一道雙曲線離心率問題的解法探究

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2025）16-0018-03

雙曲線的離心率問題，一直是歷年高考數(shù)學(xué)試卷中的一個(gè)重點(diǎn)與難點(diǎn)，題目背景新穎，形式變化多樣，往往需要從不同思維視角切入，結(jié)合不同的技巧與方法來分析與解決下面結(jié)合一道高考模擬題中雙曲線離心率的求解，通過多角度思考，合理進(jìn)行邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算，探究不同解法，并反思解題過程.

1 試題呈現(xiàn)

試題 已知橢圓C：4 和雙曲線 C₂ ： 有公共焦點(diǎn) F₁，F(xiàn)₂ ，它們?cè)诘诙笙薜墓颤c(diǎn)為點(diǎn) P ，點(diǎn) P 與右焦點(diǎn) F₂ 的連線交 y 軸于點(diǎn)Q ，且 QF₁ 平分 ∠PF₁F₂ ，則雙曲線 C₂ 的離心率為.

2解法探究

解法1 如圖1所示，由題意可知， F₁F₂=2 ，

PF₁=r₁，PF₂=r₂，∠PF₁Q=∠QF₁F₂=∠PF₂F₁=θ.

所以 解得 在 ΔPF₁F₂ 中，由正弦定理可知

所以

所以

在 ΔPF₁F₂ 中，由余弦定理可知r₂²+（2c）²-r₁²=2r₂?（2c）?cosθ.

即 a（5a-2）=0

解得 中

所以雙曲線 C₂ 的離心率

點(diǎn)評(píng) 由雙曲線、橢圓的定義得出 （2號(hào)再由正弦定理得出 cosθ ，余弦定理得出（2號(hào) 進(jìn)而得出離心率.

解法2由已知，記 ∠PF₂F₁=θ ，則 ∣QF_?1 二

橢圓的離心率

解得 （20

雙曲線的離心率

點(diǎn)評(píng)在 ΔPF₁F₂ 中，利用正弦定理的邊化角公式，并結(jié)合離心率公式得出 cosθ ，進(jìn)而再由正弦定理的邊化角公式結(jié)合離心率公式求出雙曲線的離心率.

解法3由已知，記 ∠PF₂F₁=θ ，則 ∣QF₁ 二

由 ，得

則

所以

（4-|PF₁|）²=|PF₁|²+2|PF₁|.

所以 A

雙曲線的離心率e=IPF2I-IPF，I

點(diǎn)評(píng)由 ΔPF₁Q?ΔPF₂F₁ ，根據(jù)相似性質(zhì)構(gòu) 建方程組，求解得出 ∣PF₁∣，∣PF₂∣ ，再由離心率公式 求解即可.

解法4 由已知，設(shè) ∣PF₁∣=x ， ∣QF₁∣=t ，則∣PF₂∣=4-x，∣QF₂∣=t.

由三角形的內(nèi)角平分線定理得

即 xt=8-2x-2t

由已知易知 ，則

則 2x=4t-xt

由 ①② ，得 2x=4t-（8-2x-2t）

解得

所以雙曲線的離心率

點(diǎn)評(píng)利用三角形的內(nèi)角平分線定理得出 Ψ_xt =8-2x-2t ，由相似性質(zhì)得出 2x=4t-xt ，聯(lián)立方程解出 ，最后由離心率公式求解

解法5 依題意，設(shè)點(diǎn) P（x₀，y₀） ，其中 x₀lt;0 ，（20 y₀gt;0 ，則由三角形內(nèi)角平分線定理，得 即 其中 k （20是直線 PF₂ 的斜率），即 x=-2x，解得

又由橢圓與雙曲線的焦半徑公式，得 ∣PF₁∣ （2 ，其中 e 為雙曲線的離心率，由此解得

點(diǎn)評(píng)利用三角形的內(nèi)角平分線定理結(jié)合距離公式得出 進(jìn)而由橢圓和雙曲線的焦半徑公式建立方程得出雙曲線離心率

解法6 如圖1所示，當(dāng) PF₁ 垂直于 x 軸時(shí)，不符合題意.所以 PF₁ 不垂直于 x 軸

因?yàn)?∣F₁F₂∣=2 ，所以 F₁（ε-1，0），F(xiàn)₂（1，0）

令P（x，y），所以kp2= k_PF1

因?yàn)? 1所以y 1又 3x²+4y²=12 ，整理，得 15x²-8x-16=0 所以 或 舍）.所以 所以 把 代人橢圓 ，得

又 a²+b²=1 ，所以

所以 （20號(hào) 所以 （2號(hào)

點(diǎn)評(píng) 令 P（x，y） ，由斜率公式結(jié)合二倍角公式得出 再由 3x²+4y²=12 求出點(diǎn) P 坐標(biāo)，代入雙曲線方程求出 ^a，b ，進(jìn)而得出離心率.

3 結(jié)束語(yǔ)

離心率是雙曲線的重要幾何性質(zhì)，是描述雙曲線形狀的重要參數(shù).雙曲線的離心率的求法是歷年高考、競(jìng)賽中比較常見的一類問題，涉及解析幾何、平面幾何、代數(shù)等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，方法靈活.雙曲線的離心率問題，往往對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理能力要求較高，對(duì)大多數(shù)學(xué)生來說是一個(gè)很大的挑戰(zhàn)，也是形成數(shù)學(xué)能力的一個(gè)分化點(diǎn)與機(jī)遇[1].在解題過程中，要依據(jù)試題的實(shí)際情況，適當(dāng)設(shè)置參數(shù)或點(diǎn)的坐標(biāo)，借助坐標(biāo)關(guān)系構(gòu)建離心率的方程或不等式，或者從平面幾何知識(shí)入手，尋找圖形中的平行、垂直關(guān)系以及三角形的相似等，然后轉(zhuǎn)化為離心率的方程或不等式問題[2].總之，求解雙曲線的離心率的值或取值范圍的關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)牡攘炕虿坏攘筷P(guān)系，以過渡到含有離心率 e 的等式或不等式使問題獲解.離心率問題可以從利用幾何性質(zhì)和坐標(biāo)運(yùn)算兩條研究路徑入手，立足平面幾何，強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合，教學(xué)時(shí)可以通過一題多解發(fā)散思維，同時(shí)強(qiáng)調(diào)方法的選擇，引導(dǎo)學(xué)生多思少算，建立先幾何再代數(shù)的想法，通過對(duì)試題深人觀察、比較、聯(lián)想、分析等，進(jìn)而找到簡(jiǎn)潔的解法.

參考文獻(xiàn)：

[1］王勇，張華麗.在新情境中探究雙曲線的離心率[J].數(shù)理天地（高中版），2023（07）：21-23.

[2］劉玉.一道圓錐曲線題目的變式探究[J].數(shù)理化解題研究，2024（19）：54-56.

[責(zé)任編輯：李慧嬌]