“析、融、用”三步提升運算能力

“運算律\"是人教版數(shù)學四年級下冊第三單元的內容，是小學數(shù)學整數(shù)四則混合運算領域的重要內容。核心素養(yǎng)導向下，運算律的教學不僅要培養(yǎng)學生的運算能力，還要培養(yǎng)他們的模型意識和推理意識，增強學生的數(shù)感。在教學中，筆者通過分析、融合、應用三個階段構建新的單元教學體系，有效突破學習重難點，落實單元整體教學目標。

析：在分析中使單元教學整體化

課程標準是小學數(shù)學教學的依據(jù)。新課程標準關于“運算律”的內容要求由探索并“了解”運算律升級為探索并“理解”運算律。新增的學業(yè)要求及教學提示明確指出，“通過實際問題和具體計算，引導學生運用歸納的方法探索運算律，學會用字母表示運算律，理解運算律是算理和算法的重要依據(jù)，從而形成初步的代數(shù)思維”。從課程標準要求可以發(fā)現(xiàn)，本單元應重點培養(yǎng)的核心素養(yǎng)是運算能力和推理意識。

本單元作為運算律形式化學習的起點，將加法、乘法的五大運算律以及減法、除法的運算性質系統(tǒng)整合。人教版教材采用三階段遞進式的設計思路：1＼～3年級是自然孕伏階段，學生要在計算內容學習中潛移默化地接觸運算律；4年級是集中學習階段，學生要系統(tǒng)地在整數(shù)范圍內學習運算律；5＼～6年級是推廣應用階段，學生要將運算律拓展至小數(shù)、分數(shù)等數(shù)域。

筆者通過教學發(fā)現(xiàn)，加法交換律和乘法交換律具有較高的認知同構性，大多數(shù)學生已經(jīng)具備較好的理解基礎，教學時可以適當精簡；乘法分配律由于其變式較多，容易出錯，要作為教學重點。據(jù)此，筆者重構了單元教學序列，將加法交換律和加法結合律、乘法交換律和乘法結合律分別合成一個課時教學，另外增加一節(jié)乘法分配律拓展課。重構后的課時內容安排如下表所示。

融：在融合中使知識建構體系化

數(shù)學知識是融會貫通的，教師可以引導學生通過多元表征的融合感悟運算律中蘊含的“變中有不變”思想，通過說算式意義理解運算律的本質，實現(xiàn)前后知識的銜接，結構化地建構知識體系。

1.多元表征有機融合，建構運算律推理模型

根據(jù)重構后的教學內容，筆者在教學“加法交換律”時，引導學生根據(jù)例1得出 40+56=56+40 ，思考從中能總結出什么規(guī)律、怎樣用喜歡的方式將結論表示出來，并提示學生可以用文字、符號、圖示等方式表達。學生展示如下想法： ① 在加法算式中，交換加數(shù)的位置，它們的和不變； ② 甲數(shù) + 乙數(shù) =-2 數(shù) + 甲數(shù)： ③?+Δ=Δ+? ④a+b=b+a 。其中， ①② 屬于語言表征， ③ 屬于圖形表征， ④ 屬于字母表征。筆者肯定了學生的想法并總結：這些表征方式都表達了“一個加法算式中，交換兩個加數(shù)的位置，和不變\"的意思，在數(shù)學中，我們約定用小寫字母 _a，b 表示兩個加數(shù)， a+b=b+a 就是加法交換律。這樣，學生經(jīng)歷了從語言表征到圖形表征（半符號化），再到字母表征（符號化）的過程，理解了數(shù)學語言表達的簡潔性和嚴謹性，增強了模型意識和推理意識。

2.融入說算式意義，突出運算律的本質

加法運算律的本質是加法的意義，即加法運算結果與其運算順序無關。乘法是加法的簡便運算，因此乘法交換律和結合律的本質也是乘法的意義，乘法分配律涉及兩級運算，其本質依舊是運算的意義，如4個25加2個25等于（4+2）個25，無論是分開乘再相加，還是先相加再乘，計算的都是6個25是多少，其意義不變。從運算的意義解釋運算律，能幫助學生實現(xiàn)具體算式意義與運算律模型表征的有機結合，進而理解運算律的本質。

