從算式思維過(guò)渡到方程思維的實(shí)踐研究

中圖分類(lèi)號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1008-0333（2025）17-0014-03

在初中數(shù)學(xué)解題中，算式思維與方程思維構(gòu)成了兩種迥異的解題路徑.算式思維傾向于直接的數(shù)值運(yùn)算處理，方程思維則更多地聚焦于問(wèn)題的全局架構(gòu)及其內(nèi)在邏輯關(guān)系.隨著數(shù)學(xué)知識(shí)體系的深化，學(xué)生需逐步掌握方程思維，以更有效地應(yīng)對(duì)復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題[1].筆者聚焦算式思維到方程思維的轉(zhuǎn)換過(guò)程，通過(guò)實(shí)證分析具體案例，深入探究方程思維在初中數(shù)學(xué)解題中的實(shí)踐應(yīng)用及其價(jià)值，旨在為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供有價(jià)值的參考與啟示.

1算式思維與方程思維理論概述

1. 1 算式思維概述

算式思維是圍繞數(shù)學(xué)算式及表達(dá)式展開(kāi)思考與求解問(wèn)題的一種心智模式，它根植于對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)概念、運(yùn)算法則以及符號(hào)體系的透徹理解和靈活應(yīng)用，構(gòu)成了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與問(wèn)題解決不可或缺的一環(huán).算式思維的重心在于把握算式的構(gòu)造、意蘊(yùn)及其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)邏輯，要求個(gè)體能夠辨識(shí)算式中的各組成部分，例如數(shù)值、變量、運(yùn)算符號(hào)等，并清晰界定它們?cè)谒闶街械淖饔?此外，算式思維強(qiáng)調(diào)著重培養(yǎng)學(xué)生對(duì)算式進(jìn)行變形與重組的技能，以便其高效解決問(wèn)題或探究數(shù)學(xué)規(guī)律，促進(jìn)其全面發(fā)展.

1. 2 方程思維概述

方程思維在數(shù)學(xué)領(lǐng)域占據(jù)著舉足輕重的地位，它本質(zhì)上是對(duì)未知量進(jìn)行探尋與求解的一種思考模式.簡(jiǎn)而言之，方程思維涉及將現(xiàn)實(shí)世界的復(fù)雜問(wèn)題抽象化，構(gòu)建成包含未知數(shù)的數(shù)學(xué)等式，進(jìn)而通過(guò)求解此方程確定未知數(shù)的具體數(shù)值或滿(mǎn)足特定條件的一系列數(shù)值.這一思維過(guò)程不僅要求學(xué)生深刻理解方程的基本理論與特性，還強(qiáng)調(diào)學(xué)生掌握在實(shí)際問(wèn)題中提煉方程、求解方程以及運(yùn)用方程解決問(wèn)題的能力，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升至關(guān)重要.

方程思維的起源可追溯至古代文明對(duì)數(shù)學(xué)難題的初步探索，例如，埃及、巴比倫及希臘的數(shù)學(xué)家便收稿日期：2025-03-15作者簡(jiǎn)介：陳亞楠，本科，一級(jí)教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究；張慧芳，本科，一級(jí)教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

已開(kāi)始運(yùn)用方程解決諸如土地面積計(jì)算、容器容積測(cè)定等實(shí)際問(wèn)題.歷經(jīng)歲月的洗禮，方程理念逐漸成熟，最終奠定了代數(shù)學(xué)乃至整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科的基礎(chǔ).在數(shù)學(xué)實(shí)踐中，方程的應(yīng)用范圍已超出了數(shù)學(xué)本身，它被廣泛應(yīng)用于物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、工程學(xué)等眾多領(lǐng)域，成為構(gòu)建模型與解決復(fù)雜問(wèn)題的強(qiáng)大工具.

