從中考數(shù)學(xué)試題談初三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)

基于新課標(biāo)理念的貫徹實施，近年中考數(shù)學(xué)試卷呈現(xiàn)出以下改革特征與命題趨勢：試卷秉持素養(yǎng)導(dǎo)向的命題思想，采用“基礎(chǔ)性”與“情境性”相結(jié)合的考查方式，實現(xiàn)從傳統(tǒng)解題能力測試向?qū)嶋H問題解決能力的轉(zhuǎn)變，充分體現(xiàn)新時代教育評價改革要求.作為義務(wù)教育階段的核心基礎(chǔ)課程，初中數(shù)學(xué)教學(xué)通過科學(xué)調(diào)控試卷難度結(jié)構(gòu)，有效發(fā)揮中考試題對教學(xué)改革的導(dǎo)向作用，重點考查學(xué)生“四基”“四能\"的掌握情況，特別強調(diào)在真實情境中檢驗數(shù)學(xué)閱讀理解與實踐應(yīng)用能力.本文通過宏觀試卷分析與典型試題案例研究相結(jié)合的方法，深入探討初三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)的優(yōu)化路徑：既要夯實基礎(chǔ)知識體系，又要發(fā)展高階思維能力；既要注重知識遷移應(yīng)用，又要滲透數(shù)學(xué)審美教育，最終促進學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的全面發(fā)展.

1中考數(shù)學(xué)卷的宏觀分析

1.1注重挖掘教材資源

作為課程標(biāo)準(zhǔn)的具體呈現(xiàn)和中考命題的基礎(chǔ)資源，教材在數(shù)學(xué)教學(xué)中具有雙重核心價值：其一，中考數(shù)學(xué)試卷通過對教材素材的創(chuàng)造性改編，如例題變式、習(xí)題整合、情境轉(zhuǎn)化等，既保持了試題的公平性和可測性，又體現(xiàn)了命題的創(chuàng)新性；其二，教材的示范功能要求教師深人研讀并充分利用其資源體系，包括單元導(dǎo)引、例題示范、習(xí)題系統(tǒng)以及“做一做\"\"想一想\"等拓展欄目.這些經(jīng)過系統(tǒng)設(shè)計的教學(xué)要素不僅能拓展學(xué)生的認知視野，更能增強數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的實踐性和趣味性.[因此，教師應(yīng)當(dāng)著力提升基于教材的課程資源開發(fā)能力，實現(xiàn)從“教教材\"到“用教材教\"的專業(yè)轉(zhuǎn)變。

1.2充分體現(xiàn)以學(xué)生為本

試卷的命題語言表述清晰，沒有干擾學(xué)生思考的多余情境，但又體現(xiàn)了數(shù)學(xué)源于生活又應(yīng)用于生活，讓每個學(xué)生體會試題的價值.其特色主要體現(xiàn)在以下三個方面：一是以生活元素為背景，減輕學(xué)生認知負擔(dān).試卷的命題語言表達貼近學(xué)生生活，題目直觀自然，都是學(xué)生熟悉的生活情境.學(xué)生置身于這樣的場景中，能夠降低考試帶來的緊張感，有利于發(fā)揮出最佳水平.二是以操作性描述為準(zhǔn)則，減少學(xué)生審題干擾.試卷非常重視題干表述的嚴(yán)謹(jǐn)性與靈活性.對操作題進行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)拿枋?，使學(xué)生可以按照描述進行實際操作，從而加深對題目的理解，避免審題干擾.三是以符合實際為原則，增強題目的真實性.試卷中大量引用生活場景，在題目的設(shè)計和改編上嚴(yán)格把控真實性.題目中的數(shù)據(jù)參考實際情況，并經(jīng)過查證，確保數(shù)據(jù)的真實可靠，

1.3注重引導(dǎo)通性通法

試卷有意引導(dǎo)教師和學(xué)生注重問題解決的一般方法，考查學(xué)生把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力.題目立足基礎(chǔ)，倡導(dǎo)教師注重基礎(chǔ)知識和基本方法教學(xué)，讓學(xué)生養(yǎng)成從基礎(chǔ)知識出發(fā)思考問題、解決問題的習(xí)慣，從而改變注重機械訓(xùn)練的教學(xué)方式.

