高中數(shù)學解題中“變、等、形、化”思路應用研究

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2025）16-0061-03

高中數(shù)學解題不僅是對知識的運用，更是對思維的考驗.“變、等、形、化”作為一種綜合性解題思路，能夠幫助學生從動態(tài)關(guān)系、等量關(guān)系、直觀圖形和轉(zhuǎn)化思維四個維度分析問題，找到解決問題的有效路徑.

1以“變”為基，構(gòu)建動態(tài)關(guān)系

1. 1 思路解析

“變”是數(shù)學問題的本質(zhì)特征，體現(xiàn)了變量間的動態(tài)關(guān)系.在解題中，抓住“變”的本質(zhì)，能夠幫助學生快速識別問題中的變量及其關(guān)系，為建立數(shù)學模型奠定基礎.例如，在函數(shù)問題中，變量之間的依賴關(guān)系往往通過解析式或圖象表現(xiàn)出來，而“變”的思想則引導我們關(guān)注這些關(guān)系的動態(tài)變化規(guī)律.通過分析變量的變化趨勢，可以更好地理解問題的本質(zhì)，從而找到解決問題的突破口：“變”與“等”相互依存.變量間的動態(tài)關(guān)系是建立等量關(guān)系的前提，而等量關(guān)系則是描述變量間動態(tài)規(guī)律的數(shù)學表達，二者共同構(gòu)建了數(shù)學問題的解決框架.例如，在方程問題中，變量間的動態(tài)關(guān)系通過等量關(guān)系得以體現(xiàn)，而等量關(guān)系的建立又依賴于對變量變化規(guī)律的深刻理解.這種辯證關(guān)系使得“變”與“等”成為數(shù)學解題中不可分割的兩個方面.

1. 2 解題方法

案例1 （數(shù)列問題）已知數(shù)列 {a_n} 滿足 a₁ =1，a_n+1=2a_n+1 ，求數(shù)列的通項公式.

識別變量是解決問題的首要環(huán)節(jié)，關(guān)鍵在于從題目中精準提取自變量和因變量，明確二者的依賴關(guān)系.首先，自變量是獨立變化的量，因變量則受其影響而改變，理解這種關(guān)系是后續(xù)分析與建模的基礎.接著，可借助函數(shù)、數(shù)列等數(shù)學工具，剖析變量的變化規(guī)律，挖掘其變化趨勢與模式.最后，依據(jù)這些規(guī)律構(gòu)建函數(shù)、方程或不等式等動態(tài)模型，精確刻畫變量間的互動關(guān)系，為問題求解及趨勢預測提供理論支撐與方法指導.

1.3 案例分析

分析（1）識別變量;數(shù)列的項 a_n 隨項數(shù) n 的變化而變化；（2）分析變化規(guī)律;通過遞推關(guān)系 a_n+1=2a_n +1 ，發(fā)現(xiàn)數(shù)列呈指數(shù)增長趨勢；（3）建立動態(tài)模型：設a_n=b_n+c ，代入遞推關(guān)系，解得 b_n=2ⁿ-1. 本題成功通過分析變量間的動態(tài)關(guān)系，求得數(shù)列的通項公式.

2以“等”為橋，建立等量關(guān)系

2.1 思路解析

“等”是數(shù)學問題的核心，體現(xiàn)了變量間的等量關(guān)系.通過建立方程或等式，將未知量與已知量聯(lián)系起來，揭示問題的內(nèi)在規(guī)律.無論是幾何問題、代數(shù)問題還是應用問題，等量關(guān)系都是解決問題的基礎在許多數(shù)學模型中，等量關(guān)系為我們提供了一個能夠?qū)碗s問題轉(zhuǎn)化為可解問題的框架.通過利用已知條件，我們可以找到未知量之間的聯(lián)系，從而用數(shù)學語言進行準確地描述與推理.

