瓜豆原理——主從動(dòng)點(diǎn)問題

【摘要】初中數(shù)學(xué)中有一類動(dòng)態(tài)問題叫作主從聯(lián)動(dòng)，有的教師稱其為瓜豆原理，這類問題往往考查形式多樣，題目綜合性強(qiáng)，尤其是從動(dòng)點(diǎn)的位置不好判斷，解答的過程中讓人摸不著頭腦.在解答時(shí)需要具備軌跡思想，即先要明確主動(dòng)點(diǎn)的軌跡，然后搞清楚主動(dòng)點(diǎn)和從動(dòng)點(diǎn)的關(guān)系，進(jìn)而確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡以解決問題.本文以一道中考數(shù)學(xué)幾何綜合題的解題過程進(jìn)行綜合分析，體會(huì)相關(guān)主從動(dòng)點(diǎn)問題的解題思路以及其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想.

【關(guān)鍵詞】瓜豆原理；初中數(shù)學(xué)；最值問題

1"引言

瓜豆原理：一個(gè)主動(dòng)點(diǎn)，一個(gè)從動(dòng)點(diǎn)（按照某種約束條件，跟著主動(dòng)點(diǎn)動(dòng)），當(dāng)主動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，從動(dòng)點(diǎn)的軌跡相同.這種主從聯(lián)動(dòng)軌跡問題，被稱為瓜豆原理、瓜豆模型.定點(diǎn)定角定比例，是瓜豆模型的三要素.它一般滿足三類條件：1.兩動(dòng)一定；2.動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的夾角是定角；3.動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比值是定值.本文以一道中考數(shù)學(xué)幾何的相關(guān)問題為例進(jìn)行探究.

2"中考數(shù)學(xué)圓形綜合題解析

例1"如圖1，在正方形ABCD中，AB=4，點(diǎn)M是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，以CD為邊在正方形內(nèi)部作等邊△PCD，以DM為邊在線段DM上方作等邊△DMN，連接AN，點(diǎn)Q在線段BC上，連接PQ，∠PQB=60°，求點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)過程中AN長(zhǎng)度的最小值.

解題指導(dǎo)

動(dòng)點(diǎn)問題中求解最值問題，需要找到定點(diǎn)與固定夾角，結(jié)合“主動(dòng)聯(lián)動(dòng)”模型判斷點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)過程中點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)軌跡.即當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)N與點(diǎn)P重合，當(dāng)點(diǎn)M變化時(shí)，通過構(gòu)造△PDN≌△CDM（如圖2）（根據(jù)做題經(jīng)驗(yàn)，若圖中給出兩個(gè)等邊三角形，一般會(huì)用到兩對(duì)應(yīng)邊相等，共同角相加或相減的方法得到全等三角形）；得到一個(gè)直角，接著通過計(jì)算角度再得到一個(gè)90°，可以得到N，P，Q三點(diǎn)共線，求得動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的夾角.

如圖3，連接NP，延長(zhǎng)DA交NP于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作AN1⊥NP于點(diǎn)N1.

因?yàn)椤鱌CD，△DMN為等邊三角形，

所以DN=DM，DP=DC，

∠NDM=∠PDC=60°

所以∠NDP+∠PDM=∠PDM+∠CDM=60°，

所以∠NDP=∠CDM，

所以△PDN≌△CDM（SAS）.

所以∠DPN=∠DCM=90°.

因?yàn)椤螾QB=60°，∠PCB=30°

所以∠CPQ=30°，

所以∠CPD+∠CPQ=60°+30°=90°.

所以N，P，Q三點(diǎn)共線，那么可以說主動(dòng)點(diǎn)M所在直線與從動(dòng)點(diǎn)N所在直線的銳角夾角為60°，

所以當(dāng)點(diǎn)M在邊BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)N在直線NP上運(yùn)動(dòng)，

所以當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)N1重合時(shí)，AN取得最小值.

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，AB=4，

所以AD=PD=AB=4，

因?yàn)椤螦DP=∠ADC－∠PDC=30°，

所以∠DEP=60°，

在Rt△DEP中，DE=PD/sin60°=8√3/3，

所以AE=DE－AD=8√3/3－4，

在Rt△AEN1中，AN1=AE·sin60°=4－2√3，

所以點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)過程中線段AN長(zhǎng)度的最小值為4－2√3.

