重視模型探究 提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

“棱臺(tái)”在立體幾何眾多幾何體模型中，并非傳統(tǒng)意義上的核心考點(diǎn).然而近年來，它卻在新高考數(shù)學(xué)卷客觀題中高頻亮相且不斷創(chuàng)新命題形式2021—2024年間，八套新高考數(shù)學(xué)試卷的客觀題中，棱臺(tái)相關(guān)題目竟出現(xiàn)六次，考查頻率之高，值得重點(diǎn)關(guān)注.從表1統(tǒng)計(jì)的這四年新高考數(shù)學(xué)卷對(duì)棱文章編號(hào)：1008-0333（2025）16-0068-05臺(tái)的考查試題中，其重要性可見一斑.

由此可以預(yù)測，在2025年乃至未來的新高考數(shù)學(xué)卷中，“棱臺(tái)”仍將受到命題專家的青睞，持續(xù)作為高考數(shù)學(xué)命題的考查熱點(diǎn).基于此，本文選取2024年新高考Ⅱ卷第7題，將其融入高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)的教學(xué)實(shí)踐與訓(xùn)練環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生從多角度、深層次探究“棱臺(tái)”模型，進(jìn)而提升直觀想象、數(shù)學(xué)建模及邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

1題目呈現(xiàn)

題目（2024年新高考 I 卷第7題）已知正三棱臺(tái) ABC-A₁B₁C₁ 的體積為 A₁B₁=2 ，則 A₁A 與平面 ABC 所成角的正切值為（ ）.

A B.1 C.2 D.3

2 題目解析

這是一道聚焦正三棱臺(tái)空間結(jié)構(gòu)特征的客觀性試題，涉及空間線面角的求解，考查內(nèi)容涵蓋三角形面積公式、棱臺(tái)體積公式、相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例定理以及空間線面角等核心知識(shí).通常情況下，針對(duì)以棱臺(tái)為背景的問題，主要存在兩種求解思路：其一，直接剖析幾何體的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，通過引垂線等常規(guī)方法計(jì)算所需幾何量，進(jìn)而完成試題解答；其二，采用補(bǔ)形法，將棱臺(tái)還原為棱錐.由于棱臺(tái)本質(zhì)上是由棱錐截去一個(gè)小棱錐所得，因此借助補(bǔ)形為棱錐的方式，同樣能夠有效解決問題.

分析1根據(jù)已知正三棱臺(tái)的體積以及上、下底面邊長，首先運(yùn)用棱臺(tái)體積公式求出棱臺(tái)的高，然后依據(jù)空間線、面角的定義，確定線面角的平面角.通過找出上底頂點(diǎn)在下底面的投影，計(jì)算該投影與相關(guān)點(diǎn)構(gòu)成的線段長度，得到平面角所在直角三角形的一條直角邊，而棱臺(tái)的高則為另一條直角邊，進(jìn)而計(jì)算 A₁A 與平面 ABC 所成角的正切值..

解法1取 BC 的中點(diǎn) D，B₁C₁ 的中點(diǎn) D₁ ，所以

在正 ΔABC 中， 所以S△ABC = 同理得 ：設(shè)正三棱臺(tái)的高為 h ，則根據(jù)題意可得（

0解得 如圖1，過點(diǎn) A₁，D₁ 分別作底面 ABC 的垂線，垂

足分別為點(diǎn) M，N ，并設(shè) AM=a ，則有

于是 在側(cè)面等腰梯形 BCC₁B₁ 中，得（20號(hào) （204號(hào)所以 從而解得 因此 A₁A 與平面 ABC 所成角的正切值tan ∠A₁AM 故選B.

點(diǎn)評(píng)該解法從正三棱臺(tái)模型的結(jié)構(gòu)特征出發(fā)，逆用正三棱臺(tái)的體積公式建立等式，求出正三棱臺(tái)的高.接著將問題轉(zhuǎn)化到三角形中，借助勾股定理及三角函數(shù)的邊角關(guān)系進(jìn)行求解.這一過程有助于提升學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng).