1.3 算式思維與方程思維的比較

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的探索之路上，算式思維與方程思維構(gòu)成了兩種極為關(guān)鍵的思維模式，它們各具特色，且相互補(bǔ)充.算式思維作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)，以直接性和明確性為特點(diǎn)，側(cè)重于應(yīng)用既定的數(shù)學(xué)運(yùn)算法則和公式，對(duì)給定數(shù)值進(jìn)行精確求解.這種思維方式以其簡(jiǎn)潔性和初學(xué)者的易接受性而著稱(chēng).然而，算式思維的應(yīng)用范圍受限于問(wèn)題已知條件的充分性和運(yùn)算法則的明確性.

與算式思維相比，方程思維展現(xiàn)出更高的靈活性和強(qiáng)大的問(wèn)題解決能力，它通過(guò)構(gòu)建等式，將問(wèn)題中的已知量與未知量巧妙地聯(lián)系起來(lái).方程思維不僅聚焦于數(shù)值運(yùn)算，而且還深入探究問(wèn)題的整體架構(gòu)和內(nèi)在聯(lián)系.因此，它能夠應(yīng)對(duì)算式思維難以解決的復(fù)雜問(wèn)題，特別是當(dāng)問(wèn)題涉及多個(gè)變量或需要構(gòu)建數(shù)學(xué)模型時(shí).在解題策略上，算式思維往往遵循線(xiàn)性的、逐步推導(dǎo)的路徑，而方程思維則可能需要采用跳躍式思考和邏輯推理.算式思維更側(cè)重于運(yùn)算方法，而方程思維則更強(qiáng)調(diào)抽象思維和模型建構(gòu)能力.

算式思維與方程思維在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中均扮演著不可或缺的角色.算式思維為方程思維提供堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，方程思維則進(jìn)一步拓寬數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的視野和深度.在實(shí)際運(yùn)用中，教師應(yīng)依據(jù)問(wèn)題的具體特征，引導(dǎo)學(xué)生靈活結(jié)合這兩種思維方式，以尋求最優(yōu)解[2].

2從算式思維過(guò)渡到方程思維的有效策略

2.1 強(qiáng)化等量關(guān)系意識(shí)，促進(jìn)方程構(gòu)建

在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決過(guò)程中，增強(qiáng)學(xué)生的等量關(guān)系認(rèn)知是促進(jìn)其由算式思維向方程思維轉(zhuǎn)變的核心.算式思維傾向聚焦直接的數(shù)值計(jì)算，卻可能忽略問(wèn)題中潛藏的等量關(guān)聯(lián).相反，方程思維則要求解題者清晰界定問(wèn)題中的等量關(guān)系，以此作為構(gòu)建方程的前提.等量關(guān)系指的是兩個(gè)量值相等的聯(lián)系，它是數(shù)學(xué)領(lǐng)域里既基礎(chǔ)又至關(guān)重要的概念.學(xué)生需從問(wèn)題情境中辨識(shí)這些等量關(guān)系，并將其翻譯成數(shù)學(xué)表述，即等式.通過(guò)加深對(duì)等量關(guān)系的理解，學(xué)生能更深刻地洞察問(wèn)題，更精準(zhǔn)地把握問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，進(jìn)而有效找到解決方案.這一思維模式的轉(zhuǎn)換，不僅對(duì)數(shù)學(xué)解題能力的提升大有裨益，而且還能夠促進(jìn)學(xué)生邏輯思維與抽象思維能力的培養(yǎng).

以人民教育出版社初中數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)的“行程問(wèn)題”作為分析對(duì)象，此問(wèn)題旨在求解A、B兩地之間的距離.在利用算式思考問(wèn)題時(shí)，學(xué)生或許會(huì)分別計(jì)算出甲與乙兩人各自行進(jìn)的路程，并將這兩個(gè)數(shù)值累加以得出結(jié)果.然而，此途徑不僅步驟繁瑣，且易導(dǎo)致錯(cuò)誤.若運(yùn)用方程思維處理該問(wèn)題，則能更為簡(jiǎn)捷地獲得答案.具體而言，根據(jù)題意可以設(shè)A、B兩地的距離為 x ，根據(jù)甲、乙兩人的速度及時(shí)間關(guān)系，構(gòu)建等量關(guān)系，即（甲的速度 + 乙的速度） × 時(shí)間 O=O_x .將已知條件代入此等式，即可解出 x 的值，也就是A、B兩地之間的距離.此方法不僅清晰明了，而且準(zhǔn)確無(wú)誤，充分展現(xiàn)了方程思維的優(yōu)勢(shì).

2.2 利用方程解決復(fù)雜算術(shù)問(wèn)題，簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程

在數(shù)學(xué)問(wèn)題的求解實(shí)踐中，當(dāng)遇到復(fù)雜的算術(shù)問(wèn)題時(shí)，算式思維可能會(huì)顯得冗長(zhǎng)且容易引發(fā)錯(cuò)誤.此時(shí)，方程思維作為一種更為精簡(jiǎn)且高效的解題策略，能夠充分凸顯出其重要性.通過(guò)構(gòu)建方程，學(xué)生能夠?qū)?fù)雜的算術(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)換成簡(jiǎn)單的代數(shù)操作，從而簡(jiǎn)化計(jì)算流程.方程思維的獨(dú)到之處在于，它能夠巧妙地將問(wèn)題中的已知信息與未知量相融合，形成一個(gè)或多個(gè)等式，隨后通過(guò)代數(shù)運(yùn)算求解未知數(shù).這種解題方式不僅能夠提高結(jié)果的準(zhǔn)確性，而且還能夠有效鍛煉學(xué)生的邏輯思維與抽象思維能力.因此，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)當(dāng)積極鼓勵(lì)學(xué)生采用方程思維應(yīng)對(duì)復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題，助力學(xué)生掌握這一高效的解題方法，促進(jìn)其全面發(fā)展.

以人民教育出版社初中數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)的“工程問(wèn)題”作為研究實(shí)例，此問(wèn)題旨在確定甲與乙兩人協(xié)同完成一項(xiàng)工程所需的時(shí)間.在采用算式思考方式時(shí)，學(xué)生可能會(huì)試圖通過(guò)分別計(jì)算甲、乙每日各自能完成的工作量，并累加這些工作量解決問(wèn)題.但此方法不僅計(jì)算繁瑣復(fù)雜，且易出錯(cuò).若運(yùn)用方程思維處理此問(wèn)題，則能更為簡(jiǎn)捷地得出答案.具體地，教師可以引導(dǎo)學(xué)生設(shè)合作完成工程所需的天數(shù)為x ，然后依據(jù)甲、乙每日的工作效率構(gòu)建等量關(guān)系式，即 此等式意味著甲、乙兩人合作每日完成的工作量與合作天數(shù)的乘積等于整個(gè)工程的工作量.通過(guò)求解此方程，學(xué)生便能輕松地得出 x 的值，即合作所需的天數(shù).此方法不僅表述清晰，而且能夠顯著提高學(xué)生解題的準(zhǔn)確性.

2.3 培養(yǎng)代數(shù)變換能力，靈活求解方程

在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，提升學(xué)生的代數(shù)變換能力是推動(dòng)他們從算式思考模式向方程思考模式轉(zhuǎn)變的關(guān)鍵.算式思考往往受限于既定的運(yùn)算順序與運(yùn)算法則，而方程思考則要求學(xué)生展現(xiàn)出更為靈活的代數(shù)變換能力，這涵蓋了移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)、因式分解等一系列基礎(chǔ)代數(shù)運(yùn)算技能.通過(guò)熟練掌握這些代數(shù)變換方法，學(xué)生能夠更自如地對(duì)方程進(jìn)行轉(zhuǎn)換，進(jìn)而求解未知數(shù).代數(shù)變換技能的培養(yǎng)不僅對(duì)學(xué)生解決方程問(wèn)題大有裨益，還能顯著提升他們的數(shù)學(xué)思維能力和解題效率.因此，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，教師應(yīng)著重加強(qiáng)學(xué)生的代數(shù)變換能力培養(yǎng)，確保學(xué)生在遇到方程問(wèn)題時(shí)，能夠靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，輕松找到問(wèn)題解決方案.