分析"本題求解較為簡(jiǎn)單，使用圓的相關(guān)性質(zhì)就可直接求出，同時(shí)學(xué)生也需要注意解題中的輔助線思想，跳脫出圖像的固有模式，從問題出發(fā)思考解題方法.本題的關(guān)鍵在于①結(jié)合“主從聯(lián)動(dòng)”模型判斷點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)過程中點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)軌跡：當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)N與點(diǎn)P重合，當(dāng)點(diǎn)M變化時(shí)，通過構(gòu)造△PDN≌△CDM，并求證NP⊥DP；②根據(jù)“點(diǎn)到直線的最短距離”求解：已知點(diǎn)A為定點(diǎn)，點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)軌跡為直線，求AN的最小值，即求點(diǎn)A到直線NP的距離AN1，利用特殊角的三角函數(shù)數(shù)值和直角三角函數(shù)就可以得出AN1的值.

例2"如圖4，已知AC是菱形ABCD的對(duì)角線，∠BAD=120°，點(diǎn)E是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，將EA繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，交CD于點(diǎn)G，說明線段CE與DG之間的數(shù)量關(guān)系并證明.

解題指導(dǎo)

動(dòng)點(diǎn)問題中求證線段數(shù)量關(guān)系，一般可能是兩線段的長(zhǎng)度為一個(gè)固定比值，一般可以從相等的方向去思考，找全等或相似三角形求證對(duì)應(yīng)邊相等.然而，在此題中，難以發(fā)現(xiàn)與目標(biāo)線段聯(lián)系緊密的全等或相似三角形，因此，需要做輔助線構(gòu)造全等.

如圖5，在線段CA上取點(diǎn)H，使CH=CE，連接EH，

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，

所以∠BCD=∠BAD=120°，

所以∠ACB=∠ACD=∠DAC=60°，（菱形對(duì)角線性質(zhì)）

所以△CEH是等邊三角形，

所以EH=EC，∠HEC=∠CHE=60°，

所以∠AHE=120°，所以∠AHE=∠GCE，

因?yàn)椤螦EG=∠HEC=60°，

所以∠AEH=∠GEC，所以△AEH≌△GEC（ASA），

所以AH=CG

因?yàn)椤螦CD=∠DAC=60°，

所以△ACD是等邊三角形，

所以AC=CD，所以AC－AH=CD－CG，即CH=DG，

又因?yàn)镃H=CE，所以CE=DG.

分析"在此題的求解中，主動(dòng)點(diǎn)為點(diǎn)E，從動(dòng)點(diǎn)為點(diǎn)G，E，G兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡都在菱形的邊上，因此較為簡(jiǎn)單，只需要構(gòu)造全等三角形即可得出長(zhǎng)度相等.當(dāng)然，此題除了在線段AC上取點(diǎn)構(gòu)三角形外，還可以直接連接AG，求證△EAC≌△GAD，得出兩對(duì)應(yīng)邊相等.

3"結(jié)語(yǔ)

瓜豆原理相關(guān)問題在求解過程中，可以采用以下步驟：第一步，找主動(dòng)點(diǎn)的軌跡；第二步，找從動(dòng)點(diǎn)與主動(dòng)點(diǎn)的關(guān)系；第三步，找主動(dòng)點(diǎn)的起點(diǎn)和終點(diǎn)；第四步，通過相似確定從動(dòng)點(diǎn)的軌跡；第五步，根據(jù)軌跡確定點(diǎn)線最值.這類模型涉及的知識(shí)和方法有：①相似、全等三角形；②點(diǎn)到直線之間的距離垂線段最短等.其實(shí)細(xì)品瓜豆原理，便會(huì)發(fā)現(xiàn)“瓜豆原理”的實(shí)質(zhì)就是構(gòu)造旋轉(zhuǎn)、相似.因此，這一類動(dòng)點(diǎn)問題只需要依照以上步驟方法就能解決.