伴隨矩陣若干性質(zhì)的探究

摘" 要：伴隨矩陣[2] [3] 是由原矩陣的每個(gè)元素的代數(shù)余子式所構(gòu)成，并且是其轉(zhuǎn)置后的結(jié)果。伴隨矩陣在數(shù)學(xué)理論和應(yīng)用中發(fā)揮著重要作用。伴隨矩陣也稱伴隨陣或余子式，它不僅幫助理解矩陣的基本概念和性質(zhì)，而且在矩陣的計(jì)算中扮演著重要角色?；诎殡S矩陣的相關(guān)公式，通過證明給出了相關(guān)公式的推導(dǎo)，并且通過公式推導(dǎo)結(jié)果；討論了伴隨矩陣在對(duì)稱性、反對(duì)稱性、正定性、正交性、相似性、對(duì)合性等方面的性質(zhì)。

關(guān)鍵詞：伴隨矩陣" 可逆矩陣" 秩" 對(duì)稱性

Exploration of SeveralResearch on Some Properties of AccompanyingAdjoint Matrix

SUN Ya'e

（Shaanxi Baoji Education Institute，" Baoji ， Shaanxi" Province， 721001 China）

Aabstract： The adjoint matrix is composed of algebraic residues of each element of the original matrix and is the result of its transpose， also known as the adjunct or cofactor matrix， holds a significant position in matrix theory. This matrix is formed by the algebraic cofactors of each element of the original matrix and is the result after its transpose. The adjoint matrix plays an important role in both mathematical theory and applications. The adjoint matrix， also known as the adjoint matrix or cofactor，It not only aids in understanding the basic concepts and properties of matrices， but also plays a crucial role in matrix computations. Based on the relevant formulas for the adjoint matrix， the derivation of the relevant formulas is provided through proof， and the results are derived through the formulasand proves their derivations. It Furthermore， through these derivations， we discusses the properties of the adjoint matrix in terms ofconcerning symmetry， antisymmetry， positivitydefiniteness， orthogonality， similarity， and symmetryinvolution.

Key Wwords： Adjoint matrix; Invertible matrix; Rank; ；Symmetry

伴隨矩陣在數(shù)學(xué)與以及實(shí)際工程中具有及極其重要的作用。伴隨矩陣是線性代數(shù)課程矩陣?yán)碚摻虒W(xué)中的一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)[1]，在關(guān)于的教學(xué)中，會(huì)涉及線性代數(shù)的很多其他知識(shí)點(diǎn)，例如行列式的計(jì)算，、逆矩陣的求解，、矩陣秩之間關(guān)系的刻畫，、向量組線性相關(guān)性的判定，、奇次線性方程組基礎(chǔ)解系的判定與求解，以及、與矩陣特征向量之間的關(guān)系的對(duì)應(yīng)等[2]。聞道君，曾 靜，王鵬富等人[3]基于大類招生的視角，以線上、線下混合課程的形式進(jìn)一步完善伴隨矩陣的知識(shí)體系，探索基于創(chuàng)新能力培養(yǎng)的“大學(xué)數(shù)學(xué)”課程教學(xué)設(shè)計(jì)和教學(xué)改革的新路徑．。伴隨矩陣主要被應(yīng)用于計(jì)算可逆矩陣的逆，這對(duì)于求解線性方程組、處理復(fù)雜矩陣運(yùn)算至關(guān)重要[4-5]。伴隨矩陣還被廣泛應(yīng)用于研究矩陣的性質(zhì)，如對(duì)稱性、正定性等，并且有助于深入理解矩陣結(jié)構(gòu)[6-7]。此外，，伴隨矩陣在特征值分析中也有較為廣泛的應(yīng)用，其揭示了矩陣特征值與行列式的關(guān)系[7-10]。伴隨矩陣的這些作用使其成為數(shù)學(xué)理論和實(shí)際應(yīng)用中不可或缺的工具。

目前，隨著人工智能算法與以及深度學(xué)習(xí)技術(shù)的迅猛發(fā)展，伴隨矩陣在機(jī)器學(xué)習(xí)和數(shù)據(jù)科學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用也日益廣泛[11-12]。伴隨矩陣不僅用于傳統(tǒng)的線性代數(shù)問題求解，還被集成到各種復(fù)雜的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)中，以優(yōu)化模型訓(xùn)練過程、提高計(jì)算效率和增強(qiáng)模型的泛化能力[13]。

1" 伴隨矩陣

伴隨矩陣在對(duì)稱性、反對(duì)稱性、正定性和、正交性等方面表現(xiàn)出獨(dú)特的性質(zhì)。對(duì)于對(duì)稱矩陣，其的伴隨矩陣也是對(duì)稱的。然而，反對(duì)稱矩陣的伴隨矩陣并不保持反對(duì)稱性，原因是，因?yàn)榘殡S矩陣的定義基于余子式，而這些余子式不直接依賴于原矩陣是否反對(duì)稱。當(dāng)原矩陣是正定矩陣時(shí)，其伴隨矩陣也是正定的。當(dāng)原矩陣是正交矩陣時(shí)，其伴隨矩陣也是正交的。