3.融合新舊知識，搭建結構化知識體系

運算律主要包括兩大板塊，一是加法運算律，二是乘法運算律。教材將解決問題有機穿插于兩大板塊之中。教師應基于單元知識點之間的邏輯關系，在圍繞板塊教學的同時，將相關知識有機聯(lián)結。例如，教學《乘法交換律和結合律》的過程中，筆者引導學生思考：比較加法交換律與乘法交換律、加法結合律與乘法結合律，你發(fā)現(xiàn)了什么？學生思考后提出如下觀點：加法交換律和乘法交換律都是兩個數(shù)交換位置，運算結果不變，但它們的運算類型不同，一個是加法，另一個是乘法；加法結合律和乘法結合律都是三個數(shù)位置不變，運算順序改變，運算結果不變，但它們的運算類型不同，一個是加法，另一個是乘法。筆者還引導學生回顧、整理加法運算律和乘法運算律的探究過程，回憶數(shù)學模型的建構過程，幫助學生形成基本數(shù)學活動經(jīng)驗，為后續(xù)探究乘法分配律做方法和策略準備。

這樣的關聯(lián)性教學，深化了學生對運算律的理解，更好地促進學生建構了數(shù)學知識體系。

用：在應用中提升運算能力

學生在應用運算律計算或解決問題的過程中，既能鞏固所學的運算律，又能深化數(shù)學思維，提升分析與解決問題的能力，拓展解決問題的策略，從而同步增強運算能力和應用意識等核心素養(yǎng)。

1.多層次遞進練習，深入辨析乘法運算律

教師要關注不同學生的發(fā)展需求，設計多層次的遞進式練習，由“扶\"到“放”，提升學生簡算思維，讓每名學生都能得到應有的發(fā)展。以《乘法分配律》教學為例，筆者緊扣難點和易錯點設計以下幾個層次的練習。

層次1：判斷下面哪些算式運用了乘法分配律。

①117×（3+7）=117×3+117×7

（2）4×a+a×5=（4+5）×a

③36×（4×6）=（36×4）×6

④24×（5+12）=24×17

以上算式涉及乘法結合律和乘法分配律，是學生的易錯點。通過辨析，學生得出算式 ①② 運用了乘法分配律，而算式 ③ 運用了乘法結合律。

層次2：根據(jù)運算律填空。

①（12+40）×3=×3+×3

學生發(fā)現(xiàn)，題 ① 是正向應用乘法分配律，題 ② 是反向應用乘法分配律，此練習鞏固了乘法分配律的多元表達形式。

層次3：看下圖列等式。

這道題引導學生結合圖形，從乘法意義上鞏固學生對乘法分配律的理解。學生通過觀察得出：4個2加3個2等于（4+3）個2。

層次4：在里填上合適的數(shù)，并進行簡便計算。

25×+47×

學生可以選25為“同一個因數(shù)”，在括號中填入53和25；也可以選47為“同一個因數(shù)”，在括號中填入47和75。這道題讓學生深人理解了乘法分配律中兩個加數(shù)要乘同一個數(shù)，并且兩個加數(shù)要能湊成整十、整百的數(shù)，計算才能更加簡便。

這樣由淺入深的練習使學生進一步理解和掌握了乘法分配律，提高了靈活運用乘法分配律計算的能力。

2.多向溝通拓展，提升運用運算律解決問題的能力

針對乘法分配律變式多、與乘法結合律容易混淆這一學習難點，筆者在乘法分配律的拓展課上出示以下練習，讓學生在題組中加強對比思辨。

對比練習：下面各題怎樣簡便就怎樣計算。

①25×（4+20）

②25×（4×20）

基于對比練習題，筆者引導學生圍繞數(shù)的位置、運算順序、運算類型和運算意義的變化來區(qū)分乘法結合律和乘法分配律，加深對乘法運算律的理解。在筆者引導下，學生發(fā)現(xiàn)算式 ① 用乘法分配律簡算，算式 ② 用乘法結合律簡算。

變式練習：下面各題怎樣簡便就怎樣計算；觀察算式，說一說有什么發(fā)現(xiàn)

99×36+36，36×101，36×101-36，36×99，36×56+ 36×43+36

學生在觀察、對比、思考和表達中發(fā)現(xiàn)，這幾道題中的相同數(shù)都是36，可以借助“湊整”解決問題，利用“幾個幾\"的乘法意義去理解和計算，提升簡算能力。

實際應用：下圖是一個花圃的平面圖，這個花圃的面積是多少？

學生可以用豎著分割的方法把花圃分成兩個長方形，分別求出面積，再求和，列式為 18×8+22×8 ；也可以把分割后的兩個長方形寬對寬地拼接成一個長的長方形，求它的面積，列式為（ 18+22）×8 。通過解決實際問題，學生增強了應用意識和運算能力。

（作者單位：老河口市實驗小學）文字編輯張敏