數(shù)學(xué)理解的層次表現(xiàn)及發(fā)展理路

數(shù)學(xué)理解是一種結(jié)構(gòu)化的學(xué)習(xí)能力，是經(jīng)由數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)進(jìn)而提升學(xué)生遷移力、反思力、創(chuàng)造力的橋梁與紐帶，既存在于對數(shù)學(xué)概念、關(guān)系結(jié)構(gòu)等的認(rèn)識過程中，也體現(xiàn)為對知識本質(zhì)把握、遷移與應(yīng)用的實(shí)際效果，是引領(lǐng)學(xué)生理性把握概念和結(jié)構(gòu)、技能與規(guī)律、方法和思想的基本前提，也是發(fā)展核心素養(yǎng)、涵養(yǎng)數(shù)學(xué)精神的堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。在教學(xué)實(shí)踐中，一些教師對數(shù)學(xué)理解的結(jié)構(gòu)層次與具體表現(xiàn)的把握有失偏頗，致使教學(xué)存在知識碎片、經(jīng)驗(yàn)割裂、思維淺表等問題。為此，筆者結(jié)合數(shù)學(xué)理解的相關(guān)研究文獻(xiàn)及教學(xué)實(shí)踐，對數(shù)學(xué)理解的內(nèi)涵意蘊(yùn)、基本表現(xiàn)及與之高度契合的發(fā)展路徑予以深度思考，以期促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的有效達(dá)成及個(gè)人學(xué)力的全面生長。

一、數(shù)學(xué)理解的內(nèi)涵意蘊(yùn)

1.數(shù)學(xué)理解的雙重本質(zhì)

眾多心理學(xué)研究成果表明，數(shù)學(xué)理解具有“建立聯(lián)系”與“意義賦予”的雙重性本質(zhì)。就作為認(rèn)知主體的學(xué)生而言，數(shù)學(xué)理解就是在數(shù)學(xué)符號、數(shù)學(xué)知識、活動(dòng)過程、數(shù)學(xué)世界等事物內(nèi)部及事物之間建立聯(lián)系的過程?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》對“理解”重在強(qiáng)調(diào)“描述對象的由來、內(nèi)涵和特征，闡述此對象與相關(guān)對象之間的區(qū)別和聯(lián)系”[，突出了“建立聯(lián)系”的基本內(nèi)涵。如對三角形概念的理解，就需要基于三角形頂點(diǎn)、邊、內(nèi)角等要素間的聯(lián)系，研究等邊三角形、等腰三角形、銳角三角形、直角三角形等下位概念及三角形任意兩條邊長度的和大于第三邊等基本命題，同時(shí)基于相關(guān)下位概念間的聯(lián)系，明晰等邊三角形一定是銳角三角形等數(shù)學(xué)知識，進(jìn)一步豐富對三角形內(nèi)涵的理解。從理解對象的角度思考，數(shù)學(xué)理解是引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)已有知識及經(jīng)驗(yàn)對其賦予意義的過程。如“列方程解決相遇問題”的教學(xué)，因其模型涉及速度和、相距路程、相遇時(shí)間等要素，加之問題結(jié)構(gòu)與模型存在多個(gè)變體，需要引導(dǎo)學(xué)生借助線段圖示、變體對比、故事創(chuàng)編等途徑，對相關(guān)要素、模型結(jié)構(gòu)等賦予通俗的數(shù)學(xué)意義，由此深化學(xué)生對這一內(nèi)容的理解與應(yīng)用。

2.數(shù)學(xué)理解的基本特點(diǎn)

一是差異性。不同學(xué)生因已有經(jīng)驗(yàn)、心智水平等存在差異，對理解對象的切入視角、思維起點(diǎn)、理解類型與水平等也不盡相同。即便是同一個(gè)體，因其所處年段不同，理解方法、理解層次同樣存在較大差異。二是過程性。認(rèn)知建構(gòu)主義認(rèn)為，認(rèn)知主體先是對數(shù)學(xué)對象予以觀察、抽象、歸納等并由此建構(gòu)穩(wěn)定、豐富的數(shù)學(xué)表象；再經(jīng)過逐步分析與交流，在同化、順應(yīng)過程中將其納入已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)，使個(gè)體認(rèn)知達(dá)到新的平衡；繼而通過對理解對象的拓展遷移與實(shí)踐應(yīng)用打破現(xiàn)有平衡，隨即開啟對新認(rèn)知對象的學(xué)習(xí)與理解，如此循環(huán)往復(fù)。三是層次性。數(shù)學(xué)理解層次性特征是被廣泛認(rèn)可的。僅就個(gè)體成長過程來看，數(shù)學(xué)理解會隨個(gè)人知識積累及原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的生長而表現(xiàn)為不同層次與水平，彰顯出數(shù)學(xué)理解的層次性特點(diǎn)。