分析2 把正三棱臺(tái) ABC-A₁B₁C₁ 補(bǔ)形成正三棱錐 P-ABC ，可知 A₁A 與平面 ABC 所成角就是PA 與平面 ABC 所成角，然后根據(jù)錐體比例性質(zhì)求得 V_P-ABC ，從而根據(jù)體積公式求出正三棱錐 P-ABC 的高，進(jìn)而求得結(jié)果.

解法2 如圖2，把正三棱臺(tái) ABC-A₁B₁C₁ 補(bǔ)形成為正三棱錐 P-ABC ，則可知 A₁A 與平面 ABC 所成角就是 PA 與平面 ABC 所成角.由于 則 二棱錐P -A₁B₁C₁ （20 三棱錐 所以 V_≡##.P-ABC=18.

設(shè)正三棱錐 P-ABC 高為 d ，可得

于是 ：

取下底面 ΔABC 中心為 o ，易知 OP⊥ 底面ABC，且 ，所以 PA 與平面 ABC 所成角的正切值 故選B.

點(diǎn)評(píng)由于臺(tái)體是由平行于底面的平面截錐體得到的，因此求解截面分臺(tái)體的側(cè)面積及體積比的問題時(shí)，可“還臺(tái)為錐”進(jìn)行求解.試題解法2就是通過補(bǔ)形，還臺(tái)為錐，利用“體積比是相似比的立方\"求得正三棱錐 P-ABC 的體積，然后利用三棱錐的體積公式求出正三棱錐的高，最后轉(zhuǎn)化到三角形中利用三角函數(shù)的邊角關(guān)系求得正三棱臺(tái)ABC-A₁B₁C₁ 的側(cè)棱 A₁A 與平面 ABC 所成角的正切值，補(bǔ)形法體現(xiàn)了化歸轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，可以簡捷、快速地求解問題，提升直觀想象、數(shù)學(xué)建模及邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3 高考題探源

對(duì)高考試題追本溯源，探尋其出處與命題軌跡，有助于研究高考命題規(guī)律，精準(zhǔn)把控復(fù)習(xí)備考方向，提高復(fù)習(xí)的針對(duì)性與效率，對(duì)提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具有積極的導(dǎo)向作用.

3.1 教材探源

上述試題包含兩個(gè)考查重點(diǎn)：一是運(yùn)用幾何法確定線面角；二是將正三棱臺(tái)轉(zhuǎn)化為正三棱錐.從試題的兩種解法可以看出，該試題是由教材中的兩道題目整合改編而來.

教材題1 （人教A版新教材必修第二冊(cè)第154頁例6）推導(dǎo)棱臺(tái)的體積公式VABC-ABiGi = （ S^′ ，其中 s^′，s 分別是棱臺(tái)的上、下底面面積， h 是高.

注意：在推導(dǎo)臺(tái)體體積公式的過程中，運(yùn)用了“面積比是相似比的平方”這一性質(zhì).

教材題2（人教A版新教材選擇性必修第一冊(cè)第49頁第14題）在正四棱錐 S-ABCD 中， o 為頂點(diǎn) s 在底面內(nèi)的射影， P 為側(cè)棱 sD 的中點(diǎn)，且 so Π=OD ．求直線 BC 與平面 PAC 所成的角.

3.2 真題探源

許多高考試題往往由以往的高考真題改編延伸而來，上述試題也不例外，它與下面這道往年高考真題相關(guān)聯(lián)，兩道高考題堪稱一對(duì)“姊妹題”.

（1991年全國高考數(shù)學(xué)試題（理科）第18題）已知正三棱臺(tái)上底面邊長為2，下底面邊長為4，且側(cè)棱與底面所成角是 45^° ，那么這個(gè)正三棱臺(tái)的體積等于____.