用表示階方陣，為的行列式，為的秩，為的伴隨矩陣，為的逆矩陣。相關(guān)研究[14-16].文獻(xiàn)已給出了伴隨矩陣的一些性質(zhì)，如

（1a）；

（2b）如果，那么[4] 。

2" 關(guān)于伴隨矩陣的若干公式

對(duì)于可逆矩陣，其逆矩陣可以通過伴隨矩陣求得。具體來說，一個(gè)可逆矩陣的逆矩陣等于該矩陣的行列式倒數(shù)乘以其伴隨矩陣。這個(gè)性質(zhì)不僅簡潔而且實(shí)用，因?yàn)樗苯訉⒛婢仃嚺c伴隨矩陣聯(lián)系起來，使得在計(jì)算矩陣的逆時(shí)更加方便。此外，伴隨矩陣的每個(gè)元素是原矩陣對(duì)應(yīng)位置元素的代數(shù)余子式，并且位置關(guān)系為轉(zhuǎn)置。這種結(jié)構(gòu)使得伴隨矩陣在矩陣?yán)碚摵蛻?yīng)用中扮演著重要的角色。例如，：在求解線性方程組、進(jìn)行矩陣分解以及、研究矩陣的特征值和特征向量等方面，伴隨矩陣都發(fā)揮著關(guān)鍵作用。

公式1：" "[5] 。.

證明：證明：若，則，所以 是可逆矩陣，即.。

若，則 ，并而且中有階子式非零。.那么的代數(shù)余子式不全為0，故，

，

已知 ，，又由由，，，，把代入得，

故得 。

若，則中每一個(gè)階子式全為0，那么，故。[6]

推論" 若可逆，則可逆；若不可逆，則也不可逆。

公式2：" " 。.

證明：證明：" 由兩邊取行列式，

如果可逆，則.。如果不可逆，當(dāng)時(shí)，，則；

當(dāng)時(shí)，，則.。故。

公式3：" 。

證明：：" 。

公式4 ：文本框：" " "。.

證明：證明：" 。

公式5：" "，（當(dāng)可逆時(shí)）。.

證明：證明：" ，，所以有

。.

公式6： 。.

證明：" 當(dāng)，均可逆時(shí)，。.當(dāng)或者不可逆時(shí)，令、，。.當(dāng)充分大時(shí)， 、，就都可逆，故

式（1）中：的所有元素都俱是的多項(xiàng)式，取充分大時(shí)，得對(duì)應(yīng)元素相等，即對(duì)應(yīng)元素是相等的多項(xiàng)式，也就是說，上式（1）對(duì)任意的都成立；。取，得。.

公式7：" 。.

證明： 當(dāng)時(shí)，；

;

當(dāng)時(shí)，，故。.

3" "關(guān)于伴隨矩陣的若干性質(zhì)

可逆矩陣的逆矩陣可以通過伴隨矩陣求得。伴隨矩陣的行列式值等于原矩陣行列式值的次方（其中，為矩陣階數(shù)）。伴隨矩陣的每個(gè)元素是原矩陣對(duì)應(yīng)位置元素的代數(shù)余子式，并且位置關(guān)系為轉(zhuǎn)置。轉(zhuǎn)置、伴隨和求逆三者任意排列組合復(fù)合運(yùn)算結(jié)果相等。兩矩陣之積的伴隨矩陣等于矩陣伴隨的反向之積。矩陣乘以常數(shù)倍后求伴隨，相當(dāng)于該矩陣的伴隨乘以常數(shù)的次方。矩陣伴隨的伴隨等于它其行列式的次方乘以它其本身。如果兩個(gè)矩陣相似，則它們的伴隨矩陣也相似。

定理1" 若 ，則。.

證明： 。

定理2" 若是對(duì)稱矩陣，則也是對(duì)稱矩陣。

證明： 由，知，，所以是對(duì)稱矩陣。

定理3" 為反對(duì)稱矩陣，。當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，是對(duì)稱矩陣；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，是反對(duì)稱矩陣。

證明：" 由，知" .。

若為奇數(shù)，則，即是對(duì)稱矩陣；

若為偶數(shù)，則，即是反對(duì)稱矩陣。

定理4" 若是正定矩陣，則也是正定矩陣。

證明：" 當(dāng)是正定矩陣時(shí)，根據(jù)定理2，知為對(duì)稱矩陣，并且，。還存在可逆矩陣，，使，，于是，，，由公式[7] [8] （2）得，，則，說明是正定矩陣。

定理5" 若為正交矩陣，則也為正交矩陣。

證明：" 因?yàn)椋?，所以，，于?，，從而。.

定理6" 若為階方陣（非零），如果正交，則當(dāng)且僅當(dāng)。.

證明：（1）" "充分性。" 設(shè)正交，，那么=，，且，，于是=。.

（2）必要性 。 設(shè)=，并且，，分兩2種情況。：

①（1）如果，，那么的代數(shù)余子式=，，把按第行展開，，又由公式2知，于是，所以，即正交。

②（2）如果，那么的代數(shù)余子式，，把按第行展開，，由公式2可得，所以，，即正交 。

定理7" 若階方陣與相似，則也與相似。

證明：" 因?yàn)榕c相似，，所以存在可逆矩陣，使得，則

。.

由為可逆矩陣，知為可逆矩陣，取，，則為可逆矩陣，并，且，，即與相似。

定理8" 若是對(duì)合矩陣，即，，則也是對(duì)合矩陣。

證明：" 由知，于是；又由知，，

即為對(duì)合矩陣，從而。.

4" 結(jié)語

本文通過對(duì)伴隨矩陣的基本性質(zhì)進(jìn)行了的深入研究，不僅豐富了伴隨矩陣的理論體系，也為實(shí)際應(yīng)用提供了一定的參考和借鑒。未來可以進(jìn)一步探索伴隨矩陣在控制理論、量子力學(xué)和計(jì)算機(jī)科學(xué)等方面的應(yīng)用，以期發(fā)現(xiàn)更多有價(jià)值的結(jié)論。

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