二、數(shù)學(xué)理解層次表現(xiàn)的深度闡釋

王瑞霖、綦春霞基于文獻(xiàn)研究與教育心理學(xué)研究成果，結(jié)合教育實(shí)踐及課堂觀察，利用專家評定法對數(shù)學(xué)理解框架予以研究與論證，將之劃分為表象層、解釋層、聯(lián)系層、思想層、創(chuàng)新層五個(gè)層階，為全面發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提供了進(jìn)階模型。筆者以此為基礎(chǔ)，結(jié)合核心素養(yǎng)基本理念及教學(xué)實(shí)踐，對數(shù)學(xué)理解各層次具體表現(xiàn)進(jìn)行系統(tǒng)梳理與整體把握，以滿足教師教學(xué)實(shí)踐需求。

1.表象層理解

表象又被稱為意象或心象，是指當(dāng)前不存在物體或事件的一種心理表征，即在沒有外在直接信息作用（知覺）下對內(nèi)在長時(shí)記憶中的信息予以加工、提取、操作和重組的一種表征方式，是外在活動(dòng)內(nèi)化的一種表現(xiàn)[3]。表象層數(shù)學(xué)理解是學(xué)生以感覺、知覺為依托，經(jīng)過短時(shí)記憶、長時(shí)保存與存儲等認(rèn)知操作，在大腦中建構(gòu)與理解對象直接相關(guān)的直觀形象、整體性認(rèn)知結(jié)構(gòu)的學(xué)習(xí)過程，主要表現(xiàn)為引導(dǎo)學(xué)生借助表象陳述知識、進(jìn)行數(shù)學(xué)操作、復(fù)述基本方法、驗(yàn)證數(shù)學(xué)結(jié)論、舉出理解對象的正例或反例等。如當(dāng)教師問及“乘法分配律”具體內(nèi)容時(shí)，學(xué)生往往會在大腦中復(fù)現(xiàn)認(rèn)知過程，同時(shí)借助自然語言或數(shù)學(xué)符號復(fù)述其基本內(nèi)容；當(dāng)教師問到什么是平行四邊形時(shí)，學(xué)生往往會借助表象動(dòng)手畫出一個(gè)平行四邊形或用紙片剪出一個(gè)平行四邊形給你看等，這些都屬于表象層數(shù)學(xué)理解。

2.解釋層理解

形式給定的信息，學(xué)生如果能夠利用另一種形式建構(gòu)、表達(dá)與之相同的意思，解釋便隨之產(chǎn)生4。解釋層數(shù)學(xué)理解往往指向數(shù)學(xué)原理，學(xué)生借助圖片、學(xué)具、語言、表格、圖示、符號等不同形式，基于已有經(jīng)驗(yàn)與思維結(jié)構(gòu)進(jìn)行自我解釋，進(jìn)而認(rèn)識新事物、接受新知識、形成新觀點(diǎn)。如利用數(shù)學(xué)符號、幾何圖示、生活實(shí)例、語言表述等表現(xiàn)形式，實(shí)現(xiàn)對“乘法分配律”認(rèn)知本質(zhì)及模型結(jié)構(gòu)的深度理解。值得注意的是，用于解釋層數(shù)學(xué)理解的方式方法大多僅僅指向?qū)Ω拍钜饬x的深度理解或?qū)ζ鋬?nèi)在本質(zhì)的把握，一般沒有連帶新概念，不與相關(guān)概念、跨領(lǐng)域內(nèi)容發(fā)生聯(lián)結(jié)。