1.4全面考查學(xué)生素養(yǎng)

試卷注重考查學(xué)生多視角思考問題的能力.試卷設(shè)計鼓勵一題多解，讓學(xué)生處于一個靈活多變的環(huán)境中，促使學(xué)生對所學(xué)知識進行篩選、整合、重組.[2這樣既能讓不同能力水平的學(xué)生都能夠從不同的視野找到突破口，真正反映學(xué)生的綜合素養(yǎng)，也充分體現(xiàn)了教育公平理念。

試卷充許學(xué)生根據(jù)自己的能力選擇解決問題的方法，為不同認知水平的學(xué)生提供相同的展示機會，踐行了“不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”的課程基本理念.

1.5充分突出數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值

在數(shù)據(jù)化社會背景下，對數(shù)據(jù)的處理與應(yīng)用能力成為一種重要能力.試卷通過設(shè)置數(shù)據(jù)處理問題，系統(tǒng)考查學(xué)生對統(tǒng)計量（平均數(shù)、方差等）概念的掌握程度與統(tǒng)計圖表的應(yīng)用能力，重點深化對方差概念作為刻畫數(shù)據(jù)離散程度核心指標(biāo)的本質(zhì)理解，并通過展示方差在物理、化學(xué)、材料等諸多領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，既體現(xiàn)了測試的穩(wěn)定性，更凸顯了數(shù)學(xué)知識體系在科學(xué)研究中的基礎(chǔ)性地位.

2對初三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)的思考

2.1知識梳理，學(xué)法指導(dǎo)

2.1.1重點知識，突破關(guān)鍵

在初三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)構(gòu)建系統(tǒng)化的知識體系框架，通過結(jié)構(gòu)化教學(xué)策略促進學(xué)生認知能力的整體提升.以“二次函數(shù)\"專題復(fù)習(xí)為例，其系統(tǒng)化學(xué)習(xí)路徑應(yīng)為“從定義本質(zhì)出發(fā)理解函數(shù)概念一通過圖象分析把握對稱性、單調(diào)性、極值等核心性質(zhì)一探究圖象變換規(guī)律一研究特殊點（交點）的數(shù)學(xué)特征一建立實際問題的函數(shù)模型”.這種復(fù)習(xí)不是知識的簡單再現(xiàn)，而是基于認知重構(gòu)的深度學(xué)習(xí)過程.教師需引導(dǎo)學(xué)生對原有知識進行系統(tǒng)編碼，通過精加工策略將零散、細碎的知識點整合為有機的知識網(wǎng)絡(luò)，最終形成具有個人特色的主干知識系統(tǒng).這種以“知識結(jié)構(gòu)化、認知系統(tǒng)化、能力整合化\"為特征的復(fù)習(xí)模式，既是培養(yǎng)關(guān)鍵能力的有效路徑，更是實現(xiàn)素養(yǎng)導(dǎo)向復(fù)習(xí)教學(xué)的重要基礎(chǔ)

2.1.2 問題驅(qū)動，學(xué)法指導(dǎo)

學(xué)生不喜歡數(shù)學(xué)，與教師對數(shù)學(xué)的理解、提問方式以及提出問題的質(zhì)量有關(guān).特別是在初三復(fù)習(xí)教學(xué)階段，學(xué)生不僅僅要掌握重點知識，更要優(yōu)化學(xué)習(xí)方法，學(xué)會將繁多的數(shù)學(xué)知識進行有序整理.因此，教師應(yīng)以問題為引導(dǎo)，啟發(fā)學(xué)生探索知識的共性通法.以“全等三角形\"的復(fù)習(xí)教學(xué)為例，教材上出現(xiàn)了大量的全等圖形，教師可以提問“這些圖形的共性是什么？全等的三個條件在各題中如何呈現(xiàn)？所有的全等圖形是否可以通過平移、對稱、旋轉(zhuǎn)得到”.又如，在“二次函數(shù)中的字母系數(shù)問題”的復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)計中，采用下面問題的形式來引導(dǎo)、深化、拓展學(xué)生的思維.

