解一元不等式問(wèn)題綜述

不等式是高中數(shù)學(xué)核心模塊之一，是求函數(shù)定義域、值域，判斷函數(shù)的單調(diào)性、零點(diǎn)分布等問(wèn)題的重要工具.求解這些問(wèn)題需根據(jù)題目條件列出相應(yīng)的不等式，進(jìn)而求不等式的解集.所列的不等式不同，求解集的方法也不同，下面舉例分析.

1一元二次不等式

一元二次不等式問(wèn)題常與一元二次方程、一元二次函數(shù)相結(jié)合，通常利用判別式、求根公式、因式分解等知識(shí)求解.當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)時(shí)，要討論開(kāi)口方向、零點(diǎn)個(gè)數(shù)、零點(diǎn)與定義域的關(guān)系、零點(diǎn)之間的大小關(guān)系等.

例1 解不等式 ax²+x-（a+1）gt;0（a≠0） 令 ax²+x-（a+1）=0 ，即 （x-1）（ax+ a+1）=0 ，解得 當(dāng) alt; 0，且 即 時(shí)，不等式 ax²+ x-（a+1）gt;0 的解集為 .當(dāng) 1=-1- 時(shí)，不等式 ax²+x-（a+1）gt;0 的解集為空集.當(dāng) alt;0 ，且 即 時(shí)，不等式 ax²+x-（a+1）gt;0 的解集為 .當(dāng)agt;0 時(shí)， ，不等式 ax²+x-（a+1）gt;0 的解集為

2 分式不等式

解分式不等式通常要通過(guò)移項(xiàng)通分，使不等式的一邊為0，將其轉(zhuǎn)化為一元二次不等式或一元一次不等式，另外要注意分母不為0的情況.

例2求不等式 的解集.

由已知得 _x≠1 ，且

即

（x-1）（a+1-x）?0.

當(dāng) a+1gt;1 ，即 agt;0 時(shí)，不等式 ① 的解集為（-∞，1）∪[a+1，+∞）. （20

當(dāng) a+1lt;1 ，即 alt;0 時(shí)，不等式 ① 的解集為（-∞，a+1]∪（1，+∞）. （

當(dāng) a+1=1 ，即 a=0 時(shí)，不等式 ① 的解集為（-∞，1）?（1，+∞）

綜上，當(dāng) agt;0 時(shí)，不等式 的解集為（-∞，1）∪[a+1，+∞） ；當(dāng) alt;0 時(shí)，不等式 1的解集為 （-∞，a+1]∪（1，+∞） ；當(dāng) a=0 時(shí)，不等式 的解集為 （-∞，1）?（1，+∞）

3絕對(duì)值不等式

解含有絕對(duì)值不等式的基本思想是去絕對(duì)值，去絕對(duì)值的方法有多種，如定義法、利用絕對(duì)值的幾何意義、平方法、零點(diǎn)分區(qū)間討論法、等價(jià)轉(zhuǎn)化法等.去絕對(duì)值時(shí)要注意轉(zhuǎn)化過(guò)程的等價(jià)性.

例3 不等式 ∣x-1∣+∣x+2∣?5 的解集為

方法1 （零點(diǎn)分區(qū)間討論法）由 ∣x-1∣=0 和 ∣x+2∣=0 ，可得 x=1 和 x=-2 ，則不等

式 |?_x-?₁|+|?_x+?₂|?5 可轉(zhuǎn)化為

綜上，不等式 ∣x-1∣+∣x+2∣?5 的解集為

（-∞，-3]∪[2，+∞）

方法2（利用絕對(duì)值的幾何意義） ∣x-1∣ 和∣x+2∣ 分別表示數(shù)軸上的點(diǎn) x 到1和一2的距離，而1和一2在數(shù)軸上的距離為3.當(dāng) x=-3 時(shí)， |x-1|+ |x+2|=5 ，則當(dāng) x?-3 時(shí)， |x-1|+|x+2|?5. 當(dāng)x=2 時(shí)， ∣x-1∣+∣x+2∣=5 ，則當(dāng) x?2 時(shí)，|x-1|+|x+2|?5.

