基于學習結果分類理論的數(shù)學教學策略

由于學習現(xiàn)象的復雜性，心理學家一般主張對學習進行分類。分類可以為分析不同類型學習的條件提供依據(jù)，是認識不同類型學習的特殊性的基礎。數(shù)學學習既遵循數(shù)學認知結構發(fā)展變化的普適規(guī)律，也會因具體的數(shù)學學習內容的不同而有所差異。具體來說，數(shù)學的學習內容包括數(shù)學知識、數(shù)學技能與數(shù)學問題解決等。加涅將學習結果分為五類，其中屬于認知領域的包括：言語信息、智慧技能與認知策略，基本與上述學習內容相對應。不同的學習結果需要不同的教學方法，從這三類學習結果的本質出發(fā)，把握各類學習結果的特點，實施有針對性的教學，更有利于提升學習效果。[2]

一、言語信息：基于例證建立圖式

言語信息指用陳述性語言表達的、人所共知的有關事物狀況的知識，通俗講就是關于“是什么\"的知識。數(shù)學中的概念、定理、規(guī)律等均可視為言語信息。言語信息教學常常陷人機械識記的誤區(qū)，即忽略知識的產(chǎn)生背景、發(fā)展過程以及與其他相關知識的縱橫聯(lián)系，只關注言語信息的表層內容，忽略深層次理解。對此，學生需借助豐富的情境與例證理解言語信息，在分析提煉的基礎上掌握本質特征，并且獲得的內容應與個體知識結構中的其他信息建立聯(lián)系，擴充整合以形成密切聯(lián)系、彼此互通的知識體系。

（一）借助豐富例證，建構意義理解

言語信息是對大量具有相同本質特征的例證或情境的集中反映，是某類事實性內容的概括表達，具有高度的凝練與簡潔性。理解言語信息通常也需回到例證情境中，學生所感知的例證越豐富清晰，個體的理解將越深刻。因此，揭示言語信息前，要給學生提供充足的例證，包括正例、變式與反例，豐富學生學習體驗，積累必要經(jīng)驗，

如教學“乘法分配律\"時，一般先研究具體問題（四年級有6個班，五年級有4個班，每個班領24根跳繩。四、五年級一共要領多少根跳繩？），發(fā)現(xiàn)解決問題的兩種方法，并建立兩種方法之間的聯(lián)系，初步感知乘法分配律。這是學習言語信息的一個例證，但僅此還不能提煉出乘法分配律，所以教學中引導學生繼續(xù)探索新的例證，也就是以 （6+4）×24=6×24+4×24 為范例，組織學生再寫幾組這樣的算式，并從中有所發(fā)現(xiàn)。至此，學生研究了言語信息的諸多正例，但對正例的反復強調并不能將認識推向深人，教學需要引入一些

課堂實踐

變式與反例打破認知平衡，建立新認識。譬如教材中的習題，橫著看，圖中第3組問題是變式，第4組問題是反例，對這兩組問題的分析與解決，有利于學生從對乘法分配律形式上的感知上升到對其本質的理解。

（二）關注本質聯(lián)系，促進圖式生成

圖式是某一言語信息相關認識的整合，言語信息教學的關鍵是幫助學生形成良好的圖式，數(shù)學知識之間本身就存在密切聯(lián)系，螺旋上升的編排方式?jīng)Q定某一言語信息在后續(xù)學習中仍有相應的深化、拓展或應用，所以數(shù)學中言語信息的學習更要重視認知圖式的生成。但教學中常常忽略將相關內容建立聯(lián)系，學生習得的言語信息猶如一盤散沙，不利于掌握與運用。對此，教師要有聯(lián)系的意識，引導學生在掌握新知的基礎上與相關的上位知識、下位知識建立聯(lián)系，形成結構。

如教學\"乘法分配律”，當基于豐富例證抽象出乘法分配律后，要檢索學生已掌握的知識中與乘法分配律有本質關聯(lián)的有哪些，并建立起邏輯聯(lián)系。實際上乘法分配律的本質是乘法意義， a× b+a×c=a×（b+c） 中，等式的左邊表示b個a加上c個a，而等式的右邊表示 b+c 個a，正好與左邊相等，乘法分配律由此成立，可見，乘法分配律是乘法意義的下位知識。隨著學習的深人，諸多實際問題（如相遇問題），可以用兩種不同方法予以解決，此時便可以引導學生從乘法分配律的角度理解不同方法何以成立，體會乘法分配律在數(shù)學中的應用?？梢?，乘法分配律也是相關實際問題的上位知識。像這樣，通過與上位知識、下位知識的關聯(lián)，學生在乘法分配律這一部分形成了有層級的認知圖式。

二、智慧技能：理解本質深度運用

智慧技能是指運用言語信息與環(huán)境相互作用的能力，即運用所學的概念、定理、規(guī)則等去解決問題，是關于“怎么做”的知識。言語信息與智慧技能沒有嚴格的分界，把概念、定理、規(guī)則等作為一種事實靜態(tài)看待，它就是言語信息，如果應用它解決問題，就是智慧技能。數(shù)學學習主要是問題解決，即不斷運用智慧技能的過程。因而，智慧技能的學習可看作數(shù)學學習的主體部分。但智慧技能的教學常常會被簡單化處理，即將步驟方法告知學生，學生盲目訓練、機械強化，卻不關心為何如此，因而習得的智慧技能不具備遷移能力，難以解決新問題。對此，教師應關注智慧技能發(fā)生與發(fā)展的過程，理解數(shù)學本質，注重變式運用，使得學生掌握的智慧技能更具靈活性與應用性，促進新問題的解決。

（一）探明技能成因，理解數(shù)學本質

智慧技能是思維中一系列步驟的有序整合。記錄在教材上或保存在教師頭腦中的智慧技能往往是提煉概括后的簡潔表征，背后必然蘊含著豐富的思維過程。教學的重點在于對智慧技能的發(fā)展過程進行教學法的加工，引導學生透過符號語言，把握智慧技能形成的關鍵步驟，領會一系列有序步驟的內在的合理性，理解數(shù)學本質，使抽象表征獲得個體意義。

如教學“角的度量\"時，用量角器量角便是一項智慧技能，相應操作程序可以歸納為： ① 中心對頂點； ②0 度線對一邊； ③ 分清內外圈； ④ 讀取尺中度。如果教學過程只是傳授上述方法并在習題中應用強化，那學生便沒有經(jīng)歷量角技能的發(fā)展過程，沒有理解量角器度量的數(shù)學本質。不難預見，學生的錯誤將層出不窮或者容易遺忘量角的步驟方法。恰當?shù)姆绞绞菑牧私饬拷瞧鞯漠a(chǎn)生開始逐步過渡到掌握量角方法。量角器是由180個1角不斷疊加形成的，最初 1^° 角的底邊與頂點即量角器的0度線與中心，180個1角共用一個頂點，疊加成半圓狀。為了方便測量，第180個1^° 角的底邊也規(guī)定為 0^° 線，以適應不同開口方向的角的測量，在此基礎上引導學生體會，量角也就是看待測角中包括多少個1°角。經(jīng)歷上述過程，學生更能明白量角器為何這樣設計，為何歸納出量角“四步”，也有利于學生感悟度量的本質。

（二）關注變式運用，深度解決問題

心理學家安德森等人關于知識的分類有類似觀點，他們認為知識可分為兩大類，即陳述性知識與程序性知識。其中，根據(jù)是否能夠達到自動化水平，程序性知識又可分為智慧技能與認知策略。而智慧技能的獲得分為3個階段：認知階段、聯(lián)系階段與自動化階段。[3可見，學習智慧技能的關鍵目標之一是達到自動化水平。實際教學中，教師比較注重智慧技能的自動化，也就是通過對同類型問題的反復解決，使得學生形成定向加工問題的思維傾向。固然，相關智慧技能達到自動化水平后，能提升學生解決問題的熟練程度，但不可避免也會影響問題解決的正確性與靈活性。對此，教師要及時地引入變式問題，引導學生主動分析問題，調適學生過分自動化加工信息的傾向，提升智慧技能的應用水平。

在“角的度量\"教學中，量角技能達到自動化水平后，教師可對同類型問題進行變式，以提升學生對于量角方法本質的理解。譬如，量角時往往將角的一邊與量角器的 0^° 線重合，變式時可由此人手，將角的起始邊與量角器中的任意刻度線重合，測量角的度數(shù)，組織學生思考，這種情況能否測量以及如何測量。通過此類變式，促使學生從單純地動手向動腦發(fā)展，有利于學生深刻感知量角技能背后所蘊含的度量本質。

在\"運算律\"教學中，基于運算律簡便計算便體現(xiàn)為智慧技能。需要注意的是，在運算技能達到自動化水平的過程中，學生經(jīng)過反復練習與強化，會對特定運算結構形成深刻印象，從而在運算中更容易關注這部分信息，忽略其他重要信息。4譬如 7200÷25×4 中的 25×4^′ 屬于特定運算結構，學生更容易關注，從而將算式推演為7200÷100 ，導致錯誤; 中，學生更容易關注加號兩邊的 ，誤與乘法分配律建立聯(lián)系，從而將算式推演為 等等。因此，在關注運算技能自動化的同時，也要注意此類干擾問題的分析與解決，促進運算律的深度運用，

三、認知策略：促進自覺意識生發(fā)

認知策略包括兩個方面，一是策略性知識，指解決數(shù)學問題時所遵循的方法步驟；另一個是元認知或反省認知，指對自己的信息表征、組織、貯存、提取等思維過程的監(jiān)控與調節(jié)。加涅指出，學生能否解決問題，既取決于是否掌握有關的規(guī)則（策略性知識），也取決于學生控制自己內部思維過程的策略（元認知）。但學生習得的認知策略常常局限于某些具體問題，無法靈活地運用于新情境或解決新問題。對此，教師不僅要引導學生在典型問題中應用認知策略，也要在其他問題中有意識地運用，以此感受策略的概括性。同時也要關注對于認知策略的及時反思，增強對于策略運用的自主意識，提升策略運用的靈活性。