在實際應用中，建立等量關(guān)系往往需要將現(xiàn)實問題中的各種因素進行抽象和數(shù)學化.此時，方程或等式不僅僅是工具，更是理性思維的體現(xiàn).通過符號化的“等”，我們將看似抽象的概念和實際問題中的未知因素進行聯(lián)系，從而為問題的求解鋪平道路.

2.2 解題方法

尋找等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵步驟，首先需要從問題中提取已知條件和未知量，識別它們之間的數(shù)量關(guān)系，并通過這些關(guān)系建立等式，這些等式為后續(xù)求解提供了明確的數(shù)學框架.接下來，通過代數(shù)運算、圖象法等工具求解方程，逐步得到未知量的值.在求解過程中，可以選擇適合問題特點的方法，如代數(shù)運算簡化方程或利用圖象法直觀展示解的變化情況.最后，為確保解的正確性，需要將求得的解代入原問題中，驗證其是否符合實際情況，從而確保解的合理性和準確性.這一驗證過程是解決問題的最后環(huán)節(jié)，確保所求得的結(jié)果在實際應用中的有效性.

2.3 案例分析

案例2 （幾何問題）在 中，∠C=90^° ，已知 AB=5，AC=3 ，求 BC 的長度

分析（1）尋找等量關(guān)系：根據(jù)勾股定理， AB² =AC²+BC² ;（2）求解方程：代人已知值，得 5²=3² +BC² ，解得 BC=4 ;（3）驗證解的正確性：將 BC=4 代人勾股定理，驗證等式成立.本題成功通過建立等量關(guān)系并求解方程，求得直角三角形的邊長.

3以“形”為鏡，洞察問題本質(zhì)

3.1 思路解析

“形”是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)，通過圖形直觀地展現(xiàn)數(shù)學問題的本質(zhì).圖形能夠幫助學生理解抽象概念，為解題提供直觀支持.通過圖形的展示，數(shù)學中的很多抽象概念得以形象化，變得更加易于理解.比如，在幾何問題中，圖形不僅僅是對物體形態(tài)的描述，它還能夠展示物體之間的相對位置、大小比例以及它們之間的幾何關(guān)系.通過對圖形的觀察和分析，學生能夠更加直觀地感知問題的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，進而更清楚地理解題目要求和解題步驟.

“形”與“變”“等”相互促進，構(gòu)成一個密不可分的整體.在動態(tài)問題中，圖形的變化是展現(xiàn)變量關(guān)系的重要方式.同時，這些圖形呈現(xiàn)的變化規(guī)律，也為推導變量關(guān)系和等量關(guān)系提供了直觀依據(jù).通過圖形，我們可以觀察變量隨時間、位置等因素的變化情況，而這些變化規(guī)律，則需借助數(shù)學的等量關(guān)系進行表達和求解.

3.2 解題方法

繪制圖形是解題的關(guān)鍵環(huán)節(jié).根據(jù)問題的描述繪制幾何圖形或函數(shù)圖象，能夠直觀呈現(xiàn)問題結(jié)構(gòu)與變量關(guān)系.首先，通過這些圖形，我們可以更清晰地看到變量之間的變化趨勢和空間布局.接著，通過分析圖形的交點、極值點等關(guān)鍵特征，結(jié)合問題背景，可深入理解問題的解.最后，為了確保解的正確性，需要將求得的解與圖形中的特征進行對比，檢查解是否符合圖形的表現(xiàn).如果解與圖形的特征一致，那么可以確認解的合理性和準確性.通過這種圖形和代數(shù)的結(jié)合分析，能夠更全面地驗證解的正確性，并為問題解決提供可靠保障.

3.3 案例分析

案例3 （解析幾何問題）求直線 y=x+1 與圓 x²+y²=5 的交點坐標.

分析（1）繪制圖形：繪制直線和圓的圖象，觀察其交點；（2）結(jié)合圖形分析：通過圖象可知，直線與圓有兩個交點；（3）求解方程：聯(lián)立方程 y=2x+1 和 x²+y²=5 ，解得交點坐標為（1，2）和（-2，-1）.本題成功通過繪制圖形并結(jié)合圖象特征，求得直線與圓的交點坐標.