綜上，不等式 ∣x-1∣+∣x+2∣?5 的解集為（-∞，-3]∪[2，+∞）

4對(duì)數(shù)不等式

解對(duì)數(shù)不等式主要是利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，將不等式的兩端化為同底的對(duì)數(shù)函數(shù)，再比較其真數(shù)的大小即可.當(dāng)?shù)讛?shù)不確定時(shí)，要注意分類(lèi)討論.另外要注意對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0的限制條件.

例4已知函數(shù) f（x）=log_a（2+x）-log_a（2- x ） ∣agt;0 ，且 a≠1 ），求關(guān)于 x 的不等式 f（x）? log_a（3x） 的解集.

易知函數(shù) f（x） 的定義域?yàn)椋ㄒ?，2）.因?yàn)閒（x）=log （2+x）-l0g（2-x）=l0g， 2-x，所以

當(dāng) 0 ，解得 1；當(dāng) agt;1 時(shí)，由 ，解得 或 1? xlt;2

綜上，當(dāng) 0a（3x） 的解集為 ；當(dāng) agt;1 時(shí)，不等式 f（x）?log_a（3x） 的解集為

5 指數(shù)不等式

對(duì)于指數(shù)不等式，常規(guī)的解法是將不等式的兩端化為同底數(shù)的指數(shù)式，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性確定指數(shù)的大小關(guān)系，從而將其轉(zhuǎn)化為一元一次不等式或一元二次不等式來(lái)處理.若底數(shù) Δ_a 不確定時(shí)，要分 agt;1 和 0

例5某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種型號(hào)的手機(jī)，年產(chǎn)量分別為10萬(wàn)臺(tái)和40萬(wàn)臺(tái)，隨著市場(chǎng)需求的增大，現(xiàn)對(duì)兩種型號(hào)手機(jī)的生產(chǎn)線(xiàn)進(jìn)行升級(jí)，預(yù)計(jì)升級(jí)后甲、乙兩種型號(hào)手機(jī)的年產(chǎn)量增長(zhǎng)率分別是 50% 和20% ，那么至少經(jīng)過(guò) 年，甲型號(hào)手機(jī)的年產(chǎn)量會(huì)超過(guò)乙型號(hào)手機(jī)的年產(chǎn)量（參考數(shù)據(jù)： lg2≈ 0.301）.

設(shè)至少經(jīng)過(guò) n 年后，甲型號(hào)手機(jī)的年產(chǎn)量會(huì)超過(guò)乙型號(hào)手機(jī)的年產(chǎn)量，則

10（1+50%）ⁿgt;40（1+20%）ⁿ，

可得 ，兩邊取常用對(duì)數(shù)得 ，即

故至少經(jīng)過(guò)7年，甲型號(hào)手機(jī)的年產(chǎn)量會(huì)超過(guò)乙型號(hào)手機(jī)的年產(chǎn)量.

6 三角函數(shù)不等式

與三角函數(shù)有關(guān)的不等式問(wèn)題通常要結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值、三角函數(shù)的周期性以及整體代換法處理.

例6 已知函數(shù) ，則不等式 f（x）gt;1 的解集為

由于 f（x）gt;1 ，則 ，即解析 易知不等式 的解集為 ，即

故不等式 f（x）gt;1 的解集為 ：

綜上，在解不等式內(nèi)容的學(xué)習(xí)與備考中，只有明確待解不等式的類(lèi)型，熟練相應(yīng)的處理策略，才有可能順利解決問(wèn)題.另外，學(xué)生在學(xué)習(xí)中要積累一些重要不等式，如si 及其相應(yīng)的變形等，利用這些不等式可使解題事半功倍.

（完）