不等式在函數(shù)問題中的應(yīng)用例析

不等式是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)內(nèi)容，在其他模塊的學(xué)習(xí)以及實(shí)際問題處理中有著廣泛應(yīng)用，貫穿高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終.本文對(duì)不等式及其性質(zhì)在函數(shù)問題中的應(yīng)用進(jìn)行探究.

1求函數(shù)的定義域

在求函數(shù)的定義域問題中，若函數(shù)解析式中含有分式，則分母不等于0；若函數(shù)解析式中含有對(duì)數(shù)式，則對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0；若函數(shù)解析式中含有偶次根式，則根式內(nèi)非負(fù)，這些均與不等式有關(guān).

例1 函數(shù) 的定義域?yàn)?/p>

欲使函數(shù) f（x） 有意義，則 {xgt;0， ，解得0

本題所給的函數(shù)解析式中既含有對(duì)數(shù)，又含有偶次根式，也含有分式，故根據(jù)函數(shù)解析式有意義的條件，列出關(guān)于 x 的不等式組，解不等式取交集，即可求得函數(shù) f（x） 的定義域.

2判斷函數(shù)的單調(diào)性

函數(shù)單調(diào)性的定義：已知函數(shù) f（x） 的定義域?yàn)镮，D?I ，對(duì)于任意的 x₁，x₂∈D ，當(dāng) x₁2 時(shí)，都有f（x₁）2） ，則 f（x） 在區(qū)間 D 上單調(diào)遞增；當(dāng)x₁2 時(shí)，都有 f（x₁）gt;f（x₂） ，則 f（x） 在區(qū)間 D 上單調(diào)遞減.

例2 已知函數(shù) ，若對(duì)任意的x₁，x₂∈（1，+∞） ，且 x₁2 ，則 f（x₁），f（x₂） 的關(guān)系為（ ）.

A. C. f（x₁）=f（x₂） D.無法判斷

對(duì)任意的 x₁，x₂∈（1，+∞） ，且 x₁2 ，有

因?yàn)?_X2gt;_X1gt;1 ，所以

則 ，所以

即 ，故選B.

利用定義法判斷函數(shù)的單調(diào)性，要注意 x₁ ，x₂ 的任意性，除了直接比較 f（x₂），f（x₁） 的大小關(guān)系，還可利用不等式 （或 gt;0 進(jìn)行判斷.

3求函數(shù)的最值

求解含有參數(shù)的函數(shù)最值問題，要對(duì)參數(shù)的可能取值進(jìn)行分類討論，分類的標(biāo)準(zhǔn)就是參數(shù)與相關(guān)量的大小關(guān)系，因此需要借助不等式來求解.

例3已知函數(shù) f（x）=3x²-12x+5 ，求函數(shù)f（x） 在 [m，m+2] 上的最值.

已知 f（x） 的圖像為拋物線，且開口向上，對(duì)稱軸為 x=2 ，所給區(qū)間含有參數(shù) Ψ_m ，其與對(duì)稱軸的位置關(guān)系不確定，故需分如下幾種情況進(jìn)行討論.

當(dāng) m≥2 時(shí)， f（x） 在 [m，m+2] 上單調(diào)遞增，所以函數(shù) f（x） 的最小值為 f（m）=3m²-12m+5 ，最大值為 f（m+2）=3m²-7

當(dāng) 2≥m+2 ，即 m?0 時(shí)， f（x） 在 [m，m+2] 上單調(diào)遞減，所以函數(shù) f（x） 的最小值為 f（m+2）= 3m²-7 ，最大值為 f（m）=3m²-12m+5

當(dāng) mlt;2

f（m）} .由 3m²-12m+5≥3m²-7 ，解得 m?1 ，所以當(dāng) 02-12m+5. 當(dāng) 12-12m+5lt; 3m²-7 ，此時(shí)函數(shù) f（x） 的最大值為

f（m+2）=3m²-7.

本題中的函數(shù)已知，對(duì)稱軸確定，但所給的區(qū)間不確定，需要借助不等式討論對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系.

4識(shí)別函數(shù)圖像

結(jié)合函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖像問題是近年高考的?？碱}型，所給的選項(xiàng)之間往往只有細(xì)微差異，需要學(xué)生從這些差異人手，尋找解題的突破口.

例4（2024年全國甲卷理7）函數(shù) f（x）= -x²+（e^x-e^-x）sinx 在[一2.8，2.8]上的圖像大致為.

已知函數(shù) f（x） 的定義域[一2.8，2.8]為對(duì)稱區(qū)間，且 f（-x）=f（x） ，所以 f（x） 為偶函數(shù)，故排除選項(xiàng)A和C.再結(jié)合選項(xiàng)B和D差異，求特殊值

故選B.

函數(shù)圖像的判斷，有時(shí)既要借助函數(shù)的奇偶 性、單調(diào)性、對(duì)稱性，也要借助函數(shù)值的正負(fù)

情況判斷.

5 判斷函數(shù)零點(diǎn)分布

函數(shù)的零點(diǎn)，即函數(shù)圖像與 x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，也是方程 f（x）=0 的根，零點(diǎn)分布問題的處理需要結(jié)合三者關(guān)系進(jìn)行判斷.

E 例5 已知函數(shù) f（x）=3x²+2（1-a）x- a（a+2） 在 （-1，1） 上存在零點(diǎn)，則 α_a 的取值范圍是

O 易知 f（x）=3x²+2（1-a）x-a（a+2）= 解析 （x-a）（3x+a+2） 由 f（x）=0 ，可得 x₁=

若 x₁∈（-1，1） ，則 ，解得一 5lt; alt;1

若 x₂∈（-1，1） ，則 -1

綜上， a 的取值范圍是 （-5，1）

一元二次函數(shù)零點(diǎn)的分布情況，首先考慮題設(shè)所給函數(shù)解析式能否因式分解，若能進(jìn)行因式分解，只需結(jié)合題設(shè)分類討論即可.

6解決實(shí)際應(yīng)用問題

例6現(xiàn)有 n 位同學(xué)參加學(xué)校組織的某棋類單循環(huán)制比賽，即任意兩位參賽者之間恰好進(jìn)行一場比賽.每場比賽的計(jì)分規(guī)則是：勝者計(jì)3分，負(fù)者計(jì)0分，平局各計(jì)1分.所有比賽結(jié)束后，若這 n 位同學(xué)的得分總和為150分，且平局總場數(shù)不超過比賽總場數(shù)的一半，則平局總場數(shù)為（ ）.

A. 13 B.14 C. 15 D. 16

設(shè)平局總場數(shù)為 k（k∈N） ，由賽制規(guī)則可知比賽總場數(shù)為C2= （2號(hào) .由于能決定勝負(fù)的每場選手的得分之和為3分，每場平局選手的得分之和為2分，所以

則 因?yàn)槠骄挚倛鰯?shù)不超過比賽總場數(shù)的一半，所以

整理可得 100?n（n-1）?120. 因?yàn)?n 為正整數(shù)，所以 n=11 ，則平局的總場數(shù) ，故 選C.

點(diǎn) 評(píng)

在實(shí)際應(yīng)用問題中要根據(jù)問題背景，列出相應(yīng)的不等式，再求解.

（完）

高中 數(shù)理化