警惕函數(shù)中的易錯題

“會而不對，對而不全”是學生解題中的常見情況，也是造成失分的主要原因.函數(shù)問題中易錯題主要包括忽視函數(shù)的定義域、混淆有關概念、遺漏特殊點、討論重復或不全面等問題.本文對這些易錯題進行舉例分析，以期幫助學生有效避錯.

1 定義域變化問題

定義域是函數(shù)的三個要素之一，函數(shù)的其他性質(zhì)及函數(shù)的應用等均建立在定義域的基礎上，因此在解決與函數(shù)有關的問題時，首先要考慮函數(shù)的定義域.

例1已知函數(shù) f（x）=1-log₂x 的定義域為[1，4]，則函數(shù) y=f（x）f（x²） 的值域為

分析在求解本題的過程中，部分學生得出了如下錯誤的答案.由已知得

y=f（x）f（x²）=（1-log₂x）（1-log₂x²）=

（1-log₂x）（1-2log₂x）.

設 log₂x=t ，因為 x∈[1，4] ，所以 log₂x∈[0 2]，即 t∈[0，2] ，則

當 時，ymin ；當 t=2 時， y_max=3 ，故函數(shù)y=f（x）f（x²） 的值域為

上述解答出錯的原因是忽視了復合函數(shù)的定義域 .y=f（x）f（x²） 中含有復合函數(shù) y=f（x²） ，因為f（x） 的定義域為[1，4]，由 1?x²?4 ，解得 1?x?2 所以函數(shù) y=f（x）f（x²） 的定義域為[1，2].令 t= log₂x ，則 t∈[0，1] ，且 當 t=0 中時， y_max=1 ；當 時，ymin ，所以函數(shù) y= f（x）f（x²） 的值域為 1

類似地，在判斷函數(shù)的奇偶性時，要先判斷其定義域是否關于原點對稱；利用換元法解題時要注意新變量的取值范圍等.

2 形似概念問題

函數(shù)中涉及很多形似但質(zhì)異的概念，如函數(shù)的對稱性是一個函數(shù)自身的性質(zhì)，奇函數(shù)圖像關于原點對稱，偶函數(shù)圖像關于 y 軸對稱.對稱關系是指兩個函數(shù)之間的對稱，如 y=f（x） 與 y=f（-x） 的圖像關于 y 軸對稱， y=f（x） 與 y=-f（x） 的圖像關于 Ψ_x 軸對稱等.

例2已知函數(shù) f（x）=e^x ，則函數(shù) y=f（x+a） （2與 （ ）.

A.關于 x=a 對稱 B.關于 y 軸對稱C.關于原點對稱 D.關于點 （a，0） 對稱

分析本題考查的是兩個函數(shù)圖像的對稱關系，部分學生求解時易將其與一個函數(shù)圖像自身的對稱性混淆，從而造成錯解.

不妨令 agt;0 ，則 y=f（x+a） 可視為將函數(shù) y= f（x） 的圖像向左平移 a 個單位長度； y=f（a-x） 可視為將函數(shù) y=f（-x） 的圖像向右平移 α_a 個單位長度.因為 _y=f（x） 與 y=f（-x） 的圖像關于 y 軸對稱，所以 y=f（x+a） 與 y=f（a-x） 的圖像關于 y 軸對稱，故選B.

對于一個函數(shù)圖像的對稱性，只要將 f（x+ a）=f（a-x） 左右兩個括號內(nèi)的式子相加除以2即可得到函數(shù)圖像的對稱軸；對于兩個函數(shù)圖像的對稱關系，令 y=f（x+a） 與 y=f（a-x） 兩個括號內(nèi)的式子相等求出 x ，即可得到兩個函數(shù)圖像的對稱軸.

3含特殊點問題

求函數(shù)的極值點時常用導數(shù)工具，極值點是導函數(shù)的變號零點，但某些特殊的極值點是不可導的，因此解題時要注意這些特殊點.

例3已知 f（x） 的定義域為 ，且對任意 x∈ ，有 f（x）-f（-x）=0. 當 x?0 時， f（x）=（x+

1）³e^x+1 ，則 f（x） 極值點的個數(shù)為

分析由 f（x）-f（-x）=0 ，可得 f（x）= f（-x） ，所以函數(shù) f（x） 為偶函數(shù).

當 x?0 時， f^′（x）=3（x+1）²e^x+1+（x+ 1）³e^x+1=（x+1）²（x+4）e^x+1 .當 x∈（-∞，-4） 時，f^′（x）lt;0，f（x） 單調(diào)遞減；當 x∈（-4，0） 時，f^′（x）?0，f（x） 單調(diào)遞增，所以 x=-4 為 f（x） 的極小值點，故 x=4 也是 f（x） 的極小值點.

