例談函數(shù)對稱性問題的題型和求解策略

中圖分類號：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1008-0333（2025）16-0073-03

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的主線，是數(shù)學(xué)抽象思維的重要體現(xiàn)和教學(xué)載體，也是連接高中數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的重要橋梁，多年來函數(shù)都是高考的熱門考點(diǎn)[1].自2021年全國卷實(shí)施以來，函數(shù)的對稱性作為考點(diǎn)頻繁出現(xiàn)，其重要性不言而喻.筆者基于多年高中一線教學(xué)實(shí)踐，整理了六種函數(shù)對稱性問題的?？碱}型，并給出了解題思路和策略.

1 函數(shù)對稱性問題的題型歸納

1.1 利用對稱性識別函數(shù)解析式和圖象

例1函數(shù) f（x）=-x²+（e^x-e^-x）sinx 在區(qū)間[-2.8，2.8]的圖象大致為（ ）.

解析找出解析式對應(yīng)的函數(shù)圖象或是根據(jù)函數(shù)圖象找到匹配的函數(shù)解析式，體現(xiàn)了函數(shù)兼具“數(shù)”和“形”的特點(diǎn).因?yàn)?f（?-x）=-?x²+（?e^-x -e^x）sin（-x）=-x²+（e^x-e^-x）sinx=f（x） ，所以函數(shù)是偶函數(shù)，排除A，C，再通過驗(yàn)證特殊值 f（1） 排除D，故選B

1. 2 已知某函數(shù)對稱性求參數(shù)

例2若 是奇函數(shù)，則a=-，b=-?

解法1 （利用奇函數(shù)定義域的對稱性）已知函數(shù)的對稱性求參數(shù)，要先考慮函數(shù)的定義域也應(yīng)當(dāng)具有對稱性，而根據(jù)解析式可以得出 x≠1 ，則必有x≠-1

若 a=0 ，則函數(shù) f（x） 的定義域?yàn)?{x∣x≠1} ，不關(guān)于原點(diǎn)對稱，故 a≠0

要使奇函數(shù) 的解析式收稿日期：2025-03-05

作者簡介：殷寧，碩士，一級教師，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

基金項(xiàng)目：江蘇省南京市玄武區(qū)教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃 2022年度課題“‘三教’理念指導(dǎo)下的高中數(shù)學(xué)學(xué)生‘說題’教學(xué)的實(shí)踐研究\"（項(xiàng)目編號：XL/2022/013）.

有意義，則 _x≠1 且 即 _x≠1 且 則 ，解得 由 f（0）=0 ，得 故

解法2 （利用奇函數(shù)定義構(gòu)造代數(shù)恒等式） 由函數(shù) f（x） 為奇函數(shù)可得 +2b=0 恒成立.

評析對初等函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，已知對稱性求參數(shù)時(shí)，我們可以抓住對稱性的定義：如果一個(gè)函數(shù)的定義域關(guān)于 對稱，則若對定義域內(nèi)的任意 x ，有 f（a+x）=f（b-x） ，則稱 f（x） 關(guān)于直線 x 對稱;若有 f（a+x）+f（b-x）=c ，則稱 f（x） 關(guān)于點(diǎn) 對稱，來構(gòu)造一個(gè)與 x 無關(guān)的恒等式.

1.3 利用對稱性求值或函數(shù)解析式

例3 已知函數(shù) ，則

A.2 022 B.2 023 C.2 024 D.2 025

解析 由題可得

所以

1. 4 判斷或證明某函數(shù)具有對稱性

例4設(shè)函數(shù) f（x）=a^x+ka^-x（k∈R，agt;0，a≠ 1）.討論函數(shù) f（x） 的圖象是否有對稱中心.若有，請求出;若無，請說明理由；

解析設(shè)點(diǎn) P（m，n） 為函數(shù) f（x） 的對稱中心， 則 f（x）+f（2m-x）=2n ，代人得 （204 a^x+ka^-x+a^2m-x+ka^-2m+x=2n. （20 即 （2 整理，得 a^2x（1+ka^-2m）-2na^x+（k+a^2m）=0. 于是 1+ka^-2m=0 ，且 k+a^2m=0 ，且 2n=0 ，即 （204 a^2m=-k，n=0. （204

所以當(dāng) k?0 時(shí)， m 無解，此時(shí)函數(shù) f（x） 的圖象沒有對稱中心；當(dāng) klt;0 時(shí)， ，此時(shí)函數(shù) f（x） 圖象的對稱中心為

1.5 對稱性與單調(diào)性、周期性結(jié)合的綜合問題

例5已知函數(shù) f（x） 的定義域?yàn)?R，f（x+1） 為奇函數(shù) f（x+2） 為偶函數(shù)，且對任意的 x₁，x₂∈（1 2）， x₁≠x₂ ，有 （x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]gt;0 ，則下列結(jié)論正確的是（ ）.

A. f（x） 是偶函數(shù)

8.f（2 025）=0

C.f（x） 的圖象關(guān)于（-1，0）對稱

解法1（代數(shù)變換）由函數(shù) f（x+1） 為奇函數(shù)知 f（?-x+1）=-f（x+1）

所以 f（1）=-f（1） ，可得 f（1）=0 由函數(shù) f（x+2） 為偶函數(shù)，則 f（2-x）=f（2+x）

則 f（2+x）=f（2-x）=f（1+1-x）=-f[1 -（1-x）]=-f（x）

用 x+2 替換 x 可得 f（x+4）=-f（x+2）=f（x）

所以 f（x） 是周期函數(shù)，4是它的一個(gè)周期

f（-x）=-f（2+x）=-f（2-x）=f[2-（2 -x）]=f（x） ，A正確;

f（α-1）=f（3）=f（2+1）=f（2-1）=f（1）=0， （20號故 f（2025）=f（4×506+1）=f（1）=0，B 正確;

f（2-x）=-f（x） ，即 f（x-2）=-f（-x） ，函數(shù)f（x） 的圖象關(guān)于點(diǎn)（-1，0）對稱，C正確;

易得函數(shù) f（x） 在（1，2）單調(diào)遞增，而 ，則 .所以 ，D錯(cuò)誤

解法2（圖象變換 ）f（x+1），f（x+2） 分別由f（x） 向左平移一個(gè)和兩個(gè)單位而來，故 f（x） 關(guān)于點(diǎn)（1，0）對稱，也關(guān)于直線 x=2 對稱，因此具有周期性，4是它的一個(gè)周期.

對任意的 x₁，x₂∈（1，2） ， x₁≠x₂ ，有 （x₁-x₂） ： [f（x₁）-f（x₂）]gt;0 ，說明函數(shù) f（x） 在（1，2）單調(diào)遞增，可以畫出函數(shù) f（x） 在（1，2）的草圖，再根據(jù)對稱性補(bǔ)全圖象，則問題迎刃而解.

對稱性與周期性之間的常用結(jié)論有：（1）若函數(shù) f（x） 的圖象關(guān)于直線 x=a 和 x=b 對稱，則函數(shù) f（x） 的周期為 T=2∣a-b∣ ;（2）若函數(shù) f（x） 的圖象關(guān)于點(diǎn) （a，0） 和點(diǎn) （b，0） 對稱，則函數(shù) f（x） 的周期為 T=2∣a-b∣ ；（3）若函數(shù) f（x） 的圖象關(guān)于直線 x=a 和點(diǎn) （b，0） 對稱，則函數(shù) f（x） 的周期為T=4∣a-b∣.

1. 6 兩函數(shù)之間的對稱關(guān)系

例6已知定義在區(qū)間[0，2]上的函數(shù) y=f（x） （2的圖象如圖1所示，則 y=-f（2-x） 的圖象為（填序號）

解法1 （特殊點(diǎn)驗(yàn)證法）由圖象可知 f（0） =0，f（1）=1，f（2）=1. （204號

則當(dāng) x=0 時(shí)， y=-f（2）=-1 5

當(dāng) x=1 時(shí)， ：

當(dāng) x=2 時(shí)， y=-f（0）=0

故選 ②

解法2 （代數(shù)式判斷法） y=f（x） 和 y=-f（2 -x） 的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對稱，故選 ②

2 結(jié)束語

本文通過教學(xué)實(shí)踐歸納出以上六種函數(shù)對稱性題型及其解題方法.在教學(xué)過程中，教師應(yīng)強(qiáng)化基礎(chǔ)訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生掌握基本方法；同時(shí)建議持續(xù)關(guān)注并強(qiáng)調(diào)函數(shù)數(shù)形結(jié)合的特點(diǎn)，從多個(gè)角度開拓學(xué)生思維，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)能力提升.

參考文獻(xiàn)：

[1］中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.