弦值.

分析策略本題考查與翻折有關(guān)的線面平行的判定，即利用空間向量求解空間角的問題，難度適中.第（1）問中，解題關(guān)鍵在于將等邊三角形翻折后，原來(lái)的 DE//BC 條件保持不變.取 MB 的中點(diǎn)P ，利用中位線定理與線線平行判定定理即可證明四邊形NEDP是平行四邊形，從而求得 λ 的值.

第（2）問中，重點(diǎn)要選取合適的原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，一般在等腰三角形中選取三線合一的點(diǎn)作為坐標(biāo)系的原點(diǎn)，且有條件平面MDE ⊥ 平面DECB成立，因此取 ED 的中點(diǎn) O 建立空間直角坐標(biāo)系.接著分別求出平面BMD的一個(gè)法向量與平面EMD的一個(gè)法向量，由兩個(gè)法向量所成角的余弦值為定值，可知二面角 B-MD-E 的大小與 λ 的值無(wú)關(guān)，進(jìn)一步利用公式即可求出其正弦值.

解 （1）取 MB 的中點(diǎn) P ，連接 DP ， NP ，又 N 為 MC 的中點(diǎn)，因此 NP//BC 且 又因?yàn)?DE//BC ，有 NP//DE .所以 N，P，D，E 四點(diǎn)共面，因?yàn)?EN /平面MBD， EN? 平面 NEDP ，平面MBD n 平面 NEDP=DP ·因此 EN//DP 由此四邊形NEDP為平行四邊形，所以 NP=DE 又 所以 業(yè)

（2）取 ED 的中點(diǎn) O ，連接 MO ，則 MO⊥DE 因?yàn)槠矫?MDE⊥ 平面 DECB ，平面MDE ∩ 平面DECB=DE . MO? 平面 MDE ，所以 MO⊥ 平面DECB，如圖3所示，可建立空間直角坐標(biāo)系，

不妨設(shè) BC=2 ，則 ， D（λ，0，0） ， ，所以 ， 設(shè)平面 MBD 的一個(gè)法向量為 m=（x，y，z） ，則 即 令 ，所以 ，由題意可知， n=（0，1，0） 為平面MDE的一個(gè)法向量，設(shè)二面角 B-MD-E 的平面角為 θ ，則 因此 所以二面角 B-MD-E 的正弦值為

例2如圖4所示，等邊三角形 ABC 的邊長(zhǎng)為^4，E 為邊 AB 的中點(diǎn)， ED⊥AC 于點(diǎn) D ，將 ΔADE 沿 DE 翻折至 ΔA₁DE 的位置，連接 A₁C .那么在翻折過程中，四棱錐 A₁-BCDE 的體積最大值為（）

分析策略 本題主要考查與翻折有關(guān)的線線垂直、錐體體積問題，難度適中.通過閱讀題目可判斷出當(dāng)平面 A₁DE⊥ 平面BCDE時(shí)，四棱錐 A₁-BCDE的體積最大.以平面BCDE為底面，推測(cè)邊A₁D 為四棱錐的高，因此需證明 A₁D⊥ 平面BCDE，根據(jù)翻折后圖形性質(zhì)不變，可知 A₁D⊥ DC ，再根據(jù)線面垂直判定定理，因 A₁D⊥DC .A₁D⊥DE，A₁D 與平面BCDE內(nèi)的兩條相交直線都垂直，因此 A₁D⊥ 平面BCDE得證.再由等邊三角形 ABC 的邊長(zhǎng)為 ^4，E 為邊 AB 的中點(diǎn)以及垂直條件即可求出四棱錐 A₁-BCDE 的體積.

解當(dāng)平面 A₁DE⊥ 平面 BCDE 時(shí)，四棱錐

A₁-BCDE 的體積最大，因?yàn)?AC⊥DE ，所以 A₁D⊥DE，CD⊥DE 所以 ∠A₁DC 為二面角 A₁-DE-C 的平面

角，此時(shí) ∠A₁DC=90^° ，即 A₁D⊥DC ，又 A₁D⊥DE，DC∩DE=D，DC，DE? 平面

BCDE 所以 A₁D⊥ 平面 BCDE ，即 A_iD 為四棱錐底

面 BCDE上的高，過點(diǎn) B 作 BF⊥AC ，交 AC 于點(diǎn)

F ，則 ，因?yàn)?E 為邊 AB 的中點(diǎn)，易知此時(shí) . AE=2 由勾股定理可知， AD=A₁D=1 ，所以四棱錐 A₁-BCDE 的體積的最大值為 因此選項(xiàng)（B）正確.

結(jié)語(yǔ)

綜上所述，有關(guān)立體幾何中翻折問題的考查，其本質(zhì)均在于善于抓住圖形中“不變”的角度或是邊長(zhǎng)，再由立體幾何中的相關(guān)定理性質(zhì)作出判斷.因此這就要求學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)能夠做到融會(huì)貫通，綜合掌握.同時(shí)，在日常練習(xí)中，要學(xué)會(huì)舉一反三，拓展思維能力，進(jìn)而發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng).