問題式探究在高中數(shù)學概念教學中的應用

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2025）18-0056-03

在實際數(shù)學教學過程中，教學目標的完成以及教學過程的驅動都是需要建立在問題設計上的，只有通過問題的合理設計，才能激發(fā)學生對知識的有效思考，進而從本質上提高教學質量1.因此以問題為中心展開教學，能夠使整個教學過程更加生動、多元且內容豐富.

1 問題驅動教學與數(shù)學核心素養(yǎng)

數(shù)學教學中的問題設計是教學方向和教學動力生成的核心要素，而教學過程本質上也是在解決數(shù)學問題，為了進一步培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，讓學生了解數(shù)學學科的意義，教師應該結合教學內容，在實際教學中以問題驅動教學，通過問題的設計讓學生主動思考數(shù)學知識、探索知識的形成，從而獲得更加完整的認識.同時，問題驅動教學模式也能培養(yǎng)學生自我思考、自主探索的學習習慣，讓學生在以后的數(shù)學學習乃至其他學科學習中，能夠自主尋找知識中的問題，并以解決問題的方式獲取知識，從而掌握有效的學習技能.

2 三角函數(shù)周期性現(xiàn)象的內容與意義

三角函數(shù)貫穿整個高中數(shù)學學習過程，同時應用于代數(shù)計算和幾何領域，是對三角知識與函數(shù)概念的深化和拓展.周期性質作為三角函數(shù)的主要性質之一，可以用來描述和計算給定自變量區(qū)間的三角函數(shù)在無限區(qū)間內的現(xiàn)象以及性質，從有限的角度去看待無限的事物，幫助學生建立一個關于三角函數(shù)更加完整的認識.同時學生在學習三角函數(shù)的現(xiàn)象及其性質時，能夠體會到轉化和化歸的思想，進而擁有更加全面的數(shù)學分析思維.三角函數(shù)作為一種特殊的函數(shù)，最明顯的特征就是在原有函數(shù)性質比如奇偶性、單調性、值域以及定義域的基礎上，加入了周期性這一性質，因此了解三角函數(shù)的周期現(xiàn)象，掌握三角函數(shù)的周期性質對學習函數(shù)知識也是大有裨益的[2].

3 三角函數(shù)周期性現(xiàn)象教學思路

3.1 設計理念

對于周期性這個概念，學生能夠觀察到現(xiàn)實生活中的一些往復現(xiàn)象，卻很難將其抽象為具體的數(shù)學知識與數(shù)學概念.因此，對于這類學生已有直觀感受和體驗的概念性知識，教師應采用問題驅動模式，以學生的主動思考為主，讓學生在有效問題的引導下建立對三角函數(shù)周期性現(xiàn)象的理性認識，培養(yǎng)學生學習概念性知識的思維習慣，同時也有利于學生數(shù)學核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展[3].

3.2 教學目標

（1）學生能理解什么是周期函數(shù)，能夠掌握基本三角函數(shù)（如正弦函數(shù)、余弦函數(shù)或者等函數(shù)）周期性；（2）學生明白最小正周期的概念，從函數(shù)的角度出發(fā)去理解周期性，并能用自己的語言來描述周期函數(shù)；（3）學生能夠將三角函數(shù)周期性知識應用到實際問題中，掌握數(shù)學知識的應用方法，提升自身的數(shù)學技能.

3.3 教學重難點

教學重點是讓學生體會周期性函數(shù)的周期現(xiàn)象以及特征，能夠掌握求解三角函數(shù)周期的方法；教學難點是讓學生將三角函數(shù)周期性的性質用數(shù)學語言和數(shù)學符號表示出來.

4三角函數(shù)周期性現(xiàn)象教學實錄

4.1 問題情境，引出概念

在引出三角函數(shù)的周期性概念和現(xiàn)象前，教師要善于結合生活中的周期性現(xiàn)象，引導學生思考這些現(xiàn)象的共同特征，從而幫助其更快地理解相關數(shù)學知識.

問題1 今年是2023年，在農歷中是兔年，那再過多少年又能迎接兔年的到來呢？請同學們思考一下農歷生肖年有什么特征？

學生1：再過十二年就是下一個兔年，農歷生肖年每十二年循環(huán)一次，具有周而復始的特征.

問題2在物理學關于物體的運動知識學習中，教師常常會借用單擺來進行物體運動知識的教學，那么單擺運動有什么特征呢？

學生2：單擺運動是重復循環(huán)的，以最低點為例，單擺的小球每隔一段時間就會經(jīng)過最低點且該時間固定不變，也是具有周而復始的特征.

問題3通過以上這些現(xiàn)象，請同學們思考實際生活中還有哪些現(xiàn)象會呈現(xiàn)出這樣的性質？

學生3：海水潮漲潮落、四季更迭以及鐘表上的時針分針運動都具有這樣周而復始的性質.

教師總結：這些周而復始、重復出現(xiàn)的現(xiàn)象實際上就是周期性，而今天我們就要基于三角函數(shù)的周期性進行學習，掌握三角函數(shù)周期性的概念，用數(shù)學的語言和符號表示這種性質和現(xiàn)象，并將其運用到具體的數(shù)學問題中.

設計意圖教師通過提問引導學生思考實際生活現(xiàn)象的本質，一方面可以充分激發(fā)學生的課堂思考，另一方面也可以加強學生結合數(shù)學知識與實際生活的能力，提高學生的數(shù)學學科素養(yǎng).

4.2 學生活動，數(shù)形結合

教師：在此之前我們已經(jīng)學習了三角函數(shù)的相關知識，明白三角函數(shù)是刻畫圓周運動的一種數(shù)學模型，而圓周運動本身就是一種周而復始的現(xiàn)象，因此這種特征必定也會包含在三角函數(shù)的數(shù)學性質之中.

圖1為一單位圓，圓點為o ，點 P 為圓上一動點，線段 MP 為正弦線，線段OM為余弦線.接下來請大家在紙上繪制出點 P 運動時對應的正弦線，并思考如何利用正弦線刻畫三角函數(shù)這種“周而復始”的現(xiàn)象.

學生活動：如圖1所示作出若干條正弦線，當動點 P 旋轉不超過一周時，正弦線的位置以及旋轉方向不會重復；當動點 P 每旋轉一周時，其位置和旋轉方向就會重復出現(xiàn)一次，也就是說對于任意的 x ?∈R ，存在 sin（x+2π）=sinx. 結合余弦線的運動也可得：對于任意的 x∈R ，存在 cos（x+2π）=cosx.

教師歸納：正弦線和余弦線的這種運動規(guī)律sin（x+2π）=sinx，cos（x+2π）=cosx ，即為正弦函數(shù)與余弦函數(shù)具有的周期性性質，記為 f（x）=sinx ，則對于任意的 x∈R ，都有 f（x+2π）=f（x）

設計意圖 教師通過學生的自主思考活動引導學生從熟悉的直觀圖形出發(fā)，感知周期性的圖象表現(xiàn)形式；然后用數(shù)學化的符號來刻畫這種現(xiàn)象，幫助學生更好地理解三角函數(shù)周期性的性質.

4.3 問題探究，明確定義

為了讓學生從數(shù)學角度來認識周期性，教師應設置問題探究活動，引導學生思考如何用數(shù)學語言及數(shù)學符號來詮釋三角函數(shù)的周期性.

問題1在之前的三角函數(shù)奇偶性學習中，我們是如何用數(shù)學語言來刻畫函數(shù)的奇偶性的？類比其刻畫方式，并試著用數(shù)學語言刻畫三角函數(shù)的周期性.

學生討論：如果對于函數(shù)定義域內的任意 x ，都有 f（δ-x）=f（x） ，那么函數(shù)叫做偶函數(shù)；如果對于函數(shù)定義域內的任意 x ，都有 f（?-x）=-f（x） ，那么函數(shù)叫做奇函數(shù).則可類比得出函數(shù)周期性的定義：一般地，對于函數(shù) f（x） ，如果存在一個非零的常數(shù)，得定義域內的每一個值，都滿足 f（x+T）=f（x） ，那么函數(shù)叫做周期函數(shù)， T 叫做這個函數(shù)的周期.

問題2 如何從“數(shù)”與“形”的角度去理解函數(shù)的周期性T？

學生討論：從代數(shù)角度來看， T 必須滿足（ x +T）=f（x） ，及 T 是屬于函數(shù)中自變量的該變量；從形的角度來看，函數(shù)圖象在經(jīng)過周期 T 之后會重復一次，即圖象中 T 是指一次循環(huán)的長度.

教師總結：從以上的周期性性質及現(xiàn)象中我們可以得知，周期函數(shù) f（x） 滿足 ，函數(shù)圖象在經(jīng)過周期之后會重復一次，那么經(jīng)歷 2T，3T， 4T…之后也會重復，在它們所有的周期中存在著一個最小的正數(shù)，那這個最小的正數(shù)就叫做 f（x） 的最小正周期.

設計意圖教師以問題探究的形式讓學生用數(shù)學語言和數(shù)學符號描述數(shù)學現(xiàn)象，訓練學生數(shù)學概括的能力，同時結合教師總結的規(guī)范概念定義，在循序漸進的過程中促進學生對知識的掌握.

4.4 例題設置，活學活用

例1 求解下列函數(shù)的周期：

例2解答下列關于函數(shù)最小正周期的簡答題：

（1）正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的最小正周期為多少？（2）正切函數(shù) f（x）=tanx 的最小正周期為多少？（3）是不是所有的周期函數(shù)都有最小正周期？函數(shù) f（x）=c 為周期函數(shù)嗎？

設計意圖真正的課堂教學不僅要傳授學生知識與方法，還要提高學生相應的數(shù)學技能.該環(huán)節(jié)通過設置例題考查學生對三角函數(shù)周期性知識的掌握程度，促進學生內化知識并提升解題能力，從而有效提升其數(shù)學學科素養(yǎng).

5 結束語

問題驅動教學模式以學生的自主問題探究為主、教師的進一步概括總結為輔，讓學生經(jīng)歷知識的形成過程，在問題中感受數(shù)學學習的意義，有利于學生培養(yǎng)自主意識，養(yǎng)成更好的數(shù)學學習習慣，進而發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng).

參考文獻：

[1］羅進才.基于核心素養(yǎng)的高中數(shù)學問題驅動式教學實踐研究[J].試題與研究（教學論壇），2021（03） ：75.

［2］倪科技.從“三角函數(shù)的周期性”教學談高中數(shù)學概念的引入［J]．中學數(shù)學教學參考，2015（31） ：2.

[3]安學靜.問題驅動下的高中數(shù)學教學模式之應用[J].電腦樂園，2021，6（05）：264.

[責任編輯：李慧嬌]