3.聯(lián)系層理解

引領(lǐng)兒童在新想法和已有想法間建立聯(lián)系，可以增進(jìn)對數(shù)學(xué)知識的理解，連接到一個(gè)體系結(jié)構(gòu)的想法越多、質(zhì)量越高，理解得就越好[5。聯(lián)系層數(shù)學(xué)理解具體表現(xiàn)為發(fā)現(xiàn)同一知識不同維度或不同知識之間的聯(lián)系、基于舊知生長出新概念、學(xué)會歸納總結(jié)新知識、將新信息納人原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)并對新舊知識意義予以同化等諸多層面。同領(lǐng)域知識往往需要基于縱向溝通，通過對知識生長序列與邏輯結(jié)構(gòu)的把握，以核心觀念為軸將之串成線狀存在，如基于整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)加減法算理一致性構(gòu)建形成的鏈狀結(jié)構(gòu)，有利于對不同數(shù)系運(yùn)算算理的有效遷移及本質(zhì)理解。不同領(lǐng)域知識一般需要依據(jù)內(nèi)在共有特征將其橫向融通，基于多維聯(lián)結(jié)打開認(rèn)知的不同入口，進(jìn)而提升兒童數(shù)學(xué)理解的層次與境界。如在建構(gòu)乘法分配律模型后，可以在數(shù)與形兩個(gè)領(lǐng)域間搭建關(guān)聯(lián)，啟發(fā)學(xué)生結(jié)合由兩個(gè)小長方形組合成的大長方面積的計(jì)算過程，進(jìn)一步體會運(yùn)算模型的結(jié)構(gòu)特征與合理性，由此賦予學(xué)生全新的理解模型、復(fù)現(xiàn)模型的心理圖式與直觀工具

4.思想層理解

教師要注重引領(lǐng)兒童基于數(shù)學(xué)抽象、深度反思等認(rèn)知手段，充分經(jīng)歷思想方法的建構(gòu)與應(yīng)用過程，系統(tǒng)提煉數(shù)學(xué)知識、策略方法所蘊(yùn)含的一般性觀念，把原有知識結(jié)構(gòu)壓縮成新知識體系的構(gòu)成要素或新知識網(wǎng)絡(luò)中的聯(lián)結(jié)點(diǎn)，由此實(shí)現(xiàn)對所學(xué)知識的進(jìn)一步理解與深層內(nèi)化。思想層數(shù)學(xué)理解主要包含數(shù)學(xué)模型建構(gòu)、形成一般方法、數(shù)學(xué)策略與思想運(yùn)用、布魯姆指出，在認(rèn)知過程中，對于用一種表示|反思數(shù)學(xué)理解或轉(zhuǎn)化等基本表述[，其核心任務(wù)在于引領(lǐng)學(xué)生將具體方法一般化，同時(shí)結(jié)合知識載體、構(gòu)，明晰理解所處層次及主要表現(xiàn)，有針對性地開展

認(rèn)知層階將一般思想進(jìn)階至抽象、推理和模型思想，教學(xué)實(shí)踐，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)理解層級的不斷進(jìn)階。實(shí)現(xiàn)思想方法的過程性培育、發(fā)展及實(shí)踐性應(yīng)用。

5.創(chuàng)新層理解

創(chuàng)新層數(shù)學(xué)理解需要結(jié)合富含思維、充滿挑戰(zhàn)的探究任務(wù)，引領(lǐng)兒童基于現(xiàn)有活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，通過深度調(diào)動(dòng)、多樣重組、自主遷移等途徑，對已有知識進(jìn)行提高、推廣和拓展，或者對某種操作予以更新或改變，或者進(jìn)行文化、美學(xué)的欣賞，具有創(chuàng)新的特征8。創(chuàng)新層數(shù)學(xué)理解主要具有以下情形。

1.辨識要素，實(shí)現(xiàn)兒童對表象理解的全面突破

黑格爾指出：“人的意識，對于對象總是先形成表象，后才形成概念，而且唯有通過表象，依靠表象，人的能思的心靈才能達(dá)到對事物思維的認(rèn)識和把握?！辫b于此可知，個(gè)人已有表象是數(shù)學(xué)理解的邏輯起點(diǎn)，建立清晰、準(zhǔn)確、豐富的表象是實(shí)現(xiàn)表象層理解的前提與基礎(chǔ)。實(shí)際上，認(rèn)知對象一般都具有很多要素，對這些要素的全面認(rèn)識與深度辨識是把握知識本質(zhì)、形成數(shù)學(xué)表象的關(guān)鍵，唯有如此，才能帶領(lǐng)學(xué)生實(shí)現(xiàn)對表象理解的進(jìn)階與突破。

如“角的認(rèn)識”的教學(xué)，重點(diǎn)在于引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷進(jìn)階性的、多層次的感知，逐步形成“角”的完整表象，為實(shí)現(xiàn)對“角”的表象層理解奠定基礎(chǔ)。首先，在觀察實(shí)物中感知，構(gòu)建直觀表象，重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合生活實(shí)物，通過看一看、指一指、找一找等學(xué)習(xí)活動(dòng)初步感知依附在實(shí)物上的角，并由此形成角的直觀表象，但此時(shí)的表象是基于生活經(jīng)驗(yàn)形成的，是模糊的，還難以脫離直觀材料、概念原型而獨(dú)立存在的。

然后，在剝離附體中初步感知、辨識要素，引導(dǎo)學(xué)生在長方形、三角形等平面圖形中找一找、描一描角，同時(shí)以對角的概念要素的進(jìn)一步感知為基礎(chǔ)，將角從平面圖形中剝離出來，基于個(gè)人發(fā)現(xiàn)明確角的各個(gè)構(gòu)成要素的名稱，知道角如同正方形、長方形也屬于平面圖形。學(xué)生經(jīng)由對生活實(shí)物、平面圖形的直觀感知，將角從圖形中分離出來，同時(shí)利用語言表征初步明晰角的構(gòu)成要素，角的表象由此變得較為清晰、完整。

一是跨越概念原本隸屬的領(lǐng)域，在其他領(lǐng)域內(nèi)認(rèn)識、揭示其內(nèi)涵。如結(jié)合長方形面積計(jì)算模型理解兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算理與算法。二是將兒童理解的概念、定理、法則、模型等，通過應(yīng)用獲得新的認(rèn)識與理解。如在理解、建構(gòu)單價(jià) × 數(shù)量 Σ=Σ 總價(jià)、速度 × 時(shí)間 Σ=Σ 路程等模型后，在解決實(shí)際問題過程中賦予其“1份量 × 份數(shù) Σ=Σ 總量”這一新的意義。三是在實(shí)際應(yīng)用中，發(fā)現(xiàn)個(gè)人所理解的本源知識存在不足并予以改造、擴(kuò)充等，進(jìn)而產(chǎn)生新的認(rèn)知與思維。如比較 兩個(gè)分?jǐn)?shù)的大小，學(xué)生發(fā)現(xiàn)采取通分比較的方法會極其復(fù)雜，根據(jù)分?jǐn)?shù)的特點(diǎn)，他們會先將分?jǐn)?shù)分別與1作差，然后通過比較差的大小解決問題。四是以數(shù)學(xué)文化或美學(xué)層面為切入視角，結(jié)合數(shù)學(xué)知識基本特點(diǎn)及兒童認(rèn)知需求進(jìn)行文化滲透，感悟、欣賞數(shù)學(xué)的神奇或美。如兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算乘法與古意大利的“格子乘法”、古印度的“畫線法”及古代中國的“鋪地錦”等關(guān)聯(lián)起來，在深度感悟古人智慧及數(shù)學(xué)魅力的同時(shí)，理解不同時(shí)期、不同地域、不同方法背后算法、算理本質(zhì)的一致性。

三、數(shù)學(xué)理解教學(xué)實(shí)踐的發(fā)展理路

指向兒童學(xué)力生長的數(shù)學(xué)理解結(jié)構(gòu)模型及各層次具體表現(xiàn)，能夠?yàn)閿?shù)學(xué)理解教學(xué)提供實(shí)踐導(dǎo)向和落地路徑。教學(xué)時(shí)，教師要結(jié)合新知特點(diǎn)及學(xué)生心智結(jié)

接著，在動(dòng)手創(chuàng)造中感知、明晰概念要素，教學(xué)時(shí)，教師可以引領(lǐng)學(xué)生利用小棒、吸管、紙條等學(xué)習(xí)材料創(chuàng)造出一個(gè)角，學(xué)生借助頭腦中初步形成的表象，有的畫出一個(gè)角，有的擺出一個(gè)角，還有的折出一個(gè)角，情形較為多樣，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生深入思考：大家創(chuàng)造出的角有什么共同特點(diǎn)？該層次感知完全脫離了實(shí)物，認(rèn)知對象也進(jìn)一步抽象，使得學(xué)生頭腦中的表象進(jìn)一步清晰、準(zhǔn)確。

最后，在持續(xù)辨析中感知、豐富概念表象，教師在黑板上貼出一個(gè)活動(dòng)角，先通過變換角的開口方向與大小，連續(xù)追問學(xué)生：這樣還是角嗎？再不斷拉長或縮短角的兩條邊，繼續(xù)引發(fā)學(xué)生思考：這樣還是角嗎？角的大小跟邊的長短有關(guān)系嗎？最后不斷變換活動(dòng)角在黑板上的位置，并引發(fā)學(xué)生思考：位置變了，還是角嗎？此環(huán)節(jié)借助活動(dòng)角不斷拓寬角的認(rèn)識外延，使得學(xué)生對角的認(rèn)識趨于理性，建構(gòu)形成的表象也更為豐富，基于表象的數(shù)學(xué)理解自然更為高效。

2.夯實(shí)解釋，激活兒童對知識本質(zhì)的全景探索

多爾指出，課程的“豐富性”主要指課程的深度、意義的層次、多種可能性或多重解釋等多個(gè)方面[]。小學(xué)數(shù)學(xué)的豐富性特征更為突出，絕大多數(shù)概念、法則或定義等可以采取情境、文字、符號、操作等方式予以描述和理解。故而，在組織學(xué)生認(rèn)識、理解事物特征、概念本質(zhì)、模型結(jié)構(gòu)等內(nèi)容時(shí)，需要引領(lǐng)學(xué)生基于不同視角、不同層面對之予以解釋表征，在不斷聚焦中實(shí)現(xiàn)對認(rèn)知對象的全面刻畫與深層理解。如蘇教版《數(shù)學(xué)》一年級下冊“認(rèn)識 20～99^′′ 中認(rèn)識“20”的教學(xué)，重點(diǎn)在于引領(lǐng)學(xué)生利用語言描述、學(xué)具操作等方式，實(shí)現(xiàn)對“19添上1是20”“十進(jìn)制”“位值制”等知識的系統(tǒng)認(rèn)識與理解。一是情境表征，語言描述。教師創(chuàng)設(shè)“19名小朋友在舞臺上唱歌”的情境，引領(lǐng)學(xué)生用一一對應(yīng)方法數(shù)至10，并將10個(gè)“一\"轉(zhuǎn)化為1個(gè)“十”，接著以10為基礎(chǔ)數(shù)至19。隨后，引導(dǎo)學(xué)生借助自然語言描述“兩排合唱的一共19人，加上領(lǐng)唱的1人，是二十人”的發(fā)現(xiàn)，在利用“數(shù)次 + 量詞”描述數(shù)量到準(zhǔn)符號表達(dá)數(shù)量的過程中實(shí)現(xiàn)對20的初步感悟。二是學(xué)具操作，直觀表征。教師先引領(lǐng)學(xué)生結(jié)合剛才的認(rèn)知過程，用小方塊擺出19，接著引導(dǎo)學(xué)生思考表示1人的小方塊放在哪里，并以此為基礎(chǔ)揭示“19添上1是2個(gè)十，2個(gè)十是二十\"的認(rèn)知發(fā)現(xiàn)；然后引領(lǐng)學(xué)生借助計(jì)數(shù)器，通過撥一撥、說一說的方式深化對“19添上1是二十\"的認(rèn)識，同時(shí)以“原先十位上只有1顆數(shù)珠，為什么現(xiàn)在卻有2顆，2顆數(shù)珠有什么不同”等問題，驅(qū)動(dòng)學(xué)生深度體會“十進(jìn)制”與“位值制”，發(fā)現(xiàn) 20=10+ 10.2 個(gè)“十”合起來是20，由此完成對數(shù)字20的最終抽象。三是激活經(jīng)驗(yàn)，感悟普適。引領(lǐng)學(xué)生借助已有生活經(jīng)驗(yàn)，思考、描述哪些數(shù)量同樣可以用20表示，通過多個(gè)生活實(shí)例進(jìn)一步深化對20的認(rèn)識，實(shí)現(xiàn)對“數(shù)是對數(shù)量的抽象”的現(xiàn)實(shí)意義與“數(shù)的普適性”的深度感悟，進(jìn)而達(dá)至理性認(rèn)識的層面。

3.立足回歸，引領(lǐng)兒童對認(rèn)知結(jié)構(gòu)的自主建構(gòu)