問題對于代數(shù)式 ax²+bx+c（a≠0，x 可取任意實數(shù)），下列說法正確的是（ ）.

① 存在實數(shù) 有 ap²+bp+c=aq²+ bq+c ，則 ax²+bx+c=a（x-p）（x-q）

② 存在實數(shù) m，n，s（m，n，s） 互不相等），使得am²+bm+c=an²+bn+c=as²+bs+c.

③ 如果 aclt;0 ，則一定存在兩個實數(shù) m2+bm+clt;02+bn+c. （20

④ 存在實數(shù) p，q（p≠q） 有 ap²+bp+c=aq²+ bq+c=t ，則 ax²+bx+c=a（x-p）（x-q）+t，

⑤ 存在實數(shù) ?，q，m，n（?，q，m，n 互不相等），有 bn+c ，則 m+n=p+q

⑥ 若 abgt;0 ，且存在實數(shù) p，q（p≠q） 有 ap²+ bp+c=aq²+bq+c ，則 _?+qlt;0

⑦ 若 ablt;0 ，且存在實數(shù) p，q（p≠q） 有 ap²+ bp+c=aq²+bq+c ，則 p+qgt;0

2.2欣賞數(shù)學(xué)之美，體會價值

到了初三，如果學(xué)生體會不到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣，欣賞不到數(shù)學(xué)之美，那么教師就需要反思自己的教學(xué).數(shù)學(xué)之美是現(xiàn)實美的反映，教師要努力讓學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂中潛心思考，感悟數(shù)學(xué)之美，幫助學(xué)生建立對數(shù)學(xué)學(xué)科的完整認知：這既是一門能夠培養(yǎng)理性思維、提升智慧的學(xué)科，又是一門能夠為未來職業(yè)發(fā)展提供方法論支撐的實用工具.通過這樣的實踐，使學(xué)生認識到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是在欣賞數(shù)學(xué)之美的過程3，并在問題探究中獲得持久的學(xué)習(xí)樂趣.教師要讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)的三個美：邏輯美、思維美和簡約美.

2.2.1以素養(yǎng)為核心的邏輯美

（1）研究路徑，體現(xiàn)邏輯性.

在章節(jié)知識復(fù)習(xí)梳理過程中，應(yīng)體現(xiàn)單元整體性.研究一個數(shù)學(xué)對象的基本思路是：從情境出發(fā)，經(jīng)歷\"概念—性質(zhì)一判定一結(jié)構(gòu)（聯(lián)系）一應(yīng)用\"的過程，如“等腰三角形”就可以按照這樣的思路來體現(xiàn)邏輯美，“一次函數(shù)\"則可采用“定義一圖象一性質(zhì)—應(yīng)用\"的研究路徑，幫助學(xué)生體會邏輯美.

（2）問題解決，體現(xiàn)邏輯性.

在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，學(xué)生遇到的問題浩如煙海，若不加以歸納和整理，就難以系統(tǒng)掌握數(shù)學(xué)知識.邏輯與直觀是數(shù)學(xué)研究的“雙翼”，許多數(shù)學(xué)問題雖然表現(xiàn)形式復(fù)雜，但其本質(zhì)往往存在簡單的一面.因此，教師需要培養(yǎng)學(xué)生透過現(xiàn)象看本質(zhì)的能力，并引導(dǎo)他們通過邏輯推演解決問題.數(shù)學(xué)教學(xué)所提倡的“四基”，歸根結(jié)底是幫助學(xué)生形成“學(xué)科直觀”，從而感悟數(shù)學(xué)的邏輯美.例如，在解決與“二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)\"相關(guān)的問題時，教師可以設(shè)計以下案例，幫助學(xué)生鞏固和應(yīng)用二次函數(shù)的性質(zhì).

