數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用探索

中圖分類號：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2025）14-0065-04

在初中數(shù)學(xué)領(lǐng)域，數(shù)與代數(shù)、空間與圖形構(gòu)成了數(shù)學(xué)的兩大核心內(nèi)容，而“數(shù)”與“形”之間的聯(lián)系即為數(shù)形結(jié)合[1].我國杰出數(shù)學(xué)家華羅庚曾強(qiáng)調(diào)：數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事非.作為一種數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用可大致劃分為兩種情形，一是借助圖形解決數(shù)與式的問題；二是借助數(shù)與式的計(jì)算解決圖形問題.據(jù)此，筆者通過實(shí)際說明數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用策略，供讀者參考.

1 借助圖形解決數(shù)與式的問題

以“形”助“數(shù)”指的是運(yùn)用圖形闡釋和揭示數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，借助圖形的直觀性降低問題的抽象性[2].以“形”助“數(shù)”即意味著將“數(shù)”的問題，依托于“形”的框架展開研究，使其變得直觀和形象化，進(jìn)而直觀地探究“數(shù)”的內(nèi)在規(guī)律.

1.1 借助數(shù)軸解決不等式及根式化簡問題

例1如圖1，數(shù)軸上 ^A，B 兩點(diǎn)分別對應(yīng)實(shí)數(shù)^a，b ，則下列結(jié)論正確的是（ ）.

A. |a|gt;|b| B. a+bgt;0

C. ablt;0 D. |b|=b

解析 由 A，B 兩點(diǎn)在數(shù)軸上的位置直接可得答案為C.

例2 不等式組 的整數(shù)解只有1，2，3，則 a 的整數(shù)值有 個， b 的整數(shù)值有個.

解析 此題是一道一元一次不等式問題，通過解此不等式組可得 至此，學(xué)生可能無法構(gòu)建“不等式組的整數(shù)解只有1，2，3”與“ 之間的邏輯關(guān)系，從而陷入解題困境.在求解過程中，若能借助數(shù)軸，結(jié)合不等式組的整數(shù)解為1，2，3，由收稿日期：2025-03-15作者簡介：于海波，本科，高級教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

圖2可以直觀看出 由 1可得 0 可得 24

1.2 借助函數(shù)圖象解決一元二次方程問題

例3設(shè)關(guān)于 x 的方程 ax²+（a+2）x+9a=0 有兩個不相等的實(shí)數(shù)根 x₁，x₂ 且 x₁lt;12 ，那么 Ψ_a 的取值范圍是（ ）.

A. 0

解析 根據(jù)已知條件可知，方程 ax²+（a+2）x +9a=0 有兩個不相等實(shí)數(shù)根，顯然說明此方程為一元二次方程，則 a≠0 ：由此可將原方程可變形為 令 ，則此拋物線開口向上，如圖3所示.

由 x₁lt;12 知，此拋物線與 x 軸交點(diǎn)在（1，0）的兩側(cè).顯然，當(dāng) x=1 時， ylt;0 ，即 lt;0 ，解得 ，故選D.

1.3 利用圖形解決最值問題

例4已知函數(shù) y=∣x-a∣+∣x+19∣ +∣x-a-96∣ ，其中 Ψ_a 為常數(shù)，且滿足 19

解析絕對值與數(shù)軸有著密切的關(guān)系，因此可考慮用數(shù)軸直觀解決此題.由已知條件可得到如圖4的數(shù)軸，顯然 y=x-a+19+x+a+96-x=x +115 因?yàn)?y 隨 x 的增大而增大，所以當(dāng) x=96 時，y 有最大值 y_max=96+115=211

例5 代數(shù)式 的最小值是

解析由所給代數(shù)式易發(fā)現(xiàn)， x²+4=x²+2² ，（12-x）²+9=（12-x）²+3² .由此易聯(lián)想到勾股定理，從而想到構(gòu)造直角三角形，以“形”助“數(shù)”，為問題解決創(chuàng)造有利條件.如圖5所示， AB=12，AC=2 BD=3，AC⊥AB，BD⊥AB，P 為 AB 上一個動點(diǎn)，設(shè)AP=x ，則 ，由勾股定理可得 PC 從而可得 PC+PD ?CD ，即 過 A 作 AE// CD ，交 BD 的延長線于 E ，易知 =13 ，所以， 的最小值為13.

例6已知 x，y 都是正數(shù)， x+y=5 ，求代數(shù)式 的最小值.

解如圖6，作線段 AB=5 ，在線段 AB 上截取AE，BE ，使 AE=x，EB=y ，構(gòu)造 和RtΔDBE ，使 AC=3，BD=2 ，由勾股定理可得 CE ， ，從而可將 的最小值轉(zhuǎn)化為求 CE+ED 的最小值，即把代數(shù)式求最值問題轉(zhuǎn)化為幾何中的“將軍飲馬”問題

如圖6，作點(diǎn) c 關(guān)于直線 AB 的對稱點(diǎn) G ，連接DG ，由勾股定理可求得式子 的最小值為 ，即

的最小值是

1.4 利用幾何圖形進(jìn)行證明

例7 已知 ，求證： α+β=45^°

分析由正切三角函數(shù)的定義，可借助正方形網(wǎng)格構(gòu)造符合條件的角 αβ ，如圖7.再通過圖形變換構(gòu)造出這兩個角的和 α+β ，如圖8.

證明 根據(jù)已知條件，可構(gòu)造如圖1所示的正方形網(wǎng)格，顯然滿足 如圖8，連接 BC ，易證明 ΔABD?ΔCBE ，進(jìn)而證明 ΔABC 是等腰直角三角形，從而得到 α+β=45^°

由此可以看出，數(shù)形結(jié)合在代數(shù)問題的解決中發(fā)揮著至關(guān)重要的作用.數(shù)形結(jié)合思想能夠有效地將抽象的代數(shù)關(guān)系與直觀的圖形聯(lián)系起來，使學(xué)生以更直觀的方式理解和解決復(fù)雜的代數(shù)問題.在代數(shù)問題中，數(shù)形結(jié)合主要體現(xiàn)在數(shù)軸、函數(shù)圖象的應(yīng)用及方程（組）和不等式的求解等方面.

2 借助數(shù)與式解決圖形問題

“以數(shù)輔形”指的是運(yùn)用數(shù)學(xué)的精確性解析和描述圖形，通過代數(shù)式的推導(dǎo)和計(jì)算，將圖形問題數(shù)量化，進(jìn)而將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，以此具體探索“形”的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)[3].

2.1 借助方程組解決一次函數(shù)交點(diǎn)問題

例8已知 bgt;a ，一次函數(shù) 與 y=ax +b 的圖象在同一平面直角坐標(biāo)系中，下列圖象可能正確的是（ ）

分析 設(shè)兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為 Φ（x，y） ，則 （x，y） （20號為方程組 的解，易得此方程組的解為 從而可知兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為 （1，a （20+b） .由交點(diǎn)橫坐標(biāo)是1可知 A，C 選項(xiàng)都不對.對于選項(xiàng)B、D 而言，由 bgt;agt;0 可知交點(diǎn)的縱坐標(biāo)a+bgt;bgt;a ，故選B.

2.2 借助數(shù)解決拋物線問題

例9如圖9所示，拋物線 y=ax²+bx+c（a≠ 0）與 x 軸交于 ^A，B 兩點(diǎn)，與 y 軸交于點(diǎn) c ，若 ΔABC 是直角三角形，則 ac=

解析 設(shè) A（x₁，0），B（x₂，0） ，則 x₁，x₂ 異號，且 由此可得 ac=-1

例10直線 y=bx+c 與拋物線 相交， 兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為 x₁，x₂ ，直線 y=bx+c 與 x 軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 x₃ .求證

分析 在解決拋物線與直線相交問題時，因?yàn)闊o法確定參數(shù) a，b，c 的符號，所以無法直接確定拋物線和直線在平面直角坐標(biāo)系中的確切位置.因而此問題需要通過分類討論解決，其涉及多種情況，處理起來較為繁瑣.若將此問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式，利用方程思想通過計(jì)算解決問題，便可以避免分類討論，從而使解答過程更為簡潔明了.

解因?yàn)橹本€ y=bx+c 與 x 軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 x₃ ，所以 bx₃+c=0 ，所以 因?yàn)橹本€ y=bx+c 與拋物線 y=ax² 兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為 x₁，x₂ ，所以 x₁，x₂ 是關(guān)于 x 的一元二次方程 ax²-bx-c=0 的兩個實(shí)數(shù)根，所以 x₁+x₂ 從而可知 所以

在幾何證明中，數(shù)形結(jié)合顯得尤為重要.運(yùn)用方程思想，借助代數(shù)運(yùn)算分析圖形問題，能夠使證明過程更加直觀和簡潔，有效降低問題解決難度.

2.3 借助勾股定理

例11已知 ΔABC 的三邊長分別為 x²-y² ，2xy和 x²+y²（x，y 均為正整數(shù)，且 xgt;y ）.求 ΔABC 的面積（用含 x，y 的式子表示）.

分析在一般三角形中，已知三邊求面積的問題被稱為“三斜求積”.此問題可以利用“海倫公式”解決，但計(jì)算可能較為復(fù)雜.觀察此題中給出的三角形三邊長的代數(shù)式可以發(fā)現(xiàn)， =（x²+y²）² ，顯然 ΔABC 是一個直角三角形.

解因?yàn)?（x²-y²）²+（2xy）²=（x²+y²）² ，所以ΔABC 是直角三角形，所以此三角形的面積

在此問題中，代數(shù)運(yùn)算扮演了關(guān)鍵角色.掌握數(shù)與式的計(jì)算是學(xué)好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)技能.在計(jì)算面積和體積時，數(shù)形結(jié)合法能夠幫助學(xué)生將抽象的計(jì)算過程轉(zhuǎn)化為直觀的圖形操作，達(dá)到化難為易的目的.

2.4 用代數(shù)計(jì)算解決幾何證明問題

例12如圖10，在 ΔABC 中， ABgt;AC，CF，BE 分別是△ABC的高.證明： AB+CF≥AC+BE

證明 易知 ABgt;ACgt;CF，ABgt;BE. 因?yàn)?S_ΔABC ，所以 （20 所以中 所以 AB-BEgt;AC-CF ，所以AB+CFgt;AC+BE. 當(dāng) ∠A=90^° 時， AB+CF=AC +BE. 綜上所述， AB+CF≥AC+BE.

在幾何證明中，數(shù)形結(jié)合策略顯得尤為重要.在解題過程中，合理運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法，可以使幾何證明過程更加直觀和簡潔，從而提高學(xué)生的解題效率.

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合的思想和方法十分重要.這種方法通過將抽象的數(shù)學(xué)概念與直觀的幾何圖形相結(jié)合，為解決問題創(chuàng)造有利條件，其特別強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思維的靈活性，引導(dǎo)學(xué)生在面對數(shù)學(xué)問題時，能夠自由地在“數(shù)”與“形”之間轉(zhuǎn)換，從而多角度審視問題，探索解決問題的多種途徑.

3 結(jié)束語

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合的思想和方法在建立知識間聯(lián)系、激活學(xué)生思維、提升學(xué)生數(shù)學(xué)能力方面具有顯著成效.因此，在教學(xué)過程中，教師應(yīng)有意識地培養(yǎng)和提升學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想的能力，以此提高學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識分析問題和解決問題的能力，提升其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1］周娟.數(shù)形結(jié)合思想在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].試題與研究，2023（23）：28-30.

［2]許國榮.“數(shù)形結(jié)合”讓初中數(shù)學(xué)“化繁為簡”[J].讀寫算，2023（22）：101-103.

[3］張鳳鮮.數(shù)形結(jié)合法在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用技巧[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2024（4）：158-160.

[責(zé)任編輯：李慧嬌]