又 f（0）=e ，且在 x=0 的兩側左增右減，所以x=0 是 f（x） 的極值點.

綜上，函數(shù) f（x） 共有3個極值點.

另外要注意雖然有些點的導數(shù)值為0，但這些點左右兩側導數(shù)符號相同，則這些點不是函數(shù)的極值點，如對于 y=x³ ，當 x=0 時，導數(shù)值為0，但 x=0 不是函數(shù) y=x³ 的極值點.

4多性質(zhì)綜合問題

函數(shù)具有單調(diào)性、周期性、對稱性、零點等多種性質(zhì)，如果單獨考查，大家都能正確處理；如果綜合考查，往往會出現(xiàn)考慮不全面的情況，從而造成錯解.

例4已知函數(shù) f（x） 是定義域為 的奇函數(shù)，對于任意的 x∈R ，使得 f（x+3）=f（x） ，且 f（2）= 0，則函數(shù) f（x） 在 [0，6] 上的零點個數(shù)為

分析對于任意的 x∈R ，有 f（x+3）=f（x） 則 f（x） 是周期為3的函數(shù).又 f（x） 是 上的奇函數(shù)，所以 f（0）=0，f（3）=0，f（6）=0. 又 f（2）=0 ，所以f（5）=0. 由 f（2）=0 及 f（x） 的周期為3，可知f（-1）=0 ，再結合奇函數(shù)的性質(zhì)，可知 f（1）=0 ，則f（4）=0 ，所以 f（x） 在[0，6]上共有7個零點.

此類問題將函數(shù)的奇偶性、周期性、零點進行綜合考查，很容易因為考慮問題不全面而出現(xiàn)錯解，因此解題時要全面考慮、綜合應用函數(shù)的多種性質(zhì).

5定理的必要性問題

在函數(shù)學習中，某些性質(zhì)、定理的充分性成立，但其必要性不一定成立，應用時要判斷定理的完備性.

例5已知 f（x） 是 [-1，1] 上的連續(xù)函數(shù)，且在（一1，1）上有唯一零點，則 f（-1）f（1） 的值（ ）.

A.小于0 B.大于0C.等于0 D.不能確定

分析在求解本題的過程中，部分學生利用零點存在定理得 f（-1）f（1）lt;0 ，進而得到錯誤選項，

在函數(shù)零點存在定理中， f（a）f（b）lt;0 是函數(shù)f（x） 在 （a，b） 上存在零點的充分不必要條件，即函數(shù)f（x） 在 （a，b） 上存在零點，并不一定有 f（a）f（b）lt; 0，即使有唯一零點也不能保證 f（a）f（b）lt;0. 例如，函數(shù) f（x）=x² 在 （-1，1） 上存在唯一零點，但f（-1）f（1）gt;0 ，故選D.

類似的問題還有很多，如 f（x） 是 上的奇函數(shù)，則“ x₁+x₂=0 ”是“ f（x₁）+f（x₂）=

0”的充分不必要條件；函數(shù) f（x） 的圖像關于點 Ψ（aΨ，bΨ） 中心對稱，并不一定有 f（a）=b 等.

6 圖像位置關系問題

單獨畫一個函數(shù)圖像，學生都能輕車熟路，但將兩個不同的函數(shù)畫在同一平面直角坐標系中，這兩個函數(shù)的交點個數(shù)、在某一區(qū)間內(nèi)圖像的位置關系等問題有些學生難以準確把握.

例6函數(shù) f（x） 是定義在 （0，+∞） 上的增函數(shù)，如果對于任意的 x∈（0，+∞） ，均滿足 f（f（x）+ ，設函數(shù) ，則函數(shù)g（x） 的零點個數(shù)為（ ）.

A.0 B. 1 C. 2 D.3

分析由單調(diào)函數(shù)的性質(zhì)可知 為定值.設 ，則 .由假設知 f（t）=3 ，所以 ，解得 t=2 ！故 .函數(shù) g（x） 的零點個數(shù)等價于方程 的根的個數(shù)，即函數(shù) y=log₂x 與 y=

圖像交點的個數(shù).

此處易主觀誤判兩個函數(shù)圖像的位置關系，認為只有一個交點，如圖1所示，進而錯選B.其實兩個函數(shù)的圖像在 （0，+∞） 上有兩個交點，即（4，2），（16，4），故選C.

類似地，函數(shù) y=2^x 與 y=x² 的圖像在（O，+∞ ）上有兩個交點，即（2，4），（4，16）；函數(shù)y=e^x 與 y=x² 的圖像在 （0，+∞） 上沒有交點.這些都是易錯問題.

（完）