李士把“學(xué)生在心理上能夠組織起適當(dāng)、有效的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，并將之融人個(gè)人內(nèi)部網(wǎng)絡(luò)”視為對數(shù)學(xué)概念、原理或法則等獲得深刻理解的顯著標(biāo)志。數(shù)學(xué)教學(xué)需要以知識聯(lián)結(jié)、思維融通、思想內(nèi)化為勾連路徑，引領(lǐng)兒童對自身認(rèn)知結(jié)構(gòu)予以修正與完善，進(jìn)而建構(gòu)起知識圖譜、思維結(jié)構(gòu)與策略體系，由此實(shí)現(xiàn)對數(shù)學(xué)知識、思想方法的聯(lián)系層理解。事實(shí)上，數(shù)學(xué)理解就是引領(lǐng)學(xué)生不斷通過回歸而達(dá)到不斷抽象、持續(xù)進(jìn)階的過程[2。實(shí)踐中，要基于對話引領(lǐng)兒童追溯、回歸到認(rèn)知的初始位置、問題原型、核心概念或核心方法上去，并以之為生發(fā)點(diǎn)，促發(fā)新知的產(chǎn)生及認(rèn)知結(jié)構(gòu)的建構(gòu)。如“度量”視角下“長方體體積計(jì)算”的教學(xué)。首先，教師要引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合對“體積”概念意義的理解及相同體積單位拼成的簡單形體體積的判斷，得知長方體體積計(jì)算過程的本質(zhì)就是以合適的體積單位度量其所包含體積單位個(gè)數(shù)的過程。其次，引導(dǎo)學(xué)生回歸線段長度、長方形面積的度量實(shí)踐，基于動(dòng)手操作、動(dòng)態(tài)演示厘清各自的度量本質(zhì)及影響度量結(jié)果的關(guān)鍵要素。然后，引領(lǐng)學(xué)生結(jié)合動(dòng)態(tài)演示及認(rèn)知回歸展開猜想：長方體的體積可能跟什么有關(guān)？其體積計(jì)算公式是怎樣的？最后，組織學(xué)生對長度、面積、體積計(jì)算方法進(jìn)行聯(lián)結(jié)性思考，明晰其本質(zhì)區(qū)別與聯(lián)系，進(jìn)而將數(shù)學(xué)知識的形成與論證升華為思想方法，并以之為聯(lián)結(jié)點(diǎn)形成自身的數(shù)學(xué)認(rèn)知圖式與整體結(jié)構(gòu)，這標(biāo)志著聯(lián)系性理解目標(biāo)的深度達(dá)成。

4.反省思維，促進(jìn)兒童對思想方法的領(lǐng)悟運(yùn)用

鐘志華指出：“數(shù)學(xué)理解的深化有賴于兒童反省思維，數(shù)學(xué)反省思維是促進(jìn)數(shù)學(xué)理解的核心與內(nèi)在動(dòng)力；數(shù)學(xué)理解之所以能獲得層次進(jìn)階，靠的就是兒童持續(xù)不斷、反復(fù)驗(yàn)證的個(gè)人反思與概念抽象?！盵]教學(xué)要注重引領(lǐng)學(xué)生以反思和總結(jié)為手段，對認(rèn)知過程與結(jié)果進(jìn)行監(jiān)控與把握，把認(rèn)知活動(dòng)推向提煉、概括的層級，由此形成知識的一般性觀念、數(shù)學(xué)模型等，實(shí)現(xiàn)對所學(xué)知識的進(jìn)一步理解與內(nèi)化[14]。

如“多邊形的面積”單元的教學(xué)，先以平行四邊形面積公式探究過程為載體，引導(dǎo)學(xué)生自主建構(gòu)并形成“提出猜想一操作驗(yàn)證一反思總結(jié)一拓展應(yīng)用”的方法體系，在操作驗(yàn)證環(huán)節(jié)重點(diǎn)融人“剪一移一拼”的轉(zhuǎn)化操作模型，同時(shí)以“動(dòng)手操作一觀察討論一總結(jié)發(fā)現(xiàn)”為支撐，促進(jìn)“操作驗(yàn)證一反思總結(jié)”的順利推進(jìn)，關(guān)鍵是要引導(dǎo)學(xué)生回顧梳理上述認(rèn)知?dú)v程，在交流與表達(dá)中使得這些方法變得清晰明朗且呈現(xiàn)出鮮明的結(jié)構(gòu)，伴隨拓展應(yīng)用逐漸上升為個(gè)人認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)。在教學(xué)三角形、梯形的面積計(jì)算等內(nèi)容時(shí)，直接路徑。