由此可見，對(duì)高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)而言，歷屆高考數(shù)學(xué)真題都堪稱永恒的經(jīng)典，在教學(xué)中需要引導(dǎo)學(xué)生深入研究與挖掘

4高考題變式

若將試題結(jié)論中所求出的線面角作為已知條件，將結(jié)論變?yōu)榍笳馀_(tái)的體積，則有：

變式1 已知正三棱臺(tái) ABC-A₁B₁C₁ 中， AB =6，A₁B₁=2 ，側(cè)棱 A₁A 與平面 ABC 所成角為 45^° ，則正三棱臺(tái) ABC-A₁B₁C₁ 的體積為

解析 如圖1，分別取 BC，B₁C₁ 的中點(diǎn) D，D₁ ，則

所以

設(shè)正三棱臺(tái) ABC-A₁B₁C₁ 的高為 h ，因?yàn)閭?cè)棱A₁A 與平面 ABC 所成角為 45^° ，則 AM=A₁M=h

所以 所以 由等腰梯形 BCC₁B₁ 可得

即

解得

所以正三棱臺(tái) ABC-A₁B₁C₁ 的體積為

點(diǎn)評(píng)通過對(duì)變式1的探究，我們能夠進(jìn)一步掌握和運(yùn)用臺(tái)體的體積公式，更熟練地進(jìn)行空間線面關(guān)系的幾何推理.這一過程有助于提升直觀想象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

若將試題變?yōu)橐阎馀_(tái)的體積、高和上底面三角形的邊長，求下底面正三角形的邊長，則有：

變式2 已知正三棱臺(tái) ABC-A₁B₁C₁ 的體積為 高為 ，則

解析 如圖1，設(shè)正三棱臺(tái)的下底面正三角形的邊長為 所以由棱臺(tái)的體積公式得 解得 x=6.

點(diǎn)評(píng)變式2通過引入?yún)?shù)，建立關(guān)于參數(shù)的方程求解，很好地促進(jìn)數(shù)學(xué)建模、直觀想象及數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)的發(fā)展.

若將試題中已知正三棱臺(tái)體積的條件去掉，將結(jié)論中所求出的線面角作為已知，將結(jié)論變?yōu)榍笳馀_(tái)的表面積，則有：

變式3 已知正三棱臺(tái) ABC-A₁B₁C₁ 中， AB =6，A₁B₁=2 ，側(cè)棱 A₁A 與平面 ABC 所成角為 45^° 則正三棱臺(tái) ABC-A₁B₁C₁ 的表面積為

解析 由變式1可知，S△ABc =9√3，S△ABiC1 ，且正三棱臺(tái)的斜高

所以正三棱臺(tái) ABC-A₁B₁C₁ 的表面積為

點(diǎn)評(píng)變式3通過求解臺(tái)體的表面積，體現(xiàn)了基本數(shù)學(xué)模型的解題應(yīng)用，有利于提升直觀想象、數(shù)學(xué)建模及數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

若將試題中已知正三棱臺(tái)體積的條件去掉，將結(jié)論中所求出的線面角作為已知，進(jìn)而將棱臺(tái)與圓臺(tái)相結(jié)合，求以正三棱臺(tái)的上、下底面三角形的外接圓分別為上、下底面圓的圓臺(tái)側(cè)面積，則有：

變式4 已知正三棱臺(tái) ABC-A₁B₁C₁ 中， AB =6，A₁B₁=2 ，側(cè)棱 ∣A₁A 與平面 ABC 所成角為 45^° ，則以正三棱臺(tái)的上、下底面三角形的外接圓分別為上、下底面圓的圓臺(tái)側(cè)面積為

解析 由題意知圓臺(tái)的母線即為正三棱臺(tái)的側(cè)棱 A₁A ，根據(jù)變式1，可得

設(shè)圓臺(tái)上、下底面圓半徑分別為 r₁ 和 r₂ ，則由正弦 定理可得2r=g 解得 r₁

所以圓臺(tái)側(cè)面積為 S_{⊥⊥⊥\"⊥\"}=π（r₁+r₂）?A₁A

點(diǎn)評(píng)變式4 巧妙地將正三棱臺(tái)與圓臺(tái)相結(jié)合，讓學(xué)生在解決問題的過程中，有效提升數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)