案例在平面直角坐標(biāo)系中，已知 α≠b ，設(shè)函數(shù) y=（x+a）（x+b） 的圖象與 x 軸有 M 個交點，函數(shù) y=（ax+1）（bx+1） 的圖象與 x 軸有 N 個交點，則.

A. M=N-1 或 M=N+1 B. M=N-1 或 M=N+2 C. M=N 或 M=N+1 D. M=N 或 M=N-1

分析：要求出 M，N 的關(guān)系，先求 M，N 分別是什么，然后再尋找兩者的關(guān)系.已知 M 是二次函數(shù) y=（x+a）（x+b） 的圖象與 x 軸的交點個數(shù)，因為 a≠b ，所以 M 等于 2;N 是函數(shù) y=（ax+1） ·（bx+1） 的圖象與 x 軸的交點個數(shù)，而函數(shù) y=（ax+ 1）（bx+1） 可以是二次函數(shù)，也可以是一次函數(shù)，故 N 等于2或1.綜上可知， M=N 或 M=N+1 業(yè)

2.2.2以素養(yǎng)為核心的思維美

物理學(xué)家愛因斯坦（A.Einstein）說過：“提出一個問題往往比解決一個問題更重要.\"這是問題設(shè)計重要性的生動體現(xiàn).

（1）設(shè)計開放題，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維

教師應(yīng)設(shè)計開放性問題，激發(fā)學(xué)生思考并提出問題，確保每個學(xué)生都能參與實踐操作.在此過程中，教師要善于挖掘問題的深度，引導(dǎo)學(xué)生從淺層次認知逐步走向深度研究，鼓勵他們大膽猜想、實踐驗證.教師需給予學(xué)生充足的思考時間，讓探究過程“慢下來”，同時培養(yǎng)質(zhì)疑精神與批判性思維.例如，在“相似三角形\"的教學(xué)中，教師可以設(shè)計如下開放題，通過組織真實的數(shù)學(xué)研究活動，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷添加輔助線的完整過程，使其在實踐操作中理解輔助線的功能和價值，從而體驗數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的樂趣

開放題如下圖所示，請構(gòu)造一個三角形，使得它與 ΔABC 相似并且面積等于△ABC面積的 中

學(xué)生給出圖1中的幾種解法.

師：你還能畫幾個？畫出來的圖形都全等嗎？學(xué)生的解答見表1.

（2）設(shè)計探究題，培養(yǎng)學(xué)生深度思考問題的能力.

數(shù)學(xué)解題教學(xué)可分為以下三個遞進層次：第一層次聚焦操作技能，教師如同程序員般指導(dǎo)學(xué)生解題步驟；第二層次側(cè)重思維過程，通過思路分析引導(dǎo)學(xué)生掌握方法；第三層次強調(diào)遷移應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生舉一反三的能力.教師應(yīng)通過精心設(shè)計的問題串，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會提問、反思，逐步培養(yǎng)其核心素養(yǎng).在此過程中，教師要激發(fā)學(xué)生的深度探究意識，鼓勵其自由思考，不斷優(yōu)化思維過程，最終形成嚴(yán)謹(jǐn)且靈活的思維能力，提升分析問題、解決問題的綜合素養(yǎng).例如，在解決與三角形相關(guān)的計算問題時，教師可以設(shè)計如下探究題，以培養(yǎng)學(xué)生深度思考的能力.