（一）廣泛運用策略，體會策略概括性

策略性知識所涉及的概念和規(guī)則一般都有較高的概括性，需在解決不同問題中不斷感悟，所以認知策略的學習一般不會短期見效?；诖耍呗孕灾R的教學要具有長程意識，引導學生在后續(xù)學習中主動地運用已掌握的策略性知識，通過例題變式或課時突破來豐富學生對于策略的體驗，感受策略性知識的概括性，提升應用水平。

例題變式突顯策略本質。典型例題是促進策略掌握的良好載體，但不是唯一適用的問題，教學還應通過例題變式、原型與變式對比等方式深化學生對于策略本質的感悟，促進策略的遷移。如從“歸一\"到\"歸總\"問題的變式，有助于學生掌握\"緊扣不變量解決問題”的策略性知識。具體而言，歸一問題是小明買了3本筆記本用了18元，5本筆記本需要多少元？歸總問題是原來一本字典15元，降價后原來買20本的錢現(xiàn)在能買30本，現(xiàn)在一本字典多少元？解決問題后引導學生發(fā)現(xiàn)，例題是先求“一倍量”，例題變式是先求“總量”，在各自問題中，“一倍量”與“總量\"都是確定的、不變的量。初步體會“緊扣不變量”是解決問題的關鍵策略。

課堂實踐

課時突破拉長策略體驗?！皻w一\"與\"歸總\"問題基本屬于三、四年級所要研究的實際問題，但“緊扣不變量”這一策略性知識的應用可以貫穿多個年級。比如，六年級的兩則實際問題：問題一：將棱長4分米的正方體鋼錠鍛造成長8分米、寬3分米的長方體，高多少分米？問題二：學校田徑隊原來女生人數(shù)與總人數(shù)的比是1：3，后來有6名女生加人，這樣女生人數(shù)與總人數(shù)的比是4：9?，F(xiàn)在田徑隊有女生多少人？運用“緊扣不變量\"的策略，不難解決上述問題。問題一中鋼錠的體積不變，分析至此便先求正方體的體積，再求高。問題二中男生的人數(shù)不變，原來男生與總人數(shù)的比為2：3，現(xiàn)在男生與總數(shù)的比為5：9，將前項變?yōu)橄嗤?，?0：15與10：18。后項增加了3份，也就是女生的6人，分析至此便不難解決問題?？梢?，“緊扣不變量\"這一策略性知識能應用于解決各學段各類不同的實際問題，教師若能從始至終、一以貫之地引導學生從這一角度分析解決問題，不僅能促使學生深度感悟與掌握“緊扣不變量\"這一策略性知識，也能實實在在地提高學生解決問題的水平。

（二）回顧反思策略，提升運用主動性

元認知是對認知過程的計劃、監(jiān)控與調節(jié)，是關于“認知\"的認知。心理學家梅耶將幾童認知策略的發(fā)展分為早期、過渡期與后期，依次經(jīng)歷從“不知何時何條件使用策略\"到“不能有效運用策略\"再到“自覺運用并能根據(jù)任務調整策略”的進階過程。顯然，后期兒童的元認知有了發(fā)展，在元認知的監(jiān)控與調節(jié)下，習得的策略性知識能遷移到陌生問題情境中，策略性知識更具靈活性。為了發(fā)展元認知，教學中可有意識地引導學生\"回頭看”，不斷反思，不斷總結，使得學生清晰地意識到所學習的策略是什么、適用范圍、何時使用以及怎樣使用等等。

如教學“替換的策略時”，例題主要是兩種類型，即兩個量之間是倍數(shù)關系與兩個量之間是加法關系。教材先安排第一種類型的學習，回顧時可組織學生結合學習過程思考，“什么是替換策略”“什么情況下用替換策略”“替換后有什么好處”“如何替換”等，啟發(fā)學生理解當問題中有兩個未知量時可借助替換策略轉化成只有一個未知量的問題，這比含有兩個未知量的問題更容易解決，替換時要根據(jù)兩個未知量間的關系等量替換。進一步地，學完兩種類型后，組織學生比較與反思“兩種類型的問題有什么相同點與不同點”，啟發(fā)學生理解本質上都是將兩個未知量轉化為一個未知量，區(qū)別在于替換的數(shù)量關系不同，一種是基于倍數(shù)關系，另一種是基于加法關系，但均需進行等量替換。通過這樣的反思，能深化學生對于策略性知識的感悟，促進有關策略性知識的元認知發(fā)展，提升認知策略運用的自覺意識。

值得注意的是，分類討論各類學習結果的特點及教學方法并不意味著各類學習結果涇渭分明。實際上，一節(jié)課中交織著言語信息、智慧技能與認知策略，并且三者間相輔相成。言語信息與智慧技能是感悟認知策略的載體，深度的理解與掌握有利于策略的有效生成；認知策略的使用能促進學生自覺主動地參與學習，監(jiān)控并調節(jié)言語信息與智慧技能的認知過程，向深度學習發(fā)展。教學中既需要根據(jù)各類學習結果的特點實施針對性教學，也要注意幾類學習結果教學的有效組合，以提升學習效果。

參考文獻：

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