4以“化”為徑，化繁為簡為易

4.1 思路解析

“化”是化歸轉(zhuǎn)化思想的體現(xiàn)，通過變量替換、問題轉(zhuǎn)化等手段，將復雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題，將陌生問題轉(zhuǎn)化為熟悉問題.在數(shù)學解題過程中，很多問題的復雜性來源于不熟悉的形式或復雜的計算步驟，使用“化”的方法，可以通過巧妙轉(zhuǎn)換，將問題的復雜程度大大降低，從而使解題過程變得更加清晰和高效.例如，某些高階方程或不規(guī)則圖形問題，通過變量替換或坐標變換，能夠?qū)⑵滢D(zhuǎn)化為標準形式或簡單問題，這樣就可以利用已知的解法和工具來解決.

“化”與“變”“等”“形”相互促進.通過變量替換或問題轉(zhuǎn)化，能夠清晰展現(xiàn)問題中的變量關(guān)系，進而揭示等量關(guān)系與動態(tài)變化.例如在代數(shù)問題中，引入新變量可簡化復雜表達式或方程，便于后續(xù)分析求解；在幾何問題里，利用坐標變換或形狀變換，能將復雜圖形轉(zhuǎn)化為熟悉形態(tài)，降低問題難度.這種“化”的過程，不僅能簡化變量關(guān)系，還能明晰等量關(guān)系，為問題的最終解決奠定基礎.

4.2 解題方法

變量替換是解決復雜問題的有效方法.引入新變量可簡化問題形式，降低方程復雜度或減少變量數(shù)量，使抽象問題變得直觀易懂，便于進一步分析求解.問題轉(zhuǎn)化是將陌生問題轉(zhuǎn)化為熟悉問題的策略通過剖析問題本質(zhì)，結(jié)合已有知識框架，把復雜問題轉(zhuǎn)化為已掌握的類型，從而運用已知解法高效處理分步解決是逐步化解復雜問題的方式.把復雜問題拆解成若干簡單問題，各個擊破，再匯總解答，避免直面過高難度.這種分步驟處理的方式，能幫助我們更好地應對各類復雜數(shù)學問題[2].

4.3 案例分析

案例4（概率問題）從1到10的整數(shù)中隨機選取3個數(shù)，求其中至少有一個偶數(shù)的概率

分析（1）問題轉(zhuǎn)化：求“至少有一個偶數(shù)”的概率，轉(zhuǎn)化為求“全部為奇數(shù)\"的補集概率；（2）計算補集概率：從5個奇數(shù)中選取3個數(shù)的概率為 12；（3）求解目標概率：P=1 本題成功通過問題轉(zhuǎn)化和補集思想，將復雜概率問題轉(zhuǎn)化為簡單問題

5 結(jié)束語

“變、等、形、化\"作為高中數(shù)學解題的核心思路，貫穿于代數(shù)、幾何、概率等多個領域，體現(xiàn)了數(shù)學問題的動態(tài)性、邏輯性和直觀性特點.通過具體案例的分析，能清晰看到這一思路在解題中的廣泛應用.這一思路不僅能夠幫助學生高效解決復雜問題，還能培養(yǎng)其邏輯思維、空間想象和化歸轉(zhuǎn)化能力，促進學生數(shù)學思維能力的全面提升，也為高中數(shù)學教學提供了理論支持和實踐指導，為高中數(shù)學教育的發(fā)展注入新的活力.

參考文獻：

[1］田昆.探析高中數(shù)學解題中數(shù)形結(jié)合思想的應用［J].數(shù)學學習與研究，2021（36）：153－155.

[2]王德忠.高中數(shù)學解析幾何解題研究：基于數(shù)形結(jié)合思想[J].中學數(shù)學，2021（23）：56-57.

[責任編輯：李慧嬌]