探究題在 ΔABC 中， AD 為BC邊上的中線，線段 BE 交中線 AD 于點 F ，交線段 AC 于點 E ，若AE：AC=1：2 ，求 AF：FD 的值.

本題的思考過程見表2.

2.2.3以素養(yǎng)為核心的簡約美

數(shù)學(xué)中的公式、定理和圖形都呈現(xiàn)出簡潔與對稱的美學(xué)特征.其中，對稱圖形的美感尤為突出.[4]在初中數(shù)學(xué)中，二次函數(shù)的圖象具有對稱特性；圖形折疊問題中，折疊前后的對應(yīng)部分完全重合.通過運用這些對稱性質(zhì)，將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何直觀，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合所蘊含的數(shù)學(xué)之美.

（1）數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用.

在教學(xué)設(shè)計中，教師應(yīng)注重“數(shù)\"的動態(tài)引導(dǎo)過程，通過課件演示將抽象的“數(shù)\"轉(zhuǎn)化為直觀的“形”，幫助學(xué)生建立清晰的幾何表象.正如華羅庚先生所說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微.”通過“形”與\"數(shù)\"的相互轉(zhuǎn)化，不僅展現(xiàn)數(shù)學(xué)的簡約美，更能激發(fā)學(xué)生的審美體驗.例如，在“函數(shù)”教學(xué)中，教師可以設(shè)計如下案例，以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力.

案例自變量 x 與因變量 y 存在下表的關(guān)系，

請完成表格內(nèi)容.

分析： x 與 本質(zhì)上是一種對應(yīng)關(guān)系，由于對應(yīng)法則不確定，所以會有多個結(jié)果.假如把它看成一個二次函數(shù)的問題，利用待定系數(shù)法可以得到答案52.

（2）對稱的應(yīng)用.

在探究圖形對稱性的過程中，學(xué)生不僅要充分運用其幾何性質(zhì)，還需把握圖形的整體結(jié)構(gòu)特征，并在此基礎(chǔ)上綜合應(yīng)用勾股定理等基本定理，同時融入方程思想的解題策略.以“折疊問題”為例，教師可通過設(shè)計如下案例，培養(yǎng)學(xué)生的對稱思維.

案例如下圖，把某矩形紙片ABCD沿 EF ，GH 折疊（點 E，H 在 AD 邊上，點 F，G 在 BC 邊上），使點 B 和點 C 落在 AD 邊上同一點 P 處，點 A的對稱點為點 A^′"，點 D 的對稱點為點 D^′".若∠FPG=90^°"ΔA^′EP 的面積為 4，ΔD^′PH 的面積為1，則矩形ABCD的面積等于

分析：折疊問題本質(zhì)上是研究“形”的對稱性特征.在解決此類問題時，學(xué)生需要綜合運用勾股定理、面積公式以及相似三角形等相關(guān)幾何知識，通過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评碚宫F(xiàn)幾何學(xué)所特有的簡潔美與結(jié)構(gòu)美.

3結(jié)語

在初三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中，若學(xué)生的思維僅停留在表層認知層面，則難以實現(xiàn)知識的真正內(nèi)化.因此，教師需要精心設(shè)計知識體系建構(gòu)和難點突破等關(guān)鍵教學(xué)環(huán)節(jié)，通過創(chuàng)設(shè)富有挑戰(zhàn)性的問題情境引發(fā)學(xué)生思維的深度碰撞，從而系統(tǒng)培養(yǎng)其理性思維，促進其思考能力、質(zhì)疑精神和反思意識的全面發(fā)展；引導(dǎo)學(xué)生在問題解決過程中主動構(gòu)建數(shù)學(xué)模型以激發(fā)創(chuàng)新思維，進而通過模型應(yīng)用實現(xiàn)問題的有效解決；最終在持續(xù)的知識提煉、方法積累和實踐應(yīng)用中不斷完善思維結(jié)構(gòu)、修正認知偏差，逐步提升思維的深度與廣度.

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