提供研學(xué)單，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合已有方法體系自行探究并發(fā)現(xiàn)三角形、梯形面積計(jì)算的一般模型，同時(shí)基于對方法的實(shí)踐應(yīng)用與系統(tǒng)梳理，將相關(guān)方法提煉上升至一般意義，使學(xué)生明確形體轉(zhuǎn)化是探索多邊形面積模型的一般方法。最后，利用單元結(jié)尾課引導(dǎo)學(xué)生回憶、反思學(xué)習(xí)過程中的重要步驟、關(guān)鍵環(huán)節(jié)，對曾經(jīng)歷、體驗(yàn)過的學(xué)習(xí)內(nèi)容、基本方法、認(rèn)知策略等進(jìn)行再次梳理及深度理解，通過同化與順應(yīng)構(gòu)建形成更包容、更一般的方法體系，進(jìn)而明晰形體轉(zhuǎn)化、變與不變、一般模型等數(shù)學(xué)思想，為后續(xù)小數(shù)四則運(yùn)算、圓的面積計(jì)算等知識學(xué)習(xí)提供方法導(dǎo)航。

5.設(shè)置挑戰(zhàn)，助力兒童對數(shù)學(xué)問題的創(chuàng)新解決

處于創(chuàng)新層數(shù)學(xué)理解活動(dòng)中的兒童一般會基于更高階層次、更寬廣領(lǐng)域，多角度審視原有概念和數(shù)學(xué)問題，進(jìn)而獲得新的認(rèn)知，抵達(dá)新的理解與思維水平。教學(xué)時(shí)，只有結(jié)合學(xué)生現(xiàn)有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，設(shè)計(jì)富有較強(qiáng)挑戰(zhàn)性及驅(qū)動(dòng)力的數(shù)學(xué)問題，才能促使學(xué)生轉(zhuǎn)換思維視角，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)理解的再延伸、數(shù)學(xué)問題的創(chuàng)新解決以及認(rèn)知情意的再發(fā)展。

如基于面積模型解決“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”乘積最值問題的教學(xué)實(shí)踐。首先，借助問題“學(xué)校有一塊長方形種植園，它的長與寬是用1、2、3、4四個(gè)數(shù)字組成的兩個(gè)兩位數(shù)，長與寬各為多少時(shí)才能使得它的面積最小”驅(qū)動(dòng)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生基于乘法的意義，將數(shù)字1和2分別放在兩位數(shù)的十位，可以組成1□、2□這樣的兩位數(shù)，再把3和4放在它們的個(gè)位，得到23×14 和 24×13 兩種可能。隨后，以挑戰(zhàn)性問題“不利用豎式計(jì)算，能比較出算式乘積的大小嗎”引導(dǎo)學(xué)生思考，帶領(lǐng)學(xué)生結(jié)合題意利用面積模型將兩個(gè)算式分別表示出來，由此明確：比較它們積的大小也就是比較兩個(gè)長方形面積的大小。然后，將兩個(gè)長方形重疊，學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩個(gè)長方形面積各包括兩個(gè)部分，除相同部分 23×13 表示的面積外， 23×14 、 24×13 所表示的長方形面積分別包括 23×1. 13×1 表示的面積，顯然13×1 的積小于 23×1 的積，由此獲得解決問題的方法。

上述挑戰(zhàn)性學(xué)習(xí)，有效打通了兩位數(shù)乘兩位數(shù)與面積模型間的認(rèn)知壁壘，有利于學(xué)生跳出代數(shù)領(lǐng)域，利用幾何直觀、圖式思辨等方法創(chuàng)新性地解決乘積最值問題，實(shí)現(xiàn)對“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”算理、算法的具象化認(rèn)知，為更好地理解相關(guān)知識、思想方法賦予新的

總而言之，數(shù)學(xué)理解教學(xué)的關(guān)鍵在于基于對數(shù)學(xué)理解的層次結(jié)構(gòu)及具體表現(xiàn)的深度把握，致力于數(shù)學(xué)情境、核心任務(wù)與評價(jià)量規(guī)的設(shè)計(jì)，在實(shí)踐中引領(lǐng)學(xué)生以數(shù)學(xué)理解為基礎(chǔ)，建構(gòu)認(rèn)知結(jié)構(gòu)、思維結(jié)構(gòu)與策略結(jié)構(gòu)，感悟數(shù)學(xué)思想方法，積累認(rèn)知活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)力與核心素養(yǎng)。

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[責(zé)任編輯：陳國慶]