以“解方程 3x+5=2x+7^， 為例，在運(yùn)用算式思維時(shí)，學(xué)生或許會(huì)嘗試直接通過(guò)數(shù)值運(yùn)算求解，但此方法通常較為繁瑣復(fù)雜且易出現(xiàn)錯(cuò)誤.然而，若教師引導(dǎo)學(xué)生采用方程思維，便能更為簡(jiǎn)捷地得出結(jié)果.具體地，教師首先引導(dǎo)學(xué)生將方程兩邊的 x 項(xiàng)移至等式一側(cè)，同時(shí)將常數(shù)項(xiàng)移至等式另一側(cè)，從而得到 3x-2x=7-5. ，通過(guò)合并同類(lèi)項(xiàng)，學(xué)生可以得出 x=2 .這一過(guò)程不僅充分展現(xiàn)了代數(shù)變換在解方程中的關(guān)鍵作用，同時(shí)也凸顯了方程思維的優(yōu)越性.

2.4鼓勵(lì)一題多解，培養(yǎng)靈活思維

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，激勵(lì)學(xué)生探索問(wèn)題的多種解法是培育其思維靈活性的重要途徑.算式思維往往限制學(xué)生僅采用一種解題路徑解決問(wèn)題，方程思維則為學(xué)生開(kāi)啟了多種方法解題的可能性.教師通過(guò)指導(dǎo)學(xué)生嘗試運(yùn)用不同手段解決同一數(shù)學(xué)問(wèn)題，能夠有效拓寬學(xué)生的思維邊界，使學(xué)生能夠?qū)Ρ炔⒎治龈鞣N方法的優(yōu)勢(shì)與不足，進(jìn)而選取最高效且準(zhǔn)確的解題方案.此種訓(xùn)練方法不僅有助于學(xué)生解題技能的提升，而且能夠促進(jìn)學(xué)生靈活思維與創(chuàng)新能力的培養(yǎng).因此，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，教師應(yīng)積極鼓勵(lì)學(xué)生探索一題多解，使學(xué)生在解題的過(guò)程中，不斷鍛煉思維的靈活性[3].

以“二次函數(shù)應(yīng)用題——求矩形最大面積”為例，此題給定了一個(gè)矩形，其周長(zhǎng)為 20cm ，要求學(xué)生求出此矩形的最大面積.在解題過(guò)程中，學(xué)生可嘗試采用算式思維途徑，即先利用周長(zhǎng)公式推導(dǎo)出矩形長(zhǎng)與寬的關(guān)系，再將其代入面積公式中進(jìn)行計(jì)算此外，學(xué)生亦可選擇方程思維方法，即首先根據(jù)周長(zhǎng)公式建立方程，然后運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.通過(guò)對(duì)比這兩種解法的步驟及所得結(jié)果，學(xué)生能夠更深刻地理解問(wèn)題本質(zhì)，并領(lǐng)悟到不同方法之間的優(yōu)勢(shì)與局限.這種鼓勵(lì)一題多解的教學(xué)策略，不僅能提高學(xué)生的解題能力，還能有效培養(yǎng)他們的思維靈活性和創(chuàng)新能力，從而提升其核心素養(yǎng).

3 結(jié)束語(yǔ)

本研究深入探討了如何從算式思維過(guò)渡到方程思維，并通過(guò)具體案例展示了方程思維在初中數(shù)學(xué)解題中的廣泛應(yīng)用和顯著優(yōu)勢(shì).方程思維不僅能夠幫助學(xué)生解決更為復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題，還能夠培養(yǎng)他們的邏輯思維、抽象思維能力和創(chuàng)新精神.因此，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)該積極引導(dǎo)學(xué)生掌握方程思維，讓學(xué)生在解題過(guò)程中不斷探索和發(fā)現(xiàn)，從而提升其數(shù)學(xué)素養(yǎng)和解題能力.

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[責(zé)任編輯：李慧嬌]