三面角余弦定理巧解立體幾何

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1008-0333（2025）16 -0042-03

高考中的立體幾何問(wèn)題不僅著重考查學(xué)生的空間想象能力，還對(duì)其邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算能力提出較高要求.而二面角問(wèn)題作為考查這三種能力的典型題型，常常讓學(xué)生感到無(wú)從下手.本文引入三面角余弦定理，將其作為連接空間幾何與三角函數(shù)的橋梁，通過(guò)揭示三個(gè)平面相交形成的面角之間的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)二面角求解過(guò)程的化繁為簡(jiǎn).

1 三面角余弦定理及推論

三面角余弦定理最早于20世紀(jì)80年代出現(xiàn)，當(dāng)時(shí)被稱為“三面角公式”[1].到了20 世紀(jì)90 年代初之后，該公式多被稱作“三面角余弦定理”[2]，其具體內(nèi)容為：在三面角中，任意一個(gè)面角的余弦值，等于其余兩個(gè)面角余弦值的乘積，加上這兩個(gè)面角的正弦值與它們所夾二面角余弦值的連乘積.

為了凸顯二面角與三面角的關(guān)系，這里給出其變體：

三面角 O-ABC 的三個(gè)面角 ∠AOB=α ，∠AOCδ=β，∠BOC=γ ，設(shè)二面角 A-OC-B 的大小為 θ ，

證明 如圖1所示，設(shè) OA=a，OB=b，OC=c ，作 AC⊥OC，BC⊥OC ，連接 AB

在 RtΔAOC 中， 知 AC=asinβ ，由 ，知

在 RtΔBOC 中，由 知 BC=bsinγ ，由 ，知

在 ΔAOB 中， AB²=a²+b²-2ab?cosα ，

在 ΔABC 中 AB²=AC²+BC²-2AC?BC?cosθ 則 a²+b²-2ab?cosα=AC²+BC²-2AC?BC?cosθ. （20則

-2asinβ?bsinγ?cosθ. （204則 a²+b²-2ab?cosα=a²sin²β+b²sin²γ

-2asinβ?bsinγ?cosθ. （204號(hào)則 a²-a²sin²β+b²-b²sin²γ=2ab?cosα

-2asinβ?bsinγ?cosθ. 則 a²cos²β+b²cos²γ=2ab（cosα-sinβ?sinγ?cosθ）. 則 則 則 cosβcosγ=cosα-sinβ?sinγ?cosθ. （204號(hào)

推論 三面角 O-ABC 的三個(gè)面角 ∠AOB=α ，∠AOC=β ， ∠BOC=γ ，若二面角 A-OC-B 的大小為 θ=90^° ，則 cosα=cosβ?cosγ.

證明 在三面角 O-ABC 中，

又因?yàn)?θ=90^°

所以

故 cosα=cosβ?cosγ.

在運(yùn)用三面角余弦定理解題時(shí)，有兩個(gè)關(guān)鍵要點(diǎn)需重點(diǎn)關(guān)注.其一，需準(zhǔn)確理解角 α 的定義，它是三面角中與二面角公共棱所在平面均不重合的第三個(gè)面所對(duì)應(yīng)的面角；其二，在確定公共棱端點(diǎn)時(shí)，需選擇便于計(jì)算三面角各角值的端點(diǎn)，雖然以公共棱的兩個(gè)端點(diǎn)分別作為頂點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算，最終結(jié)果相同，但合理選擇端點(diǎn)能夠顯著簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程.

2 應(yīng)用舉例

接下來(lái)，我們將運(yùn)用三面角余弦定理對(duì)兩道高考立體幾何真題進(jìn)行求解，旨在拓寬學(xué)生的解題思路，同時(shí)讓學(xué)生切實(shí)感受該定理在解決立體幾何問(wèn)題中的優(yōu)越性.

例1如圖2所示，在三棱錐 P-ABC 中， PA⊥ 平面 （

求二面角 A-PC-B 的大小.

解析 設(shè)二面角 A-PC-B 的平面角大小為 θ ，則 ①

由 PA⊥ 平面 ABC 可知 PA⊥AC，PA⊥AB

在 RtΔPAC 中， ，得

在 RtΔPAB 中， PA=1，AB=1 ，得

，則

則 （20A

將以上結(jié)果代入 ① ，得

則

例2如圖3所示，在三棱錐 P-ABC 中， AB⊥ 的中點(diǎn)分別為 ，點(diǎn) F 在 AC 上， BF⊥ AO.求二面角 D-AO-C 的正弦值.

解析設(shè)二面角 D-AO-C 的平面角大小為 θ ，則 ② 由 ，知 由 BP，BC 的中點(diǎn)分別為 _D，O ，知 ξ_DO 是 ΔBPC 的中位線.即 由PC =6，知DO= 由 DO//PC ，知 ∠PCB=∠DOB 在 ΔBPC 中， ，則 則 （20則 cos∠DOC=cos（π-∠DOB）=-cos∠DOB （204號(hào)

由 AB⊥BC ，點(diǎn) o 是 BC 的中點(diǎn)， AB=2，BC ，知

則 2由 _D，O 分別是 PB，BC 中點(diǎn)且 知 DO

又由 知 在△AOD 中，cos ∠AOD =

則 sin∠AOD=1 在 ΔAOC 中， 則 sin∠AOC =√6將以上結(jié)果代入 ② ，得 則

3 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)兩道例題我們不難看出，三面角余弦定理為立體幾何中的二面角問(wèn)題提供了一種嶄新的解題思路和方法，它不僅能夠幫助學(xué)生更好地理解和分析空間幾何關(guān)系，還能提高他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和解題能力.

參考文獻(xiàn)：

[1］王振海.一個(gè)廣為應(yīng)用的三面角公式[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，1984（02）：2-4，8.

[2]葉國(guó)祥.三面角的余弦定理及其應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，1993（06）：17-19.

[責(zé)任編輯：李慧嬌]