若將試題中已知正三棱臺(tái)體積的條件變?yōu)橐阎馀_(tái)的高，其他條件不變，求正三棱臺(tái)外接球的表面積，則有：

變式5 已知正三棱臺(tái) ABC-A₁B₁C₁ 的高為 ，正三棱臺(tái) ABC-A₁B₁C₁ 的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為

解析設(shè)正三棱臺(tái)上、下底面所在圓的半徑分別為 r₁ 和 Ir₂ ，則由變式4可知

設(shè)球心到上、下底面的距離分別為 d₁ 和 d₂ ，球 的半徑為 R ，所以 （204 故 或 或 解得 R²=14

故球的表面積為 4πR²=56π

點(diǎn)評(píng)本題首先設(shè)出正三棱臺(tái)上、下底面所在圓的半徑，再根據(jù)球心距、圓半徑與球半徑之間的關(guān)系，進(jìn)而求出球的半徑.多面體與球的組合問題，主要以“內(nèi)切”和“外接”兩類為主，是高考考查的熱點(diǎn).解題時(shí)需深入剖析圖形關(guān)系：一是定位，即明確“切”或“接”的具體位置；二是定量，即確定相關(guān)元素的數(shù)量關(guān)系.通常需要作出包含各幾何體主要元素且能體現(xiàn)元素位置與數(shù)量關(guān)系的截面圖形，將立體問題轉(zhuǎn)化為平面問題，以此實(shí)現(xiàn)降維求解.

若將試題中已知正三棱臺(tái)體積的條件去掉，將結(jié)論中所求出的線面角作為已知，求正三棱臺(tái)內(nèi)半徑最大的球的表面積，則有：

變式6 已知正三棱臺(tái) ABC-A₁B₁C₁ 的側(cè)棱長頭 ，則該正三棱臺(tái)內(nèi)半徑最大的球的表面積為

解析根據(jù)題意可知，正三棱臺(tái)內(nèi)半徑最大的球與正三棱臺(tái)的三個(gè)側(cè)面及下底面均相切，設(shè)球心為 o ，球的半徑 R ，利用體積分割法求解

由變式1可知 ，正三棱臺(tái)的高為 正三棱臺(tái)的體積為

又由變式3可知正三棱臺(tái) ABC-A₁B₁C₁ 的側(cè)

面積為

連接球心 o 與正三棱臺(tái)的各個(gè)頂點(diǎn)，則有 解得

故該正三棱臺(tái)內(nèi)半徑最大的球的表面積為

點(diǎn)評(píng)這里利用的是分割法求解，與幾何體體積有關(guān)問題常運(yùn)用這種方法，依據(jù)的規(guī)則是： ① 完全相同的幾何體，它們的體積相等； ② 一個(gè)幾何體的體積等于它的各部分體積的和.

5 結(jié)束語

對(duì)空間幾何體模型的探究，其核心在于準(zhǔn)確把握空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，并能夠熟練進(jìn)行長度、表面積、體積、空間角等度量計(jì)算.對(duì)于不規(guī)則的空間幾何體，需靈活運(yùn)用分割法（如試題變式6）補(bǔ)形法（還臺(tái)為錐，如試題解法2）降維轉(zhuǎn)化（如高考題解法1中利用等腰梯形求解）等方法.高考的終極目的是考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合掌握程度與應(yīng)用能力.盡管高考試題形式多變，但始終圍繞基本知識(shí)、技能及思想方法展開考查.因此，在高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)過程中，不應(yīng)區(qū)分知識(shí)點(diǎn)的冷熱，需對(duì)每個(gè)細(xì)節(jié)知識(shí)點(diǎn)都深入鉆研.只有將基礎(chǔ)知識(shí)融會(huì)貫通，熟練掌握各類解題方法與技巧，才能在高考中從容應(yīng)對(duì)[1].

參考文獻(xiàn)：

［1］王方舟.高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)需強(qiáng)化的幾種意識(shí)［J].中學(xué)生理科應(yīng)試，2023（12）：1-4.

[責(zé)任編輯：李慧嬌]