關于立體幾何翻折問題的教學探究

立體幾何是高中數(shù)學的重點知識，其中的翻折問題在高考中十分常見，知識考點涉及點、線、面的位置關系分析，以及空間角的計算等.該類問題解析的關鍵是把握翻折前后不變的位置關系、數(shù)量關系，后續(xù)合理引入參數(shù)，利用方程思想構建解題思路.

1策略講解，分步構建

立體幾何中的翻折問題，屬于幾何動態(tài)問題，難點是不變量和不變關系的提取，教學中建議引導學生梳理解題策略，分步構建.

1. 1 解題策略

解析立體幾何翻折問題，有兩大解題策略，包括翻折前后“變量”與“不變量”關系的分析，翻折后關鍵點的位置確定.

策略1“變量”與“不變量”分析

解析過程關注翻折前后的“變量”與“不變量”關系，重點是幾何位置和數(shù)量關系.建議以折痕為對稱軸，探查軸兩側的位置與數(shù)量關系，可引人對稱思想來提取等線段、等角條件.對于“不變量”，可構建平面模型，利用平面幾何知識解析；對于“變量”，則可構建空間模型，利用立體幾何知識分析.

策略2 翻折后的關鍵點確定

翻折后的關鍵點可作為翻折問題的切入點，利用運動變化點、結構關聯(lián)點，關鍵點往往串聯(lián)了點、線、面的聯(lián)動.解析時可重點分析關鍵點，提取其中的位置與數(shù)量條件，再結合幾何知識建模求解.

1. 2 分步構建

立體幾何翻折問題，需要把握其中的翻折過程，可分三步進行構建突破，教學中可以結合圖1來具體講解.

2 示例指導，過程構建

立體幾何翻折問題探究過程中，建議結合實例指導學生逐步分析，解析教學可分兩個階段：階段1，整合問題，梳理思維導圖，引導學生明晰問題的推理過程和思路方法；階段2，過程構建，詳解講解解題過程.具體教學中，建議結合典型問題深入講解.

例題如圖 2-① 所示的平面圖形由三個特殊圖形組成，即矩形 ADEB，RtΔABC 和菱形BFGC，AB長為 _1，BE 與 BF 相等均為 2，∠FBC 大小為 60^°. 將該平面圖形沿著線段 AB 和 BC 折起來，使得 BE 與 BF 重合在一起，再連接線段 DG ，如圖 2-②

（1）試證明圖 2-② 中的 A，C，G，D 四個點在同一平面內，并且平面 ABC 與平面BCGE為垂直關

系；

（2）試求圖 2-② 中二面角 B-CG-A 的大小.

思路引導上述為幾何綜合題，以平面圖形為基礎通過翻折來構建立體幾何，題設兩問，涉及了位置關系證明和二面角的求值.教學中建議參考圖3進行思維引導，從問題條件出發(fā)，結合幾何定理來探索構建.

過程構建 （1）分析題設條件，可得 AD 與BE平行， CG 與 BE 平行，則 AD//CG ，所以可確定AD，CG 在同一平面，則 A，C，G，D 四個點在同一平面內.

由題設條件可知 AB 與 BE 垂直， _AB 與 BC 垂直，同時有 BE 與 BC 相交于點 B，BE，BC 均在平面BCGE內，可推知 _AB 垂直于平面BCGE.又因為AB 在平面 ABC 內，所以可證明平面ABC與平面BCGE為垂直關系.

（2）利用空間向量法求二面角的平面角，先建立模型后計算.

作 EH⊥BC ，設垂足為點 H .因為 EH 在平面BCGE內，平面BCGE與平面 ABC 為垂直關系，平面BCGE與平面ABC相交于 BC ，從而可推知 EH 與平面ABC垂直.而菱形BCGE邊長為 2，∠EBC 為 60^° ，可得 BH 長為 1，EH 長為 ：

如圖4所示建立空間直角坐標系，其中 H 為坐標原點， 的方向為 x 軸的正方向.

則

設 n=（x，y，z） 為平面 ACGD 的法向量，則 可取 取 m=（0，1，0） 為平面BCGE 的法向量，則 所以二面角 B-CG-A 的大小為 30^°

解后總結 以折疊為基礎構建的立體幾何問題，理清其中的折疊過程是關鍵，需要關注其中的平行與垂直關系，提起其中的折變與不變的關系，尤其是隱含的垂直關系.另外，空間幾何中的線與線，線與面、面與面的垂直關系可相互轉化，證明時可基于空間幾何的“垂直定理”來推理.

3結語

對于立體幾何折疊問題探究，教師可參考上述總結的解析策略和分步構建方法，結合實例梳理構建思維導圖，引導學生整合條件，結合定理推導計算.教學過程中，注意學生的思維引導，可以合理設問引導學生思考.另外，探究過程需注意方法總結，讓學生反思過程